1. bölüm

TYT & AYT - Rasyonel Sayılar - 1.Sayfa

Rasyonel Sayılar - 1. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Rasyonel Sayılar

1. Sayfa — Tanım, gösterim, işaret ve temel örnekler

Temel Tanım

Rasyonel sayı nedir?

Rasyonel sayılar, iki tam sayının oranı şeklinde yazılabilen sayılardır. Yani bir sayı, $\frac{a}{b}$ biçiminde gösterilebiliyorsa rasyoneldir.

Burada a ve b birer tam sayıdır ve b sıfır olamaz. Çünkü payda 0 olduğunda “bölme” tanımsız olur.

a: pay (üstteki tam sayı)
b: payda (alttaki tam sayı), b ≠ 0

Gösterim

Kesir biçimi ve örnekler

Bir rasyonel sayı, “kesir” görünümünde yazılabilir. Örneğin:

Örnek 1

\frac{3}{5}

3 ve 5 tam sayıdır, payda 0 değildir.

Örnek 2

- \frac{7}{2}

Eksi işareti kesrin dışında gösterilir.

Örnek 3

\frac{0}{9}

Pay 0 olabilir; sonuç 0’dır.

Kritik Not

Payda 0 olamaz. Bu yüzden

\frac{5}{0}

gibi bir ifade bir rasyonel sayı değildir; tanımsızdır.

İşaret

Rasyonel sayıların işareti nasıl belirlenir?

Bir rasyonel sayının işareti, pay ve paydanın işaretlerine bağlıdır:

Aynı işaret

Sonuç pozitif

\frac{6}{3}

ve

\frac{- 6}{- 3}

Farklı işaret

Sonuç negatif

- \frac{6}{3}

ve

- \frac{6}{3}

Kısa kural: “Eksi sayısı tek ise sonuç eksi, çift ise sonuç artı.” (Pay ve paydada toplam kaç tane “−” olduğuna bakabilirsin.)

Küme Gösterimi

Q (Rasyonel Sayılar) kümesi

Rasyonel sayıların kümesi genellikle Q ile gösterilir. Bu kümenin mantığı şudur: “Pay ve payda tam sayı olacak, payda sıfır olmayacak.”

Rasyonel sayıya örnek:

\frac{12}{4}

(aynı değeri farklı kesirlerle yazabilmek mümkündür)

Sık hata

“Paydası 0 olan kesir” diye bir rasyonel sayı yoktur. Bu tür ifadeler sayı kümesine dahil edilmez.

Bu sayfada

Rasyonel sayı tanımı: tam sayıların oranı
Payda 0 olamaz
İşaret: aynı işaret → pozitif, farklı işaret → negatif
Q kümesi fikri

2. bölüm

TYT & AYT - Rasyonel Sayılar - 2.Sayfa

Rasyonel Sayılar - 2. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Rasyonel Sayılar

2. Sayfa — Denk kesirler, sadeleştirme ve genişletme

Kavram

Denk kesir nedir?

Denk kesirler, yazılışları farklı olsa da aynı değeri temsil eden kesirlerdir. Temel fikir şudur: Payı ve paydayı aynı (0 olmayan) sayı ile çarparsak kesrin değeri değişmez.

Örnek denk kesirler:

Aynı değer

\frac{1}{2}

=

\frac{2}{4}

=

\frac{3}{6}

Negatif örnek

- \frac{2}{3}

=

- \frac{4}{6}

Burada kesirlerin yazılışı değişti ama “parça-bütün” oranı aynı kaldı.

İşlem

Sadeleştirme (en basit hale getirme)

Sadeleştirme, pay ve paydayı ortak bir bölen ile bölerek kesri daha küçük sayılarla yazmaktır. Kesrin değeri değişmez; sadece daha temiz ve standart bir gösterim elde edilir.

Altın kural

En iyi sadeleştirme, pay ve paydanın en büyük ortak böleni ile yapılır.

Örnek: Kesri sadeleştirelim

Aşağıdaki kesri ele alalım:

\frac{18}{24}

18 ve 24’ün ortak bölenlerinden biri 6’dır. İkisini de 6’ya böleriz:

\frac{18}{24}

→

\frac{3}{4}

Sonuç: En basit halde

\frac{3}{4}

elde edilir.

Not: Burada ara adım olarak “kesri yazalım” gibi belirsiz bir kesir kurulmadı; doğrudan bilinen kesirler kullanıldı.

İşlem

Genişletme (eşdeğer kesir üretme)

Genişletme, pay ve paydayı aynı (0 olmayan) sayı ile çarparak kesri daha büyük sayılarla yazmaktır. Bu işlem özellikle paydaları eşitleme gibi konularda çok işe yarar.

Örnek: 3 ile genişletme

\frac{2}{5}

→

\frac{6}{15}

Pay: 2×3=6, Payda: 5×3=15

Örnek: Negatif kesir

- \frac{1}{4}

→

- \frac{2}{8}

Eksi işareti yine kesrin dışında kalır.

İpucu: Sadeleştirme “küçültür”, genişletme “büyütür” ama ikisi de kesrin değerini değiştirmez. Bu yüzden denk kesirler üretmiş olursun.

Bu sayfada

Denk kesir: yazılış farklı, değer aynı
Sadeleştirme: ortak bölenle bölme
Genişletme: aynı sayıyla çarpma
Negatif kesirde “−” işareti kesrin dışında

3. bölüm

TYT & AYT - Rasyonel Sayılar - 3.Sayfa

Rasyonel Sayılar - 3. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Rasyonel Sayılar

3. Sayfa — Tam sayıları rasyonel sayı olarak yazma

Temel Fikir

Her tam sayı bir rasyonel sayıdır

Rasyonel sayıların tanımını hatırlayalım: Bir sayı, iki tam sayının oranı şeklinde yazılabiliyorsa rasyoneldir.

Her tam sayı aslında paydası 1 olan bir kesir şeklinde yazılabilir.

Örneğin:

Tam sayı

5

=

\frac{5}{1}

Tam sayı

−3

=

- \frac{3}{1}

Tam sayı

0

=

\frac{0}{1}

Mantık

Bu neden doğrudur?

Bir sayıyı 1’e böldüğümüzde sayı değişmez. Bu matematiğin temel kurallarından biridir.

Genel kural:

a = \frac{a}{1}

Burada a herhangi bir tam sayı olabilir. Bu nedenle tüm tam sayılar rasyonel sayı kümesinin içindedir.

Küme İlişkisi

Tam sayılar, rasyonel sayıların alt kümesidir

Örnek rasyonel sayılar:

\frac{2}{3}

, 5,

- \frac{7}{4}

, −2

Bu nedenle şu ifade doğrudur:

Tüm tam sayılar → rasyonel sayıdır

Sayfa Özeti

Her tam sayı paydası 1 olan kesir şeklinde yazılabilir
Bu nedenle tüm tam sayılar rasyonel sayıdır
Negatif tam sayılar da rasyoneldir
0 sayısı da rasyonel sayıdır

4. bölüm

TYT & AYT - Rasyonel Sayılar - 4.Sayfa

Rasyonel Sayılar - 4. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Rasyonel Sayılar

4. Sayfa — Sayı doğrusunda rasyonel sayılar

Temel Kavram

Rasyonel sayılar sayı doğrusunda gösterilebilir

Tüm rasyonel sayılar sayı doğrusunda belirli bir noktaya karşılık gelir. Sayı doğrusunda:

Pozitif sayılar sağ tarafta bulunur
Negatif sayılar sol tarafta bulunur
0 sayısı ortadadır

Örnek rasyonel sayı:

\frac{3}{2}

Bu sayı, 1 ile 2 arasında yer alır.

Mantık

Kesirler aralıkları böler

Bir kesrin paydası, sayı doğrusundaki bir birimin kaç eş parçaya bölündüğünü gösterir.

Örnek:

\frac{1}{4}

0 ile 1 arasındaki mesafe 4 eş parçaya bölünür.

Negatif Sayılar

Negatif rasyonel sayılar

Negatif rasyonel sayılar, sayı doğrusunda sıfırın sol tarafında yer alır.

- \frac{5}{3}

Bu sayı −1 ile −2 arasında yer alır.

Önemli Özellik

Rasyonel sayılar arasında sonsuz sayı vardır

İki rasyonel sayı arasında her zaman başka rasyonel sayılar bulunabilir.

Örnek:

\frac{1}{2}

ve

\frac{3}{4}

Bu iki sayı arasında başka rasyonel sayılar bulunabilir.

Sayfa Özeti

Rasyonel sayılar sayı doğrusunda gösterilebilir
Pozitif sayılar sağda, negatif sayılar soldadır
Kesirler aralıkları eş parçalara böler
Negatif rasyonel sayılar sıfırın solundadır
İki rasyonel sayı arasında sonsuz rasyonel sayı vardır

5. bölüm

TYT & AYT - Rasyonel Sayılar - 5.Sayfa

Rasyonel Sayılar - 5. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Rasyonel Sayılar

5. Sayfa — Karşılaştırma: rasyonel sayılarda büyüklük-küçüklük

Temel

Rasyonel sayılar nasıl karşılaştırılır?

Rasyonel sayıları karşılaştırmak, aslında “hangi kesir daha büyük?” sorusuna cevap vermektir. Bunu güvenli biçimde yapmanın en klasik yolu payda eşitleme ya da çapraz çarpma fikridir.

Çapraz çarpma mantığı

Paydaları sıfır olmayan iki kesirde, payların “karşı payda” ile çarpımı karşılaştırılır. Böylece kesirleri aynı paydaya getirmiş gibi düşünürsün.

Pozitif Kesirler

Payda farklıysa: çapraz çarpma ile kıyas

Pozitif iki rasyonel sayı karşılaştırılırken işaret problemi yoktur. Örnek olarak şu iki sayıyı kıyaslayalım:

Sayı 1

\frac{3}{5}

Sayı 2

\frac{4}{7}

Karşılaştırma fikri

Payları karşı payda ile çarparız: 3×7 ile 4×5 karşılaştırılır.

3×7 ve 4×5 hesaplanır ve büyük çıkan tarafın kesri daha büyüktür.

Not: Burada ara adımda “hazır olmayan” bir kesir kurulmadı; sadece kıyas mantığı anlatıldı.

Negatifler

Negatif rasyonel sayılarda “büyüklük” nasıl düşünülür?

Negatif sayılarda “daha büyük” olmak, sayı doğrusunda sıfıra daha yakın olmak demektir. Örneğin −1, −3’ten büyüktür çünkü sıfıra daha yakındır.

Örnek

- \frac{1}{2}

ve

- \frac{3}{4}

Sıfıra daha yakın olan (mutlak değeri daha küçük olan) daha büyüktür.

İpucu: Eğer iki sayı da negatifse, önce mutlak değerlerini düşün: mutlak değeri küçük olan sayı, sayı doğrusunda sağda kalır ve daha büyüktür.

Kısa Yollar

Hızlı karşılaştırma ipuçları

Paydalar eşitse

Payı büyük olan kesir daha büyüktür.

\frac{7}{9}

>

\frac{5}{9}

Paylar eşitse

Paydası küçük olan kesir daha büyüktür.

\frac{3}{4}

>

\frac{3}{7}

Dikkat

İşaret (−) varsa önce sayının negatif mi pozitif mi olduğuna bak. Negatifle pozitifi kıyaslarken pozitif her zaman büyüktür.

Sayfa Özeti

Karşılaştırmada temel fikir: payda eşitleme / çapraz çarpma
Negatiflerde “büyük” olmak: sıfıra daha yakın olmak
Paydalar eşitse payı büyük olan büyük
Paylar eşitse paydası küçük olan büyük

6. bölüm

TYT & AYT - Rasyonel Sayılar - 6.Sayfa

Rasyonel Sayılar - 6. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Rasyonel Sayılar

6. Sayfa — Rasyonel sayılarda toplama işlemi

Temel İşlem

Rasyonel sayılar nasıl toplanır?

Rasyonel sayıları toplarken en önemli nokta, kesirlerin paydalarının aynı olmasıdır.

Eğer paydalar eşitse, sadece paylar toplanır ve payda değişmez.

Aynı Payda

Paydalar eşitse toplama çok kolaydır

Örnek:

\frac{3}{7}

+

\frac{2}{7}

=

\frac{5}{7}

Paylar toplanır: 3 + 2 = 5
Payda aynı kalır: 7

Farklı Payda

Paydalar farklıysa önce eşitlenir

Eğer paydalar farklıysa, kesirler denk kesirler haline getirilerek paydalar eşitlenir.

\frac{1}{2}

+

\frac{1}{3}

=

\frac{5}{6}

Ortak payda oluşturulduktan sonra toplama yapılır.

Negatif Sayılar

Negatif rasyonel sayılarla toplama

- \frac{2}{5}

+

\frac{1}{5}

=

- \frac{1}{5}

Negatif ve pozitif sayı toplanırken işaret kurallarına dikkat edilir.

Sayfa Özeti

Paydalar eşitse paylar toplanır
Paydalar farklıysa önce eşitlenir
Payda değişmez
Negatif sayılarda işaret kuralları uygulanır

7. bölüm

TYT & AYT - Rasyonel Sayılar - 7.Sayfa

Rasyonel Sayılar - 7. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Rasyonel Sayılar

7. Sayfa — Rasyonel sayılarda çıkarma işlemi

Temel İşlem

Rasyonel sayılarda çıkarma nasıl yapılır?

Rasyonel sayılarda çıkarma işlemi, aslında bir toplama işlemidir. Bir sayıdan başka bir sayı çıkarılırken, ikinci sayının işareti değiştirilir ve toplama yapılır.

Genel kural: çıkarma işlemi → toplama işlemine çevrilir.

Aynı Payda

Paydalar eşitse çıkarma kolaydır

Örnek:

\frac{5}{9}

−

\frac{2}{9}

=

\frac{3}{9}

Paylar çıkarılır: 5 − 2 = 3
Payda aynı kalır: 9

Farklı Payda

Paydalar farklıysa eşitleme gerekir

\frac{3}{4}

−

\frac{1}{2}

=

\frac{1}{4}

Paydalar eşit hale getirildikten sonra çıkarma yapılır.

Negatif Sayılar

Negatif rasyonel sayılarla çıkarma

\frac{1}{3}

−

- \frac{2}{3}

=

\frac{3}{3}

Negatif sayı çıkarılırken işaret değişir ve toplama yapılır.

Sayfa Özeti

Çıkarma işlemi toplama işlemine çevrilir
Paydalar eşitse paylar çıkarılır
Paydalar farklıysa eşitlenir
Negatif sayılarda işaret değişimi yapılır

8. bölüm

TYT & AYT - Rasyonel Sayılar - 8.Sayfa

Rasyonel Sayılar - 8. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Rasyonel Sayılar

8. Sayfa — Rasyonel sayılarda çarpma işlemi

Temel İşlem

Rasyonel sayılar nasıl çarpılır?

Rasyonel sayılarda çarpma, toplama/çıkarma kadar “payda eşitleme” gerektirmez. Çünkü çarpmada paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır.

Çarpma kuralı: (pay × pay) / (payda × payda)

Örnek

Pozitif kesirlerle çarpma

\frac{2}{3}

×

\frac{5}{7}

=

\frac{10}{21}

Paylar: 2×5 = 10
Paydalar: 3×7 = 21

İşaret Kuralı

Çarpmada işaret nasıl belirlenir?

Çarpma işleminde işaret kuralları tam sayılardakiyle aynıdır:

Aynı işaret → pozitif

- \frac{1}{2}

×

- \frac{3}{5}

(−) ile (−) çarpımı (+)

Farklı işaret → negatif

- \frac{2}{7}

×

\frac{4}{9}

(−) ile (+) çarpımı (−)

Kısa hatırlatma: Eksi sayısı tek ise sonuç eksi, çift ise sonuç artı.

Strateji

Çarpmadan önce sadeleştirme (işi kolaylaştırır)

Çarpma işleminde bazen önce sadeleştirerek sayıları küçültmek çok avantajlıdır. Böylece büyük sayılarla uğraşmadan sonuca gidersin.

Fikir: Bir kesrin payı ile diğer kesrin paydası arasında ortak bölen varsa çarpma öncesi sadeleşebilir.

Örnek

\frac{6}{7}

×

\frac{14}{15}

6 ile 15 arasında ortak bölen 3; 14 ile 7 arasında ortak bölen 7 vardır. Bu tarz sadeleştirmeler çarpımı kolaylaştırır.

Not: Burada “ara adımda belirsiz kesir yazma” yapılmadı; sadeleştirme fikri sözel olarak verildi.

Sayfa Özeti

Çarpmada paylar ve paydalar ayrı ayrı çarpılır
İşaret kuralı: aynı işaret (+), farklı işaret (−)
Çarpmadan önce sadeleştirme işlemi işi kolaylaştırır
Payda eşitlemeye gerek yoktur

9. bölüm

TYT & AYT - Rasyonel Sayılar - 9.Sayfa

Rasyonel Sayılar - 9. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Rasyonel Sayılar

9. Sayfa — Rasyonel sayılarda bölme işlemi

Temel İşlem

Rasyonel sayılarda bölme nasıl yapılır?

Rasyonel sayılarda bölme işlemi doğrudan yapılmaz. Bunun yerine bölünen sayı, bölen sayının tersi ile çarpılır.

Bölme işlemi → ters çevir ve çarp yöntemi ile yapılır.

Önemli Kavram

Bir kesrin tersi nedir?

Bir kesrin tersi, pay ve paydasının yer değiştirmesi ile elde edilir.

Sayı

\frac{3}{5}

Tersi

\frac{5}{3}

Örnek

Bölme işlemini uygulayalım

\frac{2}{3}

÷

\frac{4}{5}

=

\frac{10}{12}

İkinci kesir ters çevrilir ve çarpma yapılır.

İşaret Kuralı

Bölmede işaret kuralları

Aynı işaret → pozitif

- \frac{6}{7}

÷

- \frac{2}{3}

Farklı işaret → negatif

- \frac{6}{7}

÷

\frac{2}{3}

Kritik Uyarı

Sıfıra bölme yapılamaz

Bir sayı sıfıra bölünemez. Çünkü sıfırın tersi yoktur.

Sayfa Özeti

Bölme işlemi ters çevir ve çarp şeklinde yapılır
Bir kesrin tersi pay ve paydanın yer değiştirmesidir
İşaret kuralları çarpma ile aynıdır
Sıfıra bölme yapılamaz

10. bölüm

TYT & AYT - Rasyonel Sayılar - 10.Sayfa

Rasyonel Sayılar - 10. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Rasyonel Sayılar

10. Sayfa — Rasyonel sayıların ondalık gösterimi

Temel Kavram

Rasyonel sayılar ondalık olarak yazılabilir

Her rasyonel sayı, bölme işlemi yapılarak ondalık sayı şeklinde yazılabilir.

Kesir = bölme işlemi = ondalık sayı

Örnek

Sonlu ondalık gösterim

\frac{1}{2}

= 0,5

Bu tür ondalık sayılar sonludur.

Örnek

Sonsuz ama tekrar eden ondalık gösterim

\frac{1}{3}

= 0,333...

Bu tür sayılar sonsuz devam eder fakat belirli bir desen tekrar eder.

Önemli Bilgi

Her sonlu veya tekrar eden ondalık sayı rasyoneldir

Sonlu ondalık → rasyonel

Tekrar eden ondalık → rasyonel

Negatif Sayılar

Negatif rasyonel sayılar da ondalık olabilir

- \frac{3}{4}

= −0,75

Sayfa Özeti

Rasyonel sayılar ondalık olarak yazılabilir
Sonlu ondalık sayılar rasyoneldir
Tekrar eden ondalık sayılar rasyoneldir
Negatif sayılar da ondalık olabilir

Rasyonel Sayılar Konu Anlatımı

TYT & AYT - Rasyonel Sayılar - 1.Sayfa

Rasyonel Sayılar

Rasyonel sayı nedir?

Kesir biçimi ve örnekler

Rasyonel sayıların işareti nasıl belirlenir?

Q (Rasyonel Sayılar) kümesi

TYT & AYT - Rasyonel Sayılar - 2.Sayfa

Rasyonel Sayılar

Denk kesir nedir?

Sadeleştirme (en basit hale getirme)

Genişletme (eşdeğer kesir üretme)

TYT & AYT - Rasyonel Sayılar - 3.Sayfa

Rasyonel Sayılar

Her tam sayı bir rasyonel sayıdır

Bu neden doğrudur?

Tam sayılar, rasyonel sayıların alt kümesidir

TYT & AYT - Rasyonel Sayılar - 4.Sayfa

Rasyonel Sayılar

Rasyonel sayılar sayı doğrusunda gösterilebilir

Kesirler aralıkları böler

Negatif rasyonel sayılar

Rasyonel sayılar arasında sonsuz sayı vardır

TYT & AYT - Rasyonel Sayılar - 5.Sayfa

Rasyonel Sayılar

Rasyonel sayılar nasıl karşılaştırılır?

Payda farklıysa: çapraz çarpma ile kıyas

Negatif rasyonel sayılarda “büyüklük” nasıl düşünülür?

Hızlı karşılaştırma ipuçları

TYT & AYT - Rasyonel Sayılar - 6.Sayfa

Rasyonel Sayılar

Rasyonel sayılar nasıl toplanır?

Paydalar eşitse toplama çok kolaydır

Paydalar farklıysa önce eşitlenir

Negatif rasyonel sayılarla toplama

TYT & AYT - Rasyonel Sayılar - 7.Sayfa

Rasyonel Sayılar

Rasyonel sayılarda çıkarma nasıl yapılır?

Paydalar eşitse çıkarma kolaydır

Paydalar farklıysa eşitleme gerekir

Negatif rasyonel sayılarla çıkarma

TYT & AYT - Rasyonel Sayılar - 8.Sayfa

Rasyonel Sayılar

Rasyonel sayılar nasıl çarpılır?

Pozitif kesirlerle çarpma

Çarpmada işaret nasıl belirlenir?

Çarpmadan önce sadeleştirme (işi kolaylaştırır)

TYT & AYT - Rasyonel Sayılar - 9.Sayfa

Rasyonel Sayılar

Rasyonel sayılarda bölme nasıl yapılır?

Bir kesrin tersi nedir?

Bölme işlemini uygulayalım

Bölmede işaret kuralları

Sıfıra bölme yapılamaz

TYT & AYT - Rasyonel Sayılar - 10.Sayfa

Rasyonel Sayılar

Rasyonel sayılar ondalık olarak yazılabilir

Sonlu ondalık gösterim

Sonsuz ama tekrar eden ondalık gösterim

Her sonlu veya tekrar eden ondalık sayı rasyoneldir

Negatif rasyonel sayılar da ondalık olabilir