1) Fonksiyonun Gösterim Yöntemleri

Aynı fonksiyon farklı biçimlerde ifade edilebilir

Bir fonksiyon dört temel şekilde gösterilebilir:

2) Eşleme Diyagramı ile Gösterim

Fonksiyonlar eşleme diyagramı ile de gösterilebilir.

3) Örnek İnceleme

Verilen fonksiyon:

$f\left(x\right)=x^2$

Bazı değerleri hesaplayalım:

$$f\left(1\right)=1$$ $$f\left(2\right)=4$$ $$f\left(3\right)=9$$

Her x değeri yalnızca bir sonuç verdiği için bu bir fonksiyondur.

1) Tanım Kümesi Nedir?

Fonksiyonun alabileceği tüm x değerleri

Bir fonksiyonda tanım kümesi, fonksiyonun anlamlı olduğu tüm x değerlerini içerir.

Genel gösterim:

$Tanım Kümesi=\left\{x\right|f\left(x\right)anlamlıdır\}$

Tanım kümesi bulunurken amaç: fonksiyonun tanımsız olduğu değerleri bulup dışlamaktır.

2) Polinom Fonksiyonlarında Tanım Kümesi

Polinom fonksiyonları tüm reel sayılar için tanımlıdır.

Örnek:

$f\left(x\right)=x^2+3x-5$

Bu fonksiyon her reel sayı için tanımlıdır.

Tanım kümesi: tüm reel sayılar

3) Kesirli Fonksiyonlarda Tanım Kümesi

Paydası sıfır olan ifadeler tanımsızdır.

Örnek:

$f\left(x\right)=\frac{1}{x-2}$

Payda sıfır olmamalıdır:

x − 2 sıfır olamaz.

Bu nedenle x ≠ 2 olmalıdır.

4) Örnek Tanım Kümesi İncelemesi

Verilen fonksiyon:

$f\left(x\right)=\frac{3}{x+5}$

Payda sıfır olmamalıdır.

x + 5 ≠ 0

x ≠ −5

Tanım kümesi tüm reel sayılar, ancak −5 hariçtir.

1) Kök İçeren Fonksiyonlarda Tanım Kümesi

Çift dereceli kökte kök içi negatif olamaz

Reel sayılarda karekök gibi çift dereceli köklerde, kök içinin 0 veya pozitif olması gerekir.

Çift dereceli kök: kök içi ≥ 0 şartı aranır.

Örnek fonksiyon:

$$f\left(x\right)=\sqrt{x-3}$$

Tanım kümesi için kök içi negatif olamaz:

x − 3 ≥ 0 olmalı ⇒ x ≥ 3

Sonuç: Tanım kümesi x ≥ 3 olan değerlerdir.

2) Tek Dereceli Köklerde Durum

Küp kök gibi tek dereceli köklerde tanım kısıtı yoktur

Tek dereceli kökler (örneğin küp kök), negatif sayıların da kökünü reel olarak alabilir. Bu yüzden tek dereceli kök içeren ifadelerde genelde “kök içi ≥ 0” şartı aranmaz.

Örnek:

$$g\left(x\right)=\sqrt[3]{x-5}$$

Burada tanım kümesi tüm reel sayılardır.

Not: Burada mroot etiketi zorunlu kurala uygun şekilde 2 child içerir: (kök içi) ve (kök derecesi).

3) Mutlak Değer İçeren Fonksiyonlar

Mutlak değer her reel sayı için tanımlıdır

Mutlak değer ifadesi |x| tüm reel sayılar için tanımlıdır. Bu nedenle tek başına mutlak değer, tanım kümesine kısıt getirmez.

Örnek:

$$h\left(x\right)=|x-4|$$

Tanım kümesi: tüm reel sayılar.

Not: Mutlak değer MathML’de farklı biçimlerde yazılabilir; burada dikey çizgiler | ile gösterildi.

4) Parçalı Tanımlı Fonksiyonlarda Tanım Kümesi

Her parça kendi aralığında geçerlidir

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda, fonksiyon farklı aralıklarda farklı kurallarla tanımlanır. Tanım kümesi, bu aralıkların birleşimidir.

Örnek parçalı fonksiyon:

$$p\left(x\right)=\{\text{x < 0 ise}\to -x;\text{x ≥ 0 ise}\to x+2\}$$

Bu örnekte tüm reel sayılar iki parçaya bölündüğü için tanım kümesi yine tüm reel sayılardır.

Not: Buradaki parçalı yazım “konsept anlatımı” içindir; ileri sayfalarda parçalı fonksiyonlar tablo/şema yaklaşımıyla daha sistematik ele alınacaktır.

1) Fonksiyonun Görüntüsü Nedir?

Bir girdinin fonksiyon tarafından üretilen çıktısı

Bir fonksiyonda herhangi bir x değeri yerine yazıldığında elde edilen sonuca fonksiyonun o noktadaki görüntüsü denir.

Görüntü, fonksiyonun “ürettiği sonuç”tur.

Genel gösterim:

$y=f\left(x\right)$

2) Sayısal Örnek

Verilen fonksiyon:

$f\left(x\right)=2x+5$

Şimdi bazı değerlerin görüntüsünü bulalım:

$$f\left(1\right)=2·1+5=7$$ $$f\left(3\right)=2·3+5=11$$

f(1) = 7 ve f(3) = 11 fonksiyonun bu noktalardaki görüntüleridir.

3) Negatif Sayılarda Fonksiyon Değeri

Negatif sayılar da fonksiyona yazılabilir.

Örnek:

$f\left(x\right)=x^2$

x yerine −3 yazalım:

$$f(-3)={(-3)}^2=9$$

Negatif sayının karesi pozitif olur.

4) Görüntü Kümesi Kavramı

Fonksiyonun tüm çıktılarının oluşturduğu kümeye görüntü kümesi denir.

Örnek fonksiyon:

$f\left(x\right)=x^2$

Bu fonksiyon negatif sonuç üretmez.

Bu nedenle görüntü kümesi 0 ve pozitif sayılardır.

Sonraki sayfada fonksiyonların grafiksel yorumu ele alınacaktır.

1) Fonksiyon Grafiği Nedir?

Fonksiyonun koordinat düzleminde gösterimi

Bir fonksiyonun grafiği, fonksiyona ait tüm noktaların koordinat düzleminde gösterilmesiyle elde edilir.

Her nokta şu şekilde ifade edilir:

$(x,f(x\left)\right)$

Her x değeri için grafikte yalnızca bir nokta bulunur.

2) Grafik Oluşturma Örneği

Verilen fonksiyon:

$f\left(x\right)=x+2$

Bazı noktaları bulalım:

$$f\left(0\right)=2$$ $$f\left(1\right)=3$$ $$f\left(2\right)=4$$

Grafik noktaları:

(0,2), (1,3), (2,4)

3) Grafik Üzerinden Değer Okuma

Grafik üzerinde bir x değerine karşılık gelen y değeri fonksiyonun görüntüsüdür.

Örneğin:

(3,5) noktası grafikte varsa:

$f\left(3\right)=5$

Grafik, fonksiyon hakkında doğrudan bilgi verir.

4) Grafik ve Fonksiyon İlişkisi

Bir grafiğin fonksiyon olabilmesi için her x değeri yalnızca bir y değerine karşılık gelmelidir.

Bu durum şu şekilde ifade edilir:

$x\to \mathrm{yalnızca}\mathrm{bir}y$

Eğer bir x değeri iki farklı y değerine sahipse bu bir fonksiyon değildir.

Sonraki sayfada fonksiyon türleri incelenecektir.

1) Sabit Fonksiyon

Her x değeri için aynı sonucu veren fonksiyon

Bir fonksiyon her x değeri için aynı sonucu veriyorsa buna sabit fonksiyon denir.

Genel gösterimi:

$f\left(x\right)=c$

Burada c sabit bir sayıdır.

Fonksiyonun sonucu x’e bağlı değildir.

Örnek:

$f\left(x\right)=4$

Bu fonksiyonda:

$$f\left(1\right)=4$$ $$f\left(10\right)=4$$

Sabit Fonksiyonun Grafiği

Sabit fonksiyonun grafiği yatay bir doğrudur.

Örnek:

$f\left(x\right)=3$

Bu fonksiyonun grafiği şu noktaları içerir:

(−2,3), (0,3), (5,3)

Tüm noktaların y değeri aynıdır.

2) Doğrusal Fonksiyon

Birinci dereceden fonksiyon

Doğrusal fonksiyon şu şekilde ifade edilir:

$f\left(x\right)=ax+b$

Burada:

a → eğim
b → başlangıç değeri

Örnek:

$f\left(x\right)=2x+1$

Doğrusal Fonksiyon Örneği

Verilen fonksiyon:

$f\left(x\right)=3x+2$

x yerine 4 yazalım:

$$f\left(4\right)=3·4+2=14$$

Doğrusal fonksiyonların grafiği bir doğrudur.

Sonraki sayfada ikinci dereceden fonksiyonlar incelenecektir.

1) İkinci Dereceden Fonksiyon Nedir?

En yüksek derecesi 2 olan fonksiyon

İkinci dereceden fonksiyonun genel formu şu şekildedir:

$f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$

Burada:

a, b, c sabit sayılardır
ve a ≠ 0 olmalıdır.

Bu fonksiyonun grafiğine parabol denir.

2) Örnek Parabol Fonksiyonu

Örnek fonksiyon:

$f\left(x\right)=x^2$

Bazı değerleri hesaplayalım:

$$f(-2)={(-2)}^2=4$$ $$f\left(0\right)=0$$ $$f\left(3\right)=9$$

3) Parabolün Grafiği

Parabolün grafiği simetriktir.

Örnek noktalar:

(−2,4), (−1,1), (0,0), (1,1), (2,4)

Grafik U şeklindedir.

4) a Katsayısının Etkisi

a katsayısı parabolün yönünü belirler.

a katsayısı parabolün temel şekil yönünü belirler.

Sonraki sayfada tepe noktası ve simetri ekseni incelenecektir.

1) Tepe Noktası Nedir?

Parabolün en küçük veya en büyük değer aldığı nokta

İkinci dereceden fonksiyonun grafiği (parabol) bir noktada “dönüş” yapar. Bu noktaya tepe noktası denir.

Parabol yukarı açılıyorsa tepe noktası en küçük değeri, aşağı açılıyorsa en büyük değeri verir.

Genel form:

$f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$

Tepe noktasının x koordinatı:

$$x=-\frac{b}{2a}$$

Not: Negatif işaret − kesrin dışındadır; boş yazılmamıştır ve 2 child içerir.

2) Simetri Ekseni

Parabolün iki tarafını aynalayan dikey doğru

Parabol, tepe noktasından geçen bir dikey doğruya göre simetriktir. Bu doğruya simetri ekseni denir.

Simetri ekseninin denklemi:

$$x=-\frac{b}{2a}$$

Tepe noktasının x koordinatı ile simetri ekseni aynı ifadedir.

3) Örnek: Tepe Noktasını Bulma

Fonksiyon:

$f\left(x\right)=x^2-4x+1$

Burada a = 1, b = −4’tür.

Simetri ekseni:

$$x=-\frac{-4}{2·1}=2$$

Burada kesrin içindeki eksi işareti içinde; dıştaki “−” kesrin dışındadır. Bu kullanım kurallara uygundur.

Tepe noktasının y değeri için x = 2 yazılır:

$$f\left(2\right)=2^2-4·2+1=\mathrm{-}3$$

Tepe noktası: (2, −3)

4) Tepe Noktası Formu (Dönüştürme Fikri)

Parabol bazen tepe noktası formunda yazılır:

$$f\left(x\right)=a{(x-r)}^2+k$$

Bu formda tepe noktası (r, k) olarak okunur.

Sonraki sayfada parabolün kesişimleri (kökler) ve diskriminant kavramı anlatılacaktır.

1) Parabolün Kökleri Nedir?

Fonksiyonun x eksenini kestiği noktalar

Bir ikinci dereceden fonksiyonun kökleri, fonksiyonun değerinin sıfır olduğu x değerleridir.

Matematiksel olarak:

$$f\left(x\right)=0$$

Genel form:

$a{x}^2+bx+c=0$

Bu denklemi sağlayan x değerleri fonksiyonun kökleridir.

2) Diskriminant Nedir?

Kök sayısını belirleyen ifade

Diskriminant şu formülle hesaplanır:

$$\Delta =b^2-4ac$$

Diskriminant kök sayısını belirler.

3) Diskriminantın Yorumu

$\Delta >0$

→ İki farklı reel kök vardır

$\Delta =0$

→ Bir reel kök vardır

$\Delta <0$

→ Reel kök yoktur

4) Kök Bulma Formülü

İkinci dereceden denklemin kökleri şu formülle bulunur:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Not: Negatif işaret kesrin pay kısmında, içinde doğru konumda kullanılmıştır.

Bu formül ikinci dereceden denklemlerin tüm köklerini bulmak için kullanılır.

Sonraki sayfada fonksiyonlarda bileşke kavramı anlatılacaktır.