Bir bölme işleminde dört temel parça vardır:

Örneğin 29 sayısını 5’e bölersek: 5’lik gruplar halinde 5 grup çıkar ve 4 artar.

b ≠ 0 olmak üzere her tam sayı a, b’ye bölündüğünde şu şekilde yazılır:

$$a=b·q+r$$

Bu ifade, bölme-bölünebilme konularının “çekirdek motorudur”. TYT’de temel sorularda, AYT’de ise daha zor “modüler düşünme” sorularında sürekli kullanılır.

a sayısı b sayısına bölünüyorsa, a tam olarak b’nin katıdır. Yani bir tam sayı k vardır ve:

$$a=b·k$$

Örnek: 84 sayısı 7’ye bölünür çünkü 84 = 7·12’dir.

$$a\equiv r\left(\mathrm{mod}b\right)$$

Sayfa 1 Özeti

• Bölme algoritması: a = b·q + r
• Kalan koşulu: 0 ≤ r < |b|
• Bölünebilme: r = 0 (yani sayı bölenin katıdır)

Bir sayı, başka bir sayının tam katı ise, bu sayı o sayıya kalansız bölünebilir.

Bir sayının katlarını bulmak için o sayı ardışık tam sayılarla çarpılır.

Bölünebilme ve kat kavramları birbirinin tersidir.

$$a=b·k$$

48 sayısı 6’ya bölünür mü?

Kontrol edelim:

$$48=6·8$$

Bir tam sayı ile çarpım şeklinde yazıldığı için:

48, 6’ya bölünür ve kalan 0’dır.

Sayfa 2 Özeti

• Kat: a = b·k biçiminde yazılabilen sayıdır
• Bölünebilme ⇄ Kat ilişkisi vardır
• Bölünebilme varsa kalan 0’dır
• Katlar çarpma ile bulunur

Bazı sayılar için, uzun bölme işlemi yapmadan bölünüp bölünmediğini anlamanın hızlı yolları vardır. Bu yöntemlere bölünebilme kuralları denir.

Bu kurallar, sayıların basamak değerlerine ayrılması prensibine dayanır.

Bir sayıyı şu şekilde yazabiliriz:

$$347=3·100+4·10+7$$

Bu yazım, bölünebilme kurallarının matematiksel temelidir.

Her sayı, 10'un kuvvetleri kullanılarak yazılabilir:

$$5824=5·1000+8·100+2·10+4$$

Bu ifade, bölünebilme analizinin temelidir.

Örneğin 10 sayısı:

$$10=2·5$$

Bu nedenle 10'un katları hem 2'ye hem 5'e bölünür.

Aynı şekilde:

$$100=10·10$$

Bu nedenle son iki basamak, bazı bölünebilme kurallarında belirleyicidir.

240 sayısı neden 10'a bölünür?

Çünkü:

$$240=24·10$$

Son basamağı 0 olan tüm sayılar 10’a bölünür.

Sayfa 3 Özeti

• Sayılar basamak değerlerine ayrılabilir
• Bölünebilme kuralları bu ayrıştırmaya dayanır
• 10’un kuvvetleri bölünebilme kurallarını belirler
• Bu mantık tüm bölünebilme kurallarının temelidir

Bir sayının 2 ile bölünebilmesi için son basamağının çift sayı olması gerekir.

Çift sayılar şunlardır:

0, 2, 4, 6, 8

Son basamağı bu sayılardan biri olan tüm sayılar 2’ye tam bölünür.

Her sayı şu şekilde yazılabilir:

$$a=10·k+b$$

Burada b son basamaktır.

Çünkü:

$$10=2·5$$

Bu nedenle:

10·k ifadesi her zaman 2’ye bölünür.

Bu yüzden bölünebilme sadece son basamağa bağlıdır.

3478 sayısı 2’ye bölünür mü?

Sayıyı yazalım:

$$3478=347·10+8$$

Son basamak 8 olduğu için sayı 2’ye bölünür.

3475 sayısı 2’ye bölünür mü?

Son basamak 5'tir.

5 tek sayı olduğu için bölünmez.

Sayfa 4 Özeti

• Son basamağı çift olan sayılar 2’ye bölünür
• 10 sayısı 2’ye bölünebildiği için sadece son basamak önemlidir
• Çift basamak → bölünür
• Tek basamak → bölünmez

Bir sayının 5 ile bölünebilmesi için son basamağının sadece şu iki sayıdan biri olması gerekir:

0 veya 5

Son basamağı 0 veya 5 olan tüm sayılar 5'e tam bölünür.

Çünkü bu sayılar her zaman 5'in katıdır.

Her sayı şu şekilde yazılabilir:

$$a=10·k+b$$

Burada b son basamaktır.

Çünkü:

$$10=5·2$$

Bu nedenle 10·k her zaman 5’e bölünür.

Bu yüzden bölünebilme sadece son basamağa bağlıdır.

4385 sayısı 5’e bölünür mü?

Sayıyı yazalım:

$$4385=438·10+5$$

Son basamak 5 olduğu için sayı 5’e bölünür.

4387 sayısı 5’e bölünür mü?

Son basamak 7’dir.

Son basamak 0 veya 5 olmadığı için bölünmez.

Sayfa 5 Özeti

• Son basamak 0 veya 5 ise sayı 5’e bölünür
• Bunun nedeni 10’un 5’in katı olmasıdır
• Bölünebilme sadece son basamağa bağlıdır
• Son basamak kontrolü hızlı çözüm sağlar

Bir sayının 10 ile bölünebilmesi için son basamağının 0 olması gerekir.

Son basamak = 0

Son basamağı 0 olan tüm sayılar 10’un katıdır.

Her sayı şu şekilde yazılabilir:

$$a=10·k+b$$

Eğer son basamak:

b = 0 ise sayı 10’a tam bölünür.

Çünkü:

$$a=10·k$$

10 ile bölünebilme tamamen onluk sayı sisteminden gelir.

Çünkü:

$$100=10·10$$

Bu nedenle sondaki sıfırlar 10’un katlarını gösterir.

Sayfa 6 Özeti

• Son basamak 0 ise sayı 10’a bölünür
• Bu durum basamak sisteminden kaynaklanır
• Sondaki sıfırlar 10’un katlarını gösterir
• Bölünebilme kontrolü çok hızlı yapılabilir

Bir sayının 4 ile bölünebilmesi için son iki basamağının oluşturduğu sayının 4 ile bölünebilmesi gerekir.

Yani sadece son iki basamak kontrol edilir.

Her sayı şu şekilde yazılabilir:

$$a=100·k+b$$

Burada b son iki basamaktır.

Çünkü:

$$100=4·25$$

Bu nedenle 100·k her zaman 4’e bölünür.

Bölünebilme sadece son iki basamağa bağlıdır.

7316 sayısı 4’e bölünür mü?

Son iki basamak 16’dır.

$$16=4·4$$

Bu nedenle sayı 4’e bölünür.

7318 sayısı 4’e bölünür mü?

Son iki basamak 18’dir.

18 sayısı 4’e bölünmez, bu nedenle sayı bölünmez.

Sayı ne kadar büyük olursa olsun sadece son iki basamak önemlidir.

Bu özellik TYT ve AYT’de hızlı çözüm sağlar.

Sayfa 7 Özeti

• Son iki basamak kontrol edilir
• Çünkü 100 sayısı 4’e bölünür
• Büyük sayılar kolay analiz edilir
• Bölünebilme hızlı tespit edilir

Bir sayının 8 ile bölünebilmesi için son üç basamağının oluşturduğu sayının 8 ile bölünebilmesi gerekir.

Yani sadece son üç basamak kontrol edilir.

Her sayı şu şekilde yazılabilir:

$$a=1000·k+b$$

Burada b son üç basamaktır.

Çünkü:

$$1000=8·125$$

Bu nedenle 1000·k her zaman 8’e bölünür.

Bu yüzden bölünebilme sadece son üç basamağa bağlıdır.

12456 sayısı 8’e bölünür mü?

Son üç basamak 456’dır.

$$456=8·57$$

Bu nedenle sayı 8’e bölünür.

12458 sayısı 8’e bölünür mü?

Son üç basamak 458’dir.

458 sayısı 8’e bölünmez, bu nedenle sayı bölünmez.

Sayı milyonlar basamağında bile olsa sadece son üç basamak kontrol edilir.

Bu özellik büyük sayılarda hızlı çözüm sağlar.

Sayfa 8 Özeti

• Son üç basamak kontrol edilir
• Çünkü 1000 sayısı 8’e bölünür
• Büyük sayılar kolay analiz edilir
• Bölünebilme hızlı belirlenir

Bir sayının 3 ile bölünebilmesi için rakamları toplamının 3 ile bölünebilmesi gerekir.

Rakamlar toplamı → 3’ün katı ise sayı 3’e bölünür.

Bir sayı şu şekilde yazılabilir:

$$347=3·100+4·10+7$$

Çünkü:

$$10\equiv 1\left(\mathrm{mod}3\right)$$

Bu nedenle:

Sayının değeri, rakamlar toplamına eşdeğerdir (mod 3 açısından).

732 sayısı 3’e bölünür mü?

Rakamlar toplamı:

$$7+3+2=12$$

12 sayısı 3’e bölünür.

Bu nedenle sayı 3’e bölünür.

734 sayısı 3’e bölünür mü?

Rakamlar toplamı:

$$7+3+4=14$$

14 sayısı 3’e bölünmez, bu nedenle sayı bölünmez.

Sayı ne kadar büyük olursa olsun sadece rakamlar toplamı önemlidir.

Bu özellik TYT ve AYT’de çok sık kullanılır.

Sayfa 9 Özeti

• Rakamlar toplamı kontrol edilir
• Çünkü 10 ≡ 1 (mod 3)
• Büyük sayılar kolay analiz edilir
• Çok güçlü ve sık kullanılan kuraldır

Bir sayının 9 ile bölünebilmesi için rakamları toplamının 9 ile bölünebilmesi gerekir.

Rakamlar toplamı → 9’un katı ise sayı 9’a bölünür.

Sayıyı basamaklarına ayıralım:

$$582=5·100+8·10+2$$

Çünkü:

$$10\equiv 1\left(\mathrm{mod}9\right)$$

Bu nedenle sayı, rakamlar toplamına eşdeğerdir (mod 9 açısından).

729 sayısı 9’a bölünür mü?

Rakamlar toplamı:

$$7+2+9=18$$

18 sayısı 9’a bölünür.

Bu nedenle sayı 9’a bölünür.

728 sayısı 9’a bölünür mü?

Rakamlar toplamı:

$$7+2+8=17$$

17 sayısı 9’a bölünmez, bu nedenle sayı bölünmez.

Bu kural, modüler aritmetiğin en önemli uygulamalarından biridir.

Büyük sayılar için işlem yapmayı çok kolaylaştırır.

Sayfa 10 Özeti

• Rakamlar toplamı kontrol edilir
• Çünkü 10 ≡ 1 (mod 9)
• Çok güçlü ve hızlı bir yöntemdir
• TYT ve AYT’de sık kullanılır