1. bölüm

TYT & AYT - Yüzde Problemleri - 11.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Yüzde Problemleri - 11. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Yüzde Problemleri

11. Sayfa • Etiket Fiyatı, İndirim ve Gerçek Satış Fiyatı Problemleri

1) Etiket fiyatı nedir?

Etiket fiyatı, bir ürünün mağazada görünen ilk fiyatıdır. İndirim uygulanırsa, gerçek satış fiyatı bu değerden daha düşük olur.

Gerçek satış fiyatı:

Satış fiyatı = Etiket fiyatı \cdot (1 - \frac{indirim}{100})

Örnek 1

Etiket fiyatı 500 TL olan bir ürün %20 indirimle satılıyor. Gerçek satış fiyatı kaç TL olur?

Kalan yüzde:

%80

500 \cdot 0.80 = 400

Satış fiyatı: 400 TL

Örnek 2

Bir ürün %25 indirimle 300 TL’ye satılmıştır. Etiket fiyatı kaç TL’dir?

Denklem kur:

x \cdot 0.75 = 300

Çöz:

x = 400

Etiket fiyatı: 400 TL

Örnek 3

Bir ürün %40 indirimle 180 TL’ye satılmıştır. Etiket fiyatı kaç TL’dir?

Denklem:

x \cdot 0.60 = 180

Çözüm:

x = 300

Etiket fiyatı: 300 TL

Kritik bilgi

İndirimli fiyat, etiket fiyatının kalan yüzdesidir. Denklem kurarak bilinmeyen kolayca bulunabilir.

Alıştırmalar

Bir ürün %20 indirimle 240 TL’ye satılıyor. Etiket fiyatı kaçtır?
Bir ürün %50 indirimle 150 TL’ye satılıyor. Etiket fiyatı kaçtır?
Bir ürün %10 indirimle 360 TL’ye satılıyor. Etiket fiyatı kaçtır?
Bir ürün %40 indirimle 420 TL’ye satılıyor. Etiket fiyatı kaçtır?

2. bölüm

TYT & AYT - Yüzde Problemleri - 12.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Yüzde Problemleri - 12. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Yüzde Problemleri

12. Sayfa • KDV (Katma Değer Vergisi) Problemleri

1) KDV nedir?

KDV (Katma Değer Vergisi), bir ürün veya hizmetin fiyatına eklenen yüzdelik bir vergidir.

KDV dahil fiyat:

KDV dahil fiyat = KDV'siz fiyat \cdot (1 + \frac{KDV oranı}{100})

KDV miktarı:

KDV = KDV'siz fiyat \cdot \frac{KDV oranı}{100}

Örnek 1

KDV'siz fiyatı 500 TL olan bir ürünün KDV oranı %20’dir. KDV dahil fiyat kaç TL olur?

Çözüm:

KDV dahil katsayı = 1,20

500 \cdot 1.20 = 600

Sonuç: 600 TL

Örnek 2

KDV'siz fiyatı 800 TL olan bir ürünün KDV oranı %10’dur. KDV miktarı kaç TL’dir?

Çözüm:

800 \cdot \frac{10}{100} = 80

KDV miktarı: 80 TL

Örnek 3

KDV dahil fiyatı 660 TL olan bir ürünün KDV oranı %10’dur. KDV'siz fiyat kaç TL’dir?

Denklem kur:

x \cdot 1.10 = 660

Çöz:

x = 600

KDV'siz fiyat: 600 TL

Kritik bilgi

KDV eklenirken fiyat artar, KDV çıkarılırken fiyat azalır. Her iki durumda da katsayı yöntemi kullanılabilir.

Alıştırmalar

KDV'siz fiyatı 400 TL olan ürünün KDV oranı %20’dir. KDV dahil fiyat kaç TL olur?
KDV dahil fiyatı 550 TL olan ürünün KDV oranı %10’dur. KDV'siz fiyat kaç TL’dir?
KDV'siz fiyatı 900 TL olan ürünün KDV oranı %8’dir. KDV miktarı kaç TL’dir?
KDV dahil fiyatı 1200 TL olan ürünün KDV oranı %20’dir. KDV'siz fiyat kaç TL’dir?

3. bölüm

TYT & AYT - Yüzde Problemleri - 13.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Yüzde Problemleri - 13. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Yüzde Problemleri

13. Sayfa • Karışım Problemleri (Yüzde Derişim / Yüzde Oran)

1) Yüzde derişim ne demektir?

Karışım problemlerinde yüzde, “karışımın içindeki saf maddenin payı” anlamına gelir.

Örneğin %20 tuzlu su demek, karışımın %20’si tuz, %80’i sudur. Karışım miktarı değişse bile, saf madde miktarı yüzdeye göre hesaplanır.

Temel ilişki

Saf madde = Karışım \cdot \frac{Derişim}{100}

Derişim % ise, saf madde miktarı “karışımın yüzdesi” alınarak bulunur.

Kritik fikir

Karışımlarda en güvenli yol: saf madde miktarını takip etmektir.

Örnek 1

%20 tuzlu 300 g karışımda kaç gram tuz vardır?

Çözüm

Tuz = 300 \cdot \frac{20}{100} = 60

Tuz: 60 g

Örnek 2

%10 tuzlu 200 g su ile %30 tuzlu 100 g su karıştırılıyor. Yeni karışımın tuz yüzdesi kaçtır?

Saf tuzu ayrı ayrı bul

İlk karışımın tuzu: 200 g’nin %10’u → 20 g
İkinci karışımın tuzu: 100 g’nin %30’u → 30 g

Toplam tuz = 50 g, toplam karışım = 300 g

Yüzde = (\frac{50}{300}) \cdot 100 = 16.6 ¯

Yaklaşık: %16,67

Bu tür sonuçlar kesirli çıkabilir; istenirse ondalıkla ifade edilir.

Örnek 3 (Seyreltme)

%25 tuzlu 200 g karışıma 200 g saf su ekleniyor. Yeni yüzde kaç olur?

Saf tuz korunur

Başlangıç tuz miktarı: 200 g’nin %25’i → 50 g

Su eklenince toplam karışım: 200 + 200 = 400 g, tuz yine 50 g

Yeni yüzde = (\frac{50}{400}) \cdot 100 = 12.5

Sonuç: %12,5

Kısa özet

Karışım sorularında yüzde demek “saf madde payı” demektir. Saf maddeyi hesapla, topla, yeni karışıma oranla.

Alıştırmalar

%40 tuzlu 150 g karışımda kaç g tuz vardır?
%10 tuzlu 300 g ile %20 tuzlu 200 g karıştırılıyor. Yeni yüzde?
%30 tuzlu 100 g karışıma 200 g su ekleniyor. Yeni yüzde?
%25 tuzlu 400 g karışımdan 100 g alınırsa, kalan karışımın yüzdesi değişir mi? Neden?

4. bölüm

TYT & AYT - Yüzde Problemleri - 14.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Yüzde Problemleri - 14. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Yüzde Problemleri

14. Sayfa • Maaş Artışı ve Maaş Azalışı Problemleri

1) Maaş artışı yüzde artış problemidir

Maaş artışı, maaşın belirli bir yüzdesi kadar artması anlamına gelir.

Yeni maaş formülü:

Yeni maaş = Eski maaş \cdot (1 + \frac{artış yüzdesi}{100})

Maaş azalırsa:

Yeni maaş = Eski maaş \cdot (1 - \frac{azalış yüzdesi}{100})

Örnek 1

Maaşı 8000 TL olan bir çalışanın maaşı %25 artırılıyor. Yeni maaş kaç TL olur?

Çözüm:

Katsayı = 1,25

8000 \cdot 1.25 = 10000

Yeni maaş: 10000 TL

Örnek 2

Maaşı 6000 TL olan bir çalışanın maaşı %10 azaltılıyor. Yeni maaş kaç TL olur?

Çözüm:

Katsayı = 0,90

6000 \cdot 0.90 = 5400

Yeni maaş: 5400 TL

Örnek 3

Maaşı %20 artarak 7200 TL olan bir kişinin eski maaşı kaç TL idi?

Denklem kur:

x \cdot 1.20 = 7200

Çözüm:

x = 6000

Eski maaş: 6000 TL

Kritik bilgi

Maaş artışı ve azalışı sorularında katsayı yöntemi en hızlı çözümdür.

Alıştırmalar

Maaşı 9000 TL olan kişi %10 zam alıyor. Yeni maaş kaç TL olur?
Maaşı 7000 TL olan kişi %20 zam alıyor. Yeni maaş kaç TL olur?
Maaşı %25 artarak 10000 TL oluyor. Eski maaş kaç TL idi?
Maaşı %20 azalarak 4800 TL oluyor. Eski maaş kaç TL idi?

5. bölüm

TYT & AYT - Yüzde Problemleri - 15.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Yüzde Problemleri - 15. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Yüzde Problemleri

15. Sayfa • Bir Sayının Yüzde Kaç Arttığı veya Azaldığı Problemleri

1) Yüzde artış nasıl hesaplanır?

Bir sayı arttığında, artış miktarı başlangıç değerine oranlanarak yüzde artış bulunur.

Yüzde artış formülü:

Artış yüzdesi = (\frac{Yeni değer − Eski değer}{Eski değer}) \cdot 100

Yüzde azalış formülü:

Azalış yüzdesi = (\frac{Eski değer − Yeni değer}{Eski değer}) \cdot 100

Örnek 1

Bir ürünün fiyatı 400 TL’den 500 TL’ye çıkıyor. Yüzde artış kaçtır?

Artış miktarı:

500 − 400 = 100

(\frac{100}{400}) \cdot 100 = 25

Artış: %25

Örnek 2

Bir ürünün fiyatı 600 TL’den 450 TL’ye düşüyor. Yüzde azalış kaçtır?

Azalış miktarı:

600 − 450 = 150

(\frac{150}{600}) \cdot 100 = 25

Azalış: %25

Örnek 3

Bir öğrencinin notu 80’den 92’ye çıkıyor. Yüzde artış kaçtır?

Artış:

92 − 80 = 12

(\frac{12}{80}) \cdot 100 = 15

Artış: %15

Kritik bilgi

Yüzde artış ve azalış hesaplanırken her zaman başlangıç değeri paydada kullanılır.

Alıştırmalar

200 TL’den 260 TL’ye çıkan fiyatın yüzde artışı kaçtır?
500 TL’den 400 TL’ye düşen fiyatın yüzde azalışı kaçtır?
80’den 100’e çıkan sayının yüzde artışı kaçtır?
300’den 240’a düşen sayının yüzde azalışı kaçtır?

6. bölüm

TYT & AYT - Yüzde Problemleri - 16.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Yüzde Problemleri - 16. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Yüzde Problemleri

16. Sayfa • “Yüzde x’i artınca/azalınca y oldu” (Ters Yüzde) Problemleri

1) “Artınca/azalınca” ifadeleri ters işlem gerektirir

Soruda yeni değer veriliyorsa, eski değeri bulmak için katsayı ile denklem kurulur.

%a artınca

Yeni = Eski \cdot (1 + \frac{a}{100})

Eskiyi bulmak için: Eski = Yeni ÷ (1 + a/100)

%a azalınca

Yeni = Eski \cdot (1 - \frac{a}{100})

Eskiyi bulmak için: Eski = Yeni ÷ (1 − a/100)

Sık hata

“%20 artınca” deyince bazı öğrenciler yeni değeri 1,20’ye bölmek yerine 0,20’ye bölmeye çalışır. Doğru olan katsayıdır: 1,20.

Örnek 1

Bir sayı %25 artınca 500 oluyor. Bu sayının başlangıç değeri kaçtır?

Denklem

x \cdot 1.25 = 500

Çözüm

x = 400

Başlangıç: 400

Örnek 2

Bir fiyat %20 indirimle 360 TL olmuştur. İndirimden önceki fiyat kaç TL’dir?

Kalan yüzde

%20 indirim demek, yeni fiyat eski fiyatın %80’i demektir → katsayı 0,80.

x \cdot 0.80 = 360

x = 450

Eski fiyat: 450 TL

Örnek 3

Bir sayının %15’i azaltılınca 170 oluyor. Sayının başlangıç değeri kaçtır?

Katsayı

%15 azalış → katsayı 0,85

x \cdot 0.85 = 170

x = 200

Başlangıç: 200

Kısa özet

Yeni değer verildiyse: Eski = Yeni ÷ katsayı. Katsayı, “kalan yüzde” veya “artışlı yüzde” ile bulunur.

Alıştırmalar

Bir sayı %30 artınca 260 oluyor. Başlangıç kaçtır?
Bir fiyat %40 indirimle 180 TL oldu. Etiket fiyatı kaç TL idi?
Bir sayı %20 azalınca 96 oluyor. Başlangıç kaçtır?
Bir maaş %10 zamla 12100 TL oldu. Eski maaş kaç TL’dir?

7. bölüm

TYT & AYT - Yüzde Problemleri - 17.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Yüzde Problemleri - 17. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Yüzde Problemleri

17. Sayfa • “Oran Değişince Yüzde Değişim” (Birbirine Oranlanan Nicelikler)

1) Oran değişimi de yüzde değişimidir

A/B oranı değiştiğinde, yeni oran ile eski oran karşılaştırılarak yüzde değişim bulunur.

Bazı sorularda “A, B’ye oranla % kaç değişti?” gibi ifadeler geçer. Burada dikkat edilmesi gereken nokta şudur: Oranı bir sayı gibi düşün ve onun yüzde değişimini hesapla.

Oran (eski / yeni)

Oran = \frac{A}{B}

Eski oran ve yeni oran bulunur.

Oranın yüzde değişimi

Yüzde değişim = (\frac{Yeni oran − Eski oran}{Eski oran}) \cdot 100

Payda her zaman eski oran olur.

Mini ipucu

Oranlar kesirli çıkabilir. Kesri sadeleştirmek işlemi kolaylaştırır.

Örnek 1

A = 40, B = 50 iken A/B oranı kaçtır? A 48’e çıkıp B 40’a düşerse oran yüzde kaç değişir?

Eski oran

\frac{40}{50} = \frac{4}{5}

Yeni oran

\frac{48}{40} = \frac{6}{5}

Yüzde değişim

(\frac{\frac{6}{5} - \frac{4}{5}}{\frac{4}{5}}) \cdot 100 = 50

Oran %50 artmıştır.

Örnek 2

Bir sınıfta kız/erkek oranı başlangıçta 3/2 iken, kız sayısı %20 artıp erkek sayısı %10 azalıyor. Yeni kız/erkek oranı kaç olur?

Oran üzerinden düşün

Başlangıç oran 3/2 ise kız = 3k, erkek = 2k alınabilir.

Kız yeni = 3 k \cdot 1.20 = 3.6 k

Erkek yeni = 2 k \cdot 0.90 = 1.8 k

Yeni oran = \frac{3.6 k}{1.8 k} = \frac{2}{1}

Yeni kız/erkek oranı: 2/1

Örnek 3

Bir mağazada “satış / maliyet” oranı 1,25 iken maliyet %20 artıyor, satış fiyatı sabit kalıyor. Yeni “satış / maliyet” oranı yüzde kaç değişir?

Oran değişimini izle

Satış sabit, maliyet %20 artıyorsa payda 1,20 ile çarpılır. Oran 1/1,20 ile çarpılmış gibi olur.

Yeni oran = 1.25 \cdot \frac{1}{1}

Bu adımda kesir hazır değil gibi görünmesin diye doğrudan yazıldı; amaç “payda büyürse oran küçülür” fikridir.

Oran azalır (yüzde değişim hesaplanırken eski orana göre karşılaştırılır).

Örnek 3’ün sayısal tamamlanması

1,25 = 125/100 alınırsa:

Yeni oran = \frac{125}{100} \cdot \frac{100}{120} = \frac{125}{120}

Eski oran 125/100 idi. Yeni oran 125/120 oldu. Oran küçüldü.

Değişim = (\frac{\frac{125}{120} - \frac{125}{100}}{\frac{125}{100}}) \cdot 100 = - 16.6 ¯

Yaklaşık %16,67 azalış

Kısa özet

Oranı bir sayı gibi ele al: eski oranı bul, yeni oranı bul, sonra yüzde değişim formülüyle karşılaştır.

Alıştırmalar

A/B oranı 2/5 iken A %25 artıyor, B %20 azalıyor. Yeni oran?
x/y oranı 3/4 iken x %10 azalıyor, y %20 artıyor. Oran yüzde kaç değişir?
Kız/erkek oranı 5/4 iken kız %10 artıyor, erkek %10 azalıyor. Yeni oran?
Satış/maliyet oranı 1,50 iken maliyet %25 artarsa oran yüzde kaç değişir?

8. bölüm

TYT & AYT - Yüzde Problemleri - 18.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Yüzde Problemleri - 18. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Yüzde Problemleri

18. Sayfa • Ardışık Yüzde Değişimleri (Artış ve Azalışın Birleşimi)

1) Ardışık yüzde değişimi nedir?

Bir değer art arda birden fazla kez yüzde değişimine uğrarsa, her değişim bir katsayı ile temsil edilir.

Genel formül:

Son değer = İlk değer \cdot Katsayı₁ \cdot Katsayı₂ \cdot ...

Katsayı dönüşümleri:

%a artış → katsayı = 1 + a/100
%a azalış → katsayı = 1 − a/100

Örnek 1

Bir ürünün fiyatı önce %20 artıyor, sonra %10 azalıyor. Başlangıç fiyatı 500 TL ise son fiyat kaç TL olur?

Katsayılar:

%20 artış → 1,20
%10 azalış → 0,90

500 \cdot 1.20 \cdot 0.90 = 540

Son fiyat: 540 TL

Örnek 2

Bir sayı önce %30 azalıyor, sonra %50 artıyor. Başlangıç sayı 200 ise son değer kaçtır?

%30 azalış → 0,70
%50 artış → 1,50

200 \cdot 0.70 \cdot 1.50 = 210

Son değer: 210

Örnek 3 (Net yüzde değişimi)

Bir ürün önce %10 artıyor, sonra %10 azalıyor. Başlangıç fiyatı 100 TL ise son fiyat kaç TL olur ve net değişim yüzde kaçtır?

100 \cdot 1.10 \cdot 0.90 = 99

Net değişim:

(\frac{99}{100} - 1) \cdot 100 = - 1

Son fiyat: 99 TL
Net değişim: %1 azalış

Kritik bilgi

Aynı yüzde artış ve azalış birbirini tam olarak götürmez.

Alıştırmalar

Bir fiyat %25 artıp %20 azalırsa net değişim nedir?
Bir sayı %40 azalır sonra %50 artarsa net değişim nedir?
800 TL fiyat önce %10 artıp sonra %20 azalırsa son fiyat nedir?
Bir değer %50 artıp sonra %50 azalırsa net değişim nedir?

9. bölüm

TYT & AYT - Yüzde Problemleri - 19.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Yüzde Problemleri - 19. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Yüzde Problemleri

19. Sayfa • Yüzde Problemlerinde Denklem Kurma (İleri Seviye)

1) Bilinmeyen içeren yüzde problemleri

Bazı yüzde problemlerinde başlangıç değeri bilinmez. Bu durumda bilinmeyen bir değişken atanır ve denklem kurulur.

Genel yapı:

x \cdot Katsayı = Son değer

Örnek 1

Bir ürünün fiyatı %20 artırıldıktan sonra %10 indirilince 540 TL oluyor. Başlangıç fiyatı kaç TL idi?

Denklem:

%20 artış → 1,20
%10 azalış → 0,90

x \cdot 1.20 \cdot 0.90 = 540

Çarpım:

1,20 × 0,90 = 1,08

x \cdot 1.08 = 540

Çözüm:

x = 500

Başlangıç fiyatı: 500 TL

Örnek 2

Bir sayının %30’u ile %20’sinin toplamı 100’dür. Sayı kaçtır?

Denklem:

0,30x + 0,20x = 100

0,50x = 100

x = 200

Sayı: 200

Örnek 3

Bir sayının %40’ı, sayının %25’inden 30 fazladır. Sayı kaçtır?

Denklem:

0,40x = 0,25x + 30

0,15x = 30

x = 200

Sayı: 200

Kritik bilgi

Yüzde problemlerinde bilinmeyen varsa mutlaka denklem kurarak çözülmelidir.

Alıştırmalar

Bir sayının %50’si ile %20’sinin farkı 60 ise sayı kaçtır?
Bir fiyat %25 artıp %20 azalınca 600 TL oluyor. Başlangıç fiyatı kaçtır?
Bir sayının %30’u, sayının %10’undan 40 fazladır. Sayı kaçtır?
Bir sayının %60’ı ile %40’ının toplamı 200 ise sayı kaçtır?

10. bölüm

TYT & AYT - Yüzde Problemleri - 20.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Yüzde Problemleri - 20. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Yüzde Problemleri

20. Sayfa • Zor Seviye Karma Sorular (Sınav Tadında)

Sınav stratejisi

Zor yüzde problemlerinde çoğu zaman tek sihir: katsayı, denklem ve doğru referans (başlangıç).

Ardışık işlemlerde: katsayıları çarp.
“%x’i oldu / %x’i kaldı” ifadelerinde: yeni = eski · katsayı.
Bilinmeyen varsa: x ata, tek denklem kur.
Oran sorularında: oranı sayı gibi ele al.

Soru 1

Bir ürünün etiket fiyatına önce %20 zam yapılıyor, ardından yeni fiyat üzerinden %25 indirim uygulanıyor. Son fiyat 480 TL olduğuna göre ürünün zamdan önceki etiket fiyatı kaç TL’dir?

Katsayılar

%20 zam → 1,20 • %25 indirim → 0,75

x \cdot 1.20 \cdot 0.75 = 480

1,20 · 0,75 = 0,90

x \cdot 0.90 = 480

x = 533.3 ¯

Etiket fiyatı: 533,33… TL

Soru 2

Bir sınıfta kızların sayısı erkeklerin sayısından %25 fazladır. Bir süre sonra kız sayısı %20 artıyor, erkek sayısı %10 azalıyor. Yeni durumda kız/erkek oranı kaç olur?

Kurulum

Erkek = 4k alınırsa, kız %25 fazla → kız = 5k olur.

Kız yeni = 5 k \cdot 1.20 = 6 k

Erkek yeni = 4 k \cdot 0.90 = 3.6 k

Oran = \frac{6 k}{3.6 k} = \frac{5}{3}

Yeni kız/erkek oranı: 5/3

Soru 3

Bir mağaza bir ürünü maliyetine göre %40 karla etiketliyor. Daha sonra etiket fiyatı üzerinden %20 indirim yapıyor. Son satışta ürün % kaç karla satılmış olur?

Katsayı mantığı

Maliyet = x olsun. Etiket = 1,40x. İndirimli satış = 0,80 · 1,40x.

Satış = 0.80 \cdot 1.40 x = 1.12 x

Satış = 1,12x olduğuna göre maliyete göre %12 kar vardır.

Sonuç: %12 kar

Soru 4

Bir karışımın %30’u tuzdur. Bu karışıma bir miktar saf su eklenince tuz yüzdesi %20’ye düşüyor. Başlangıçta 300 g karışım varsa, kaç g su eklenmiştir?

Saf tuzu koru

Başlangıç tuzu: 300 g’nin %30’u → 90 g. Su eklenince tuz yine 90 g kalır.

Yeni toplam = (\frac{90}{20}) \cdot 100 = 450

Yeni toplam 450 g ise, eklenen su: 450 − 300 = 150 g

Eklenen su: 150 g

Kapanış

Yüzde problemlerinde zor görünen sorular bile çoğunlukla 3 şeye indirgenir: katsayı, saf miktar ve denklem.