1. bölüm

TYT & AYT - Yüzde Problemleri - 1.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Yüzde Problemleri - 1. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Yüzde Problemleri

1. Sayfa • Temel Kavramlar ve Dönüşümler

Bu sayfada öğreneceklerin

Yüzde (%) kavramı: “yüzde = 100’de kaç” mantığı
Yüzdeyi kesir ve ondalık sayıya çevirme
Bir sayının yüzdesini bulma (temel formül)
Yüzde artış/azalış ifadelerini doğru yorumlama

1) Yüzde ne demektir?

“%a” ifadesi, “100 parçanın a tanesi” anlamına gelir.

Örneğin %25 demek, 100 eş parçanın 25’i demektir. Bu yüzden yüzde, kesir düşüncesine çok yakındır.

Temel eşitlik

% a = \frac{a}{100}

Yani “yüzde” ifadesi, paydası 100 olan bir kesir gibi çalışır.

2) Yüzde ↔ Ondalık ↔ Kesir dönüşümleri

Yüzdeyi ondalık sayıya çevirmek için 100’e bölme fikrini kullanırız.

% → Ondalık

Virgülü iki basamak sola kaydır.

%20 = 0,20

% → Kesir

Pay: yüzde değeri, Payda: 100

% 35 = \frac{35}{100}

Sadeleşebiliyorsa sadeleştir: 35/100 = 7/20

Dikkat

“%a = a/100” mantığını aklında tutarsan dönüşümlerde hata yapmazsın.

3) Bir sayının yüzdesini bulma

“x sayısının %a’sı” demek: x’in a/100 ile çarpılması demektir.

Temel formül

x sayısının % a si = x \cdot \frac{a}{100}

Örnek 1

240 sayısının %15’i kaçtır?

240 \cdot \frac{15}{100} = 240 \cdot 0.15 = 36

Sonuç: 36

Örnek 2

Bir ürün 500 TL ise, %8 KDV eklenince KDV tutarı kaç TL olur?

500 \cdot \frac{8}{100} = 40

KDV tutarı: 40 TL

4) Yüzde artış ve azalışı doğru okumak

“%a artış” demek, eski değerin üzerine eski değerin %a’sını eklemek demektir.

%a artış

Yeni = Eski \cdot (1 + \frac{a}{100})

Örn: %20 artış → 1,20 ile çarpılır.

%a azalış

Yeni = Eski \cdot (1 - \frac{a}{100})

Örn: %15 azalış → 0,85 ile çarpılır.

Sık yapılan hata

“%20 artış” ile “%20’si” aynı şey değildir. %20’si sadece parçayı verir, %20 artış ise parçayı ekleyip yeni toplamı oluşturur.

Mini alıştırmalar (çözümsüz)

Bir sonraki sayfada çözüm tekniklerini derinleştireceğiz.

360 sayısının %12’si kaçtır?
80 TL’nin %25’i kaç TL’dir?
Bir sayı %30 artırılırsa 260 oluyor. Artırılmadan önceki sayı kaçtır?
900 TL olan bir ürün %10 indirimle kaç TL olur?

Kısa özet

Yüzdeyi a/100 gibi düşün. “Bir sayının %a’sı” = o sayıyı a/100 ile çarpmaktır. “%a artış/azalış” ise yeni değeri bulmak için 1 ± a/100 ile çarpmaktır.

2. bölüm

TYT & AYT - Yüzde Problemleri - 2.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Yüzde Problemleri - 2. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Yüzde Problemleri

2. Sayfa • Bir Sayının Yüzdesini Bulma Problemleri

1) Bir sayının yüzdesini bulma problemi nasıl çözülür?

Bir sayının yüzdesini bulmak için o sayıyı yüzde değerinin kesir hali ile çarparız.

Genel formül:

Sonuç = Sayı \cdot \frac{Yüzde değeri}{100}

Örnek 1

400 sayısının %15’i kaçtır?

Adım 1: Yüzdeyi kesre çevir:

% 15 = \frac{15}{100}

Adım 2: Sayı ile çarp:

400 \cdot \frac{15}{100} = 60

Cevap: 60

Örnek 2

250 sayısının %32’si kaçtır?

Adım 1:

250 \cdot \frac{32}{100}

Adım 2:

250 \cdot 0.32 = 80

Cevap: 80

Gerçek hayat örneği

Bir öğrencinin sınavdan aldığı puan 90’dır. Bu puanın %40’ı kaçtır?

90 \cdot \frac{40}{100} = 36

Sonuç: 36 puan

Önemli bilgi

Bir sayının yüzdesini bulmak, o sayının belirli bir kısmını bulmak demektir. Yüzde problemlerinin büyük bölümü bu temel işlem üzerine kuruludur.

Alıştırmalar

600 sayısının %20’si kaçtır?
150 sayısının %12’si kaçtır?
480 sayısının %25’i kaçtır?
900 sayısının %5’i kaçtır?

3. bölüm

TYT & AYT - Yüzde Problemleri - 3.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Yüzde Problemleri - 3. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Yüzde Problemleri

3. Sayfa • Bir Sayının Yüzdesi Verildiğinde Sayının Tamamını Bulma

1) Bir sayının yüzdesi biliniyorsa, sayının tamamı nasıl bulunur?

Bazen bir sayının yüzdesi verilir, ancak sayının tamamı sorulur.

Bu durumda bilinmeyen sayıya x diyerek denklem kurarız.

Genel Denklem:

\frac{a}{100} \cdot x = verilen değer

Örnek 1

Bir sayının %20’si 50 ise, sayının tamamı kaçtır?

Adım 1: Denklem kur

\frac{20}{100} \cdot x = 50

Adım 2: x’i yalnız bırak

x = 50 \cdot \frac{100}{20}

Adım 3: Hesapla

x = 250

Cevap: 250

Örnek 2

Bir sayının %12’si 36 ise, sayı kaçtır?

Denklem:

\frac{12}{100} \cdot x = 36

Çözüm:

x = 36 \cdot \frac{100}{12} = 300

Cevap: 300

Gerçek hayat örneği

Bir ürünün %25’i 200 TL ise, ürünün tamamı kaç TL’dir?

x = 200 \cdot \frac{100}{25} = 800

Ürünün fiyatı: 800 TL

Kritik bilgi

Eğer yüzde verilmiş ve sonuç biliniyorsa, sayının tamamını bulmak için verilen değeri yüzde kesrinin tersine göre çarparız.

Alıştırmalar

Bir sayının %40’ı 80 ise sayı kaçtır?
Bir sayının %5’i 25 ise sayı kaçtır?
Bir sayının %50’si 300 ise sayı kaçtır?
Bir sayının %8’i 72 ise sayı kaçtır?

4. bölüm

TYT & AYT - Yüzde Problemleri - 4.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Yüzde Problemleri - 4. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Yüzde Problemleri

4. Sayfa • Yüzde Artış ve Azalış Problemleri (Katsayı Yöntemi)

1) Artış/azalışta en hızlı yol: katsayı (çarpan) kullanmak

“%a artış” → 1 + a/100 ile çarp. “%a azalış” → 1 − a/100 ile çarp.

%a artış

Yeni = Eski \cdot (1 + \frac{a}{100})

Katsayı: 1,a gibi düşün (ör. %20 artış → 1,20).

%a azalış

Yeni = Eski \cdot (1 - \frac{a}{100})

Katsayı: 0,a

Not

Artış/azalış sorularında “yeni değer” ile “artış miktarı” karıştırılmamalıdır. “Artış miktarı” sadece eklenen parçadır; “yeni değer” toplamdır.

Örnek 1 (Artış)

Bir ürünün fiyatı 250 TL’dir. Fiyat %20 artırılırsa yeni fiyat kaç TL olur?

Katsayı yöntemi

Yeni = 250 \cdot (1 + \frac{20}{100}) = 250 \cdot 1.20 = 300

Cevap: 300 TL

Örnek 2 (Azalış)

Bir montun fiyatı 800 TL’dir. %15 indirim yapılırsa yeni fiyat kaç TL olur?

Katsayı yöntemi

Yeni = 800 \cdot (1 - \frac{15}{100}) = 800 \cdot 0.85 = 680

Cevap: 680 TL

Örnek 3 (Artış miktarı sorulursa)

Bir öğrencinin deneme puanı 120 iken %25 artırılıyor. Artış miktarı kaç puandır?

Bu kez “yeni” değil, “eklenen parça” isteniyor.

Artış = 120 \cdot \frac{25}{100} = 30

Cevap: 30 puan

Kısa özet

Yeni değer istenirse katsayıyla çarp. Sadece indirim/artan kısım istenirse eskinin yüzdesini al.

Alıştırmalar

600 TL olan bir ürün %10 zamlanıyor. Yeni fiyat kaç TL?
400 TL olan bir ürün %25 indirimli satılıyor. Yeni fiyat kaç TL?
Bir sayıyı %40 artırınca 280 oluyor. Sayının eski hali kaçtır?
Bir puan %20 azaldığında 96 oluyor. Eski puan kaçtır?

5. bölüm

TYT & AYT - Yüzde Problemleri - 5.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Yüzde Problemleri - 5. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Yüzde Problemleri

5. Sayfa • Ardışık Yüzde Değişimleri (Zam + İndirim / İndirim + Zam)

1) Ardışık yüzde değişimlerinde “toplam yüzde” doğrudan toplanmaz

İki (veya daha fazla) yüzdelik değişim ardışık uygulanıyorsa, her adım bir önceki yeni değer üzerinden hesaplanır.

Örneğin “%20 zam, sonra %20 indirim” ifadesi kulağa “birbirini götürür” gibi gelebilir. Ancak ikinci işlem ilk zamlı fiyat üzerinden yapıldığı için sonuç genelde başlangıca dönmez.

Katsayı mantığı

%a zam → (1 + a/100)
%b indirim → (1 − b/100)

Ardışık değişim → katsayılar çarpılır.

Genel ifade

Yeni = Eski \cdot (1 \pm \frac{a}{100}) \cdot (1 \pm \frac{b}{100})

Hızlı kontrol

Katsayı çarpımı 1’den büyükse net artış, 1’den küçükse net azalış vardır.

Örnek 1 • %20 zam, sonra %20 indirim

Bir ürün 100 TL iken önce %20 zamlanıyor, sonra %20 indirim yapılıyor. Son fiyat kaç TL olur?

Adım adım katsayı

Son = 100 \cdot 1.20 \cdot 0.80 = 96

Son fiyat: 96 TL

Net sonuç %0 değildir: Çünkü 1,20 ile 0,80’in çarpımı 0,96’dır.

Örnek 2 • %30 indirim, sonra %30 zam

Bir ürün 200 TL iken %30 indirim yapılıyor, sonra yeni fiyat üzerinden %30 zam yapılıyor. Son fiyat kaç TL olur?

Katsayı yöntemi

Son = 200 \cdot 0.70 \cdot 1.30 = 182

Son fiyat: 182 TL

Net katsayı: 0,70 · 1,30 = 0,91 → başlangıcın %91’i.

Örnek 3 • Üç adımlı değişim

Bir sayıya sırasıyla %10 artış, %20 azalış, %25 artış uygulanıyor. Başlangıç sayısı 400 ise sonuç kaç olur?

Katsayılar

%10 artış → 1,10 %20 azalış → 0,80 %25 artış → 1,25

Son = 400 \cdot 1.10 \cdot 0.80 \cdot 1.25 = 440

Sonuç: 440

Sık tuzak

“%x zam ve %x indirim birbirini götürür” genellemesi yanlıştır. Aynı yüzde bile olsa işlemler farklı tabanlar üzerinden yapıldığı için sonuç değişir.

Alıştırmalar

120 TL olan ürüne %25 zam, sonra %10 indirim uygulanıyor. Son fiyat?
500 sayısına %20 azalış, sonra %30 artış uygulanıyor. Sonuç?
Bir fiyat %40 indirimle 180 TL oldu. Sonra bu yeni fiyata %25 zam yapıldı. Son fiyat?
Bir sayı önce %10 artırılıp sonra %10 azaltılıyor. Başlangıca döner mi? Neden?

6. bölüm

TYT & AYT - Yüzde Problemleri - 6.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Yüzde Problemleri - 6. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Yüzde Problemleri

6. Sayfa • Yüzde Oranı Bulma (Parça / Bütün) Problemleri

1) “Parça, bütünün yüzde kaçıdır?” sorusu

Bu tip sorularda önce parça/bütün oranı bulunur, sonra 100 ile çarpılarak yüzdeye çevrilir.

Temel ilişki

Yüzde = (\frac{Parça}{Bütün}) \cdot 100

Burada bütün her zaman referanstır (yüzde hesabı “bütün”e göre yapılır).

Kontrol sorusu

Parça bütünün yarısıysa yüzde kaç olur? Oran 1/2 olduğundan yüzde 50 çıkar.

Örnek 1

45 sayısı 180 sayısının yüzde kaçıdır?

Çözüm

(\frac{45}{180}) \cdot 100 = 25

Cevap: %25

Örnek 2

Bir sınıfta 12 öğrenci gözlüklüdür. Sınıf mevcudu 30 ise, gözlüklü öğrenciler sınıfın yüzde kaçıdır?

Çözüm

(\frac{12}{30}) \cdot 100 = 40

Cevap: %40

Örnek 3 (Yüzde kesirli çıkabilir)

18 sayısı 48 sayısının yüzde kaçıdır?

Çözüm fikri

Oran 18/48’dir. Bu oran sadeleşebilir ve yüzdeye çevrilirken 100 ile çarpılır.

(\frac{18}{48}) \cdot 100 = 37.5

Cevap: %37,5

Kritik uyarı

Yüzde hesabında “bütün” doğru seçilmelidir. Parça/bütün oranı ters alınırsa sonuç tamamen değişir.

Alıştırmalar

30 sayısı 120’nin yüzde kaçıdır?
Bir sepette 9 elma var, toplam 24 meyve var. Elmalar yüzde kaç?
14 sayısı 35’in yüzde kaçıdır?
16 sayısı 64’ün yüzde kaçıdır?

7. bölüm

TYT & AYT - Yüzde Problemleri - 7.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Yüzde Problemleri - 7. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Yüzde Problemleri

7. Sayfa • Yüzde Kar (Kâr) Problemleri

1) Kar (Kâr) nedir?

Bir ürünün satış fiyatı, alış fiyatından büyükse aradaki fark kar (kâr) olarak adlandırılır.

Kar miktarı:

Kar = Satış fiyatı - Alış fiyatı

Kar yüzdesi:

(\frac{Kar}{Alış fiyatı}) \cdot 100

Örnek 1

Bir ürün 200 TL’ye alınıp 260 TL’ye satılıyor. Kar yüzdesi kaçtır?

Adım 1: Karı bul

260 - 200 = 60

Adım 2: Yüzdeyi bul

(\frac{60}{200}) \cdot 100 = 30

Cevap: %30 kar

Örnek 2

Bir esnaf ürünü %25 karla satıyor. Ürünü 400 TL’ye sattığına göre alış fiyatı kaçtır?

Denklem kur:

Satış = Alış \cdot (1 + \frac{25}{100})

Yerine koy:

400 = x \cdot 1.25

Çöz:

x = 320

Alış fiyatı: 320 TL

Kritik bilgi

Kar yüzdesi her zaman alış fiyatına göre hesaplanır, satış fiyatına göre değil.

Alıştırmalar

Bir ürün 150 TL’ye alınıp 180 TL’ye satılıyor. Kar yüzdesi kaçtır?
Bir ürün %40 karla satılıp 280 TL elde edilmiştir. Alış fiyatı kaçtır?
Bir ürün 500 TL’ye alınıp %20 karla satılıyor. Satış fiyatı kaçtır?
Bir ürün %50 karla satıldığında 450 TL oluyor. Alış fiyatı kaçtır?

8. bölüm

TYT & AYT - Yüzde Problemleri - 8.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Yüzde Problemleri - 8. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Yüzde Problemleri

8. Sayfa • Yüzde Zarar Problemleri

1) Zarar nedir?

Bir ürün alış fiyatından daha düşük bir fiyata satılırsa zarar oluşur.

Zarar miktarı:

Zarar = Alış fiyatı - Satış fiyatı

Zarar yüzdesi:

(\frac{Zarar}{Alış fiyatı}) \cdot 100

Örnek 1

Bir ürün 300 TL’ye alınıp 240 TL’ye satılıyor. Zarar yüzdesi kaçtır?

Adım 1: Zarar miktarını bul

300 - 240 = 60

Adım 2: Zarar yüzdesini bul

(\frac{60}{300}) \cdot 100 = 20

Cevap: %20 zarar

Örnek 2

Bir esnaf ürünü %25 zarar ederek 450 TL’ye satıyor. Alış fiyatı kaç TL’dir?

Denklem kur:

Satış = Alış \cdot (1 - \frac{25}{100})

Yerine koy:

450 = x \cdot 0.75

Çöz:

x = 600

Alış fiyatı: 600 TL

Kritik fark

Kar ve zarar yüzdeleri her zaman alış fiyatına göre hesaplanır.

Alıştırmalar

Bir ürün 400 TL’ye alınıp 320 TL’ye satılıyor. Zarar yüzdesi kaçtır?
Bir ürün %10 zarar ederek 270 TL’ye satılmıştır. Alış fiyatı kaçtır?
Bir ürün 500 TL’ye alınıp %20 zarar ile satılıyor. Satış fiyatı kaçtır?
Bir ürün %40 zarar ile satıldığında 360 TL oluyor. Alış fiyatı kaçtır?

9. bölüm

TYT & AYT - Yüzde Problemleri - 9.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Yüzde Problemleri - 9. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Yüzde Problemleri

9. Sayfa • Kar-Zararın Birleşimi (Önce Zarar Sonra Kar / Önce Kar Sonra Zarar)

1) Kar ve zarar da birer “yüzde değişimidir”

Kar → fiyatı artıran bir yüzdelik değişim, zarar → fiyatı azaltan bir yüzdelik değişim gibi düşünülür.

Kar-zarar sorularının çoğu, aslında “ardışık yüzde değişimi” mantığı ile çözülür. Tek fark, oranların alış fiyatı üzerinden yorumlanmasıdır.

Katsayılar

%a kar → 1 + a/100
%b zarar → 1 − b/100

Birden fazla işlem → katsayıları çarp.

Net durum

Toplam katsayı 1’den küçükse net zarar, 1’den büyükse net kar vardır.

Net katsayı = (1 \pm \frac{a}{100}) \cdot (1 \pm \frac{b}{100})

Not

“%20 zarar sonra %20 kar” ifadesi de genelde başlangıca döndürmez. Çünkü işlemler farklı değerler üzerinden uygulanır.

Örnek 1 • Önce %20 zarar, sonra %25 kar

Alış fiyatı 500 TL olan bir ürün önce %20 zarar ile satılacak seviyeye düşürülüyor, sonra bu yeni fiyat üzerinden %25 kar ile satılıyor. Son satış fiyatı kaç TL olur?

Katsayılarla çözüm

Son = 500 \cdot 0.80 \cdot 1.25 = 500 \cdot 1.00 = 500

Son satış fiyatı: 500 TL

Bu örnekte katsayı çarpımı 1 oldu: 0,80 · 1,25 = 1. Yani net değişim sıfır çıktı (her zaman böyle olmaz).

Örnek 2 • Önce %10 kar, sonra %10 zarar

Alış fiyatı 200 TL olan bir ürün önce %10 karla satılıyor, sonra bu satış fiyatı üzerinden %10 zarar olacak şekilde fiyat düşürülüyor. Son fiyat kaç TL olur?

Katsayı yöntemi

Son = 200 \cdot 1.10 \cdot 0.90 = 198

Son fiyat: 198 TL

Net katsayı 0,99 olduğu için net %1 zarar vardır (200’den 198’e).

Örnek 3 • Net kar/zarar yüzdesi

Bir ürünün fiyatı önce %30 artırılıyor, sonra %20 azaltılıyor. Net değişim yüzde kaçtır?

Net katsayı

1.30 \cdot 0.80 = 1.04

1,04 demek, başlangıcın %104’ü demektir.

Net değişim: %4 artış

Kısa özet

Kar-zarar ve zam-indirim sorularında en güçlü yöntem: yüzdeyi katsayıya çevir ve katsayıları çarp.

Alıştırmalar

Bir fiyat önce %25 artıp sonra %20 azalıyor. Net yüzde değişimi nedir?
Alış 300 TL. %15 karla satılıp sonra %10 indirim yapılıyor. Son fiyat?
Alış 500 TL. %20 zarar sonra %30 kar uygulanıyor. Son fiyat?
Bir ürün %10 zamlanıp %10 indirim görüyor. Son fiyat başlangıcın yüzde kaçı?

10. bölüm

TYT & AYT - Yüzde Problemleri - 10.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Yüzde Problemleri - 10. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Yüzde Problemleri

10. Sayfa • İndirim Problemleri (Gerçek Hayat Soruları)

1) İndirim problemlerinin temel mantığı

Bir ürüne indirim uygulandığında, ürünün fiyatı belirli bir yüzde kadar azaltılır.

İndirimli fiyat formülü:

İndirimli fiyat = Eski fiyat \cdot (1 - \frac{İndirim yüzdesi}{100})

Alternatif yöntem:

İndirimli fiyat, eski fiyatın kalan yüzdesidir.

Kalan yüzde = 100 - indirim yüzdesi

Örnek 1

800 TL olan bir ürün %25 indirimle kaç TL olur?

Çözüm:

Kalan yüzde = %75

800 \cdot 0.75 = 600

İndirimli fiyat: 600 TL

Örnek 2

450 TL olan bir ürün %40 indirimle kaç TL olur?

Kalan yüzde:

%60

450 \cdot 0.60 = 270

Sonuç: 270 TL

Örnek 3 (İndirim miktarı sorulursa)

900 TL olan bir ürün %20 indirimle satılıyor. İndirim miktarı kaç TL’dir?

İndirim miktarı:

900 \cdot \frac{20}{100} = 180

İndirim miktarı: 180 TL

Kritik bilgi

İndirimli fiyat ile indirim miktarı farklı kavramlardır. Soruda hangisinin istendiğine dikkat edilmelidir.

Alıştırmalar

600 TL olan bir ürün %30 indirimle kaç TL olur?
250 TL olan bir ürün %20 indirimle kaç TL olur?
800 TL olan bir ürün %10 indirimle kaç TL olur?
1000 TL olan bir ürün %15 indirimle kaç TL olur?