Bir sayının 15 ile bölünebilmesi için aynı anda hem 3’e hem de 5’e bölünebilmesi gerekir.

Ardışık sayılar, aralarındaki fark 1 olan sayılardır.

Örnek:

4, 5, 6, 7, 8

Genel olarak ardışık sayılar şu şekilde yazılır:

$n,n+1,n+2$

Herhangi iki ardışık sayıdan biri mutlaka 2’ye bölünür.

Çünkü biri çift, biri tektir.

Matematiksel olarak:

$n(n+1)$

Bu çarpım her zaman 2’ye bölünür.

Herhangi üç ardışık sayıdan biri mutlaka 3’e bölünür.

Genel ifade:

$n,n+1,n+2$

Bu üç sayıdan biri mutlaka 3’ün katıdır.

8, 9, 10 sayılarından biri 3’e bölünür.

Çünkü:

$9=3·3$

n, n+1 ve n+2 sayılarının çarpımı her zaman 6’ya bölünür.

Çünkü bu çarpım:

• En az bir çift sayı içerir (2’ye bölünür)
• En az bir 3 katı içerir (3’e bölünür)

Sayfa 16 Özeti

• Ardışık sayılar farkı 1 olan sayılardır
• İki ardışık sayıdan biri 2’ye bölünür
• Üç ardışık sayıdan biri 3’e bölünür
• Bu özellikler problem çözmede çok önemlidir

Bir sayı başka bir sayıya bölündüğünde her zaman kalansız bölünmek zorunda değildir. Bölme sonucu şu biçimde yazılır:

$$a=b·q+r$$

Burada:

• q: bölüm
• r: kalan
• r, 0 ile b−1 arasında olmalıdır

“a sayısının b ile bölümünden kalan r” ifadesi mod gösterimi ile şöyle yazılır:

$$a\equiv r\left(\mathrm{mod}b\right)$$

Bu yazım şu anlama gelir:

a ile r arasındaki fark b’ye tam bölünür.

Kalan bulmada temel fikir: Sayıyı parçalayarak her parçanın kalanını bulmak ve birleştirmektir.

Örneğin 10’un kuvvetleri bazı modlarda çok basit kalana sahiptir.

10 ≡ 1 (mod 3) ve 10 ≡ 1 (mod 9) gibi.

347’nin 3 ile bölümünden kalan, rakamlar toplamının 3 ile bölümünden kalanla aynıdır.

$$3+4+7=14$$

14’ün 3 ile bölümünden kalan 2’dir. Dolayısıyla:

$$347\equiv 2\left(\mathrm{mod}3\right)$$

• Kalan r, bölen b’den küçük olmalıdır.
• a ≡ r (mod b) yazımında “eşittir” değil, “aynı kalana sahip” anlamı vardır.
• Büyük sayılarda basamaklara ayırma yöntemi zaman kazandırır.

Kalanı bulurken gereksiz büyük sayılarla işlem yapmak yerine, mod alarak küçültmek en hızlı yoldur.

Sayfa 17 Özeti

• a = b·q + r biçimi kalanlı bölmeyi anlatır
• Mod gösterimi kalanı ifade eder
• Kalan bulmada sayıyı parçalamak hız kazandırır
• Rakamlar toplamı yöntemi mod 3 ve mod 9 için güçlüdür

Büyük sayıların bölünebilmesini kontrol etmek için sayı basamaklarına ayrılır.

Örneğin:

$4729=4·1000+7·100+2·10+9$

Eğer:

$1000\equiv 1\left(\mathrm{mod}9\right)$

O zaman:

4729’un 9 ile bölümünden kalan, rakamlar toplamının kalanına eşittir.

Rakamlar toplamı:

$4+7+2+9=22$

22’nin 9 ile bölümünden kalan:

$22=9·2+4$

Sonuç: Kalan 4

Sayı farklı parçalar halinde de yazılabilir:

$4729=4700+29$

Bu yöntem de aynı sonucu verir.

Büyük sayılar küçük parçalara ayrılarak analiz edilebilir.

Bu yöntem TYT ve AYT’de büyük sayılarla işlem yapmayı kolaylaştırır.

Sayfa 18 Özeti

• Büyük sayılar basamaklara ayrılabilir
• Mod mantığı kalan bulmayı kolaylaştırır
• Rakamlar toplamı güçlü bir yöntemdir
• Parçalama yöntemi büyük avantaj sağlar

Bir sayı aynı anda birden fazla sayıya bölünebilir. Bu durumda sayı, bu sayıların ortak katıdır.

Örneğin bir sayı hem 2’ye hem 3’e hem de 5’e bölünüyorsa:

$$2·3·5=30$$

Bu sayı 30’a bölünür.

360 sayısını inceleyelim:

2’ye bölünür → son basamak çift

3’e bölünür → rakamlar toplamı:

$3+6+0=9$

5’e bölünür → son basamak 0

Bu nedenle sayı 30’a bölünür.

360 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

$$360=2^3·3^2·5$$

Bu nedenle 360, bu sayıların tüm kombinasyonlarına bölünebilir.

Bir sayı ne kadar çok asal çarpana sahipse, o kadar çok sayıya bölünebilir.

Bu özellik TYT ve AYT’de çok önemlidir.

Problem çözerken şu adımlar izlenir:

• Bölünebilme kurallarını kontrol et
• Sayıyı asal çarpanlara ayır
• Ortak kat ilişkisini analiz et
• Sonucu çıkar

Sayfa 19 Özeti

• Bölünebilme kuralları birlikte kullanılabilir
• Asal çarpanlara ayırma çok önemlidir
• Büyük sayılar sistematik analiz edilir
• İleri seviye TYT–AYT temelidir

Bir sayının başka bir sayıya bölünebilmesi şu anlama gelir:

$$a=b·k$$

Yani a sayısı, b sayısının tam katıdır.

2 → Son basamak çift
3 → Rakamlar toplamı 3’ün katı
4 → Son iki basamak 4’ün katı
5 → Son basamak 0 veya 5
6 → Hem 2 hem 3’e bölünmeli
8 → Son üç basamak 8’in katı
9 → Rakamlar toplamı 9’un katı
10 → Son basamak 0
11 → Alternatif toplam farkı 11’in katı

Eğer bir sayı iki farklı sayıya bölünüyorsa, bu sayı onların çarpımına da bölünür.

$a=b·c·k$

Bölünebilme kuralları modüler aritmetiğe dayanır.

Örneğin:

$10\equiv 1\left(\mathrm{mod}9\right)$

Bu nedenle rakamlar toplamı yöntemi çalışır.

• Bölünebilme kurallarını hızlı kontrol et
• Sayıyı parçala
• Rakamlar toplamını kullan
• Asal çarpan analizini yap
• Ortak kat ilişkisini kontrol et

Bölme ve Bölünebilme Konusu Tamamlandı

Bu ünitede öğrendiniz:

• Tüm temel bölünebilme kuralları
• Birleşik bölünebilme
• Modüler aritmetik mantığı
• Büyük sayılarda hızlı analiz
• TYT ve AYT seviyesinde problem çözme altyapısı