Lise • TYT • AYT

Mantık

Önermeler, doğruluk değeri ve sembolik dilin temelleri

Sayfa 1 • Temel Seviye

1) Mantık Neyi İnceler?

Mantık; doğru düşünmenin ve geçerli çıkarım yapmanın kurallarını inceler. Günlük hayatta “Bu sonuç, verilenlerden gerçekten çıkar mı?” sorusunu sorduğumuz her yerde mantık devreye girer. Matematikte ve felsefede mantık, ifadelerin anlamından çok biçimine ve doğruluk ilişkilerine odaklanır.

2) Önerme (Proposition) Nedir?

Önerme, doğruluğu kesin olarak belirlenebilen ifadedir. Bir önerme için yalnızca iki olasılık vardır: Doğru veya Yanlış.

3) Önerme Değişkenleri ve Semboller

Mantıkta önerme cümleleri genellikle p, q, r gibi harflerle gösterilir. Bu harflere önerme değişkeni denir.

4) Temel Mantıksal Bağlaçlara İlk Bakış

Önerme değişkenlerini bağlayarak daha karmaşık ifadeler kurarız. Bu bağlaçların her biri, doğruluk değerlerini belirli kurallara göre dönüştürür. Bu sayfada sadece sembolleri tanıyacağız; ayrıntılı doğruluk tablolarına sonraki sayfalarda gireceğiz.

Bağlaç	Sembol	Okunuş	Örnek
Değil	$\neg p$	“p değil”	$\neg p$
Ve	$p\wedge q$	“p ve q”	$p\wedge q$
Veya	$p\vee q$	“p veya q”	$p\vee q$
İse	$p\to q$	“p ise q”	$p\to q$
Ancak ve ancak	$p\leftrightarrow q$	“p ancak ve ancak q”	$p\leftrightarrow q$

5) İlk Doğruluk Tablosu: Değil (¬)

“Değil” bağlacı, bir önermenin doğruluk değerini tersine çevirir. Yani p doğruysa ¬p yanlış; p yanlışsa ¬p doğrudur.

p	¬p
D	Y
Y	D

Bu sayfanın özeti

Lise • TYT • AYT

Mantık

"Ve" ( ∧ ) Bağlacı ve Doğruluk Analizi

Sayfa 2 • Temel Seviye

1) "Ve" ( ∧ ) Bağlacı Nedir?

Mantıkta “ve” bağlacı, iki önermenin aynı anda doğru olmasını ifade eder. Bu bağlaç matematikte ∧ sembolü ile gösterilir.

2) Günlük Hayattan Örnek

Aşağıdaki önermeleri tanımlayalım:

Bu iki önermeyi birlikte yazarsak:

$$p\wedge q$$

Anlamı: “Bugün hava güneşlidir ve sıcaktır.”

3) "Ve" Bağlacının Temel Kuralı

p ∧ q ifadesi sadece ve sadece her iki önerme de doğruysa doğrudur.

4) Doğruluk Tablosu

p	q	p ∧ q
D	D	D
D	Y	Y
Y	D	Y
Y	Y	Y

Sayfa Özeti

Lise • TYT • AYT

Mantık

"Veya" ( ∨ ) Bağlacı ve Mantıksal Yorumu

Sayfa 3 • Temel Seviye

1) "Veya" ( ∨ ) Bağlacı Nedir?

Mantıkta “veya” bağlacı, en az bir önermenin doğru olması durumunu ifade eder. Bu bağlaç matematikte ∨ sembolü ile gösterilir.

2) Günlük Hayattan Örnek

Aşağıdaki önermeleri tanımlayalım:

Bu iki önerme birlikte şu şekilde yazılır:

$$p\vee q$$

Anlamı: “Bugün yağmur yağıyor veya hava soğuktur.”

3) Mantıksal Anlamı

Mantıkta “veya” bağlacı, günlük konuşmadan biraz farklıdır. Mantıkta “veya” bağlacı, her iki önerme de doğru olsa bile doğrudur.

4) Doğruluk Tablosu

p	q	p ∨ q
D	D	D
D	Y	D
Y	D	D
Y	Y	Y

5) "Ve" ile "Veya" Arasındaki Fark

Bağlaç	Doğru Olma Koşulu
∧ (ve)	İki önerme de doğru olmalı
∨ (veya)	En az bir önerme doğru olmalı

Sayfa Özeti

Lise • TYT • AYT

Mantık

Koşullu Önerme: “İse” ( → )

Sayfa 4 • Orta Seviye (Temel → Orta)

1) “İse” ( → ) Bağlacı Nedir?

Mantıkta koşullu önerme, “Eğer p olursa q olur.” anlamını taşır. Bu yapı p → q şeklinde yazılır ve “p ise q” diye okunur.

2) Günlük Dil ile Mantık Arasındaki Fark

Günlük konuşmada “Eğer çalışırsan kazanırsın.” cümlesi genellikle güçlü bir nedensellik ima eder. Mantıkta ise p → q ifadesi, sadece doğruluk değerleriyle değerlendirilir.

3) Koşullu Önerme Ne Zaman Yanlıştır?

p → q ifadesi, sadece p doğru iken q yanlış olursa yanlıştır. Diğer tüm durumlarda doğrudur.

p	q	p → q
D	D	D
D	Y	Y
Y	D	D
Y	Y	D

4) TYT–AYT’de Çok İşe Yarayacak İpucu

Koşullu önerme, sıkça başka bir ifadeye dönüştürülür: p → q ile ¬p ∨ q arasında güçlü bir ilişki vardır. Bu dönüşümü sonraki sayfalarda “eşdeğerlik” başlığı altında detaylı göreceğiz.

Sayfa Özeti

Lise • TYT • AYT

Mantık

Karşıt, Ters ve Karşıt-Tersi Önerme

Sayfa 5 • Orta Seviye

1) Koşullu Önerme Üzerinde Dönüşümler

Koşullu önerme:

$$p\to q$$

Bu önerme üzerinde 3 önemli dönüşüm yapılabilir:

2) Karşıt Önerme (Converse)

Karşıt önerme, öncül ve sonucun yer değiştirmesi ile elde edilir.

3) Ters Önerme (Inverse)

Ters önerme, hem öncülün hem sonucun değillenmesi ile elde edilir.

4) Karşıt-Tersi Önerme (Contrapositive)

Karşıt-ters önerme, hem yer değiştirme hem değilleme yapılarak elde edilir.

5) Özet Tablo

Tür	Gösterim	Eşdeğer mi?
Orijinal	p → q	—
Karşıt	q → p	Hayır
Ters	¬p → ¬q	Hayır
Karşıt-ters	¬q → ¬p	Evet

Sayfa Özeti

Lise • TYT • AYT

Mantık

İki Yönlü Koşul: “Ancak ve Ancak” ( ↔ )

Sayfa 6 • Orta Seviye

1) “Ancak ve Ancak” Bağlacı Nedir?

Mantıkta “ancak ve ancak” bağlacı, iki önermenin aynı doğruluk değerine sahip olmasını ifade eder. Bu bağlaç matematikte ↔ sembolü ile gösterilir.

2) Mantıksal Anlamı

Bu bağlaç, iki önerme aynı doğruluk değerine sahipse doğru olur.

• İkisi de doğru
• İkisi de yanlış

• Biri doğru, diğeri yanlış

3) Doğruluk Tablosu

p	q	p ↔ q
D	D	D
D	Y	Y
Y	D	Y
Y	Y	D

4) Çok Önemli Eşdeğerlik

“Ancak ve ancak” bağlacı şu şekilde ifade edilebilir:

$$p\leftrightarrow q⟺(p\to q)\wedge (q\to p)$$

Yani iki yönlü koşul, iki tane koşullu önermenin birlikte doğru olmasıdır.

Sayfa Özeti

Lise • TYT • AYT

Mantık

Bileşik Önermeler

Sayfa 7 • Orta Seviye

1) Bileşik Önerme Nedir?

İki veya daha fazla önermenin mantık bağlaçları ile birleştirilmesi sonucu oluşan yeni önermelere bileşik önerme denir.

2) Bileşik Önerme Türleri

3) Daha Karmaşık Bileşik Önermeler

Birden fazla bağlaç birlikte kullanılabilir.

$$(p\wedge q)\to r$$

Anlamı: “p ve q doğruysa, r doğrudur.”

4) Doğruluk Değerini Belirleme

Bileşik önermelerin doğruluğu, içindeki önermelerin doğruluk değerlerine bağlıdır.

Sayfa Özeti

Lise • TYT • AYT

Mantık

Doğruluk Tablolarının Sistemli Oluşturulması

Sayfa 8 • Orta Seviye

1) Doğruluk Tablosu Nedir?

Doğruluk tablosu, bir bileşik önermenin tüm olası doğruluk durumlarını gösteren tablodur. Bu tablo sayesinde mantıksal ifadelerin sonucu kesin olarak belirlenebilir.

2) Satır Sayısı Nasıl Belirlenir?

Eğer bir mantık ifadesinde n tane önerme varsa, doğruluk tablosunda satır sayısı şu şekilde hesaplanır:

$$2^n$$

Çünkü her önerme için iki olasılık vardır:

3) İki Önermeli Doğruluk Tablosu

İki önerme varsa:

p	q
D	D
D	Y
Y	D
Y	Y

4) Örnek: p ∧ q

p	q	$p\wedge q$
D	D	D
D	Y	Y
Y	D	Y
Y	Y	Y

5) Genel Kural

• Önerme sayısı artarsa satır sayısı artar.
• Her olasılık tek tek yazılır.
• Son sütun, bileşik önermenin sonucunu gösterir.

Sayfa Özeti

Lise • TYT • AYT

Mantık

Üç Önermeli Doğruluk Tabloları

Sayfa 9 • Orta Seviye

1) Üç Önermeli Sistemler

Eğer bir mantık ifadesinde üç önerme varsa (p, q, r), doğruluk tablosundaki satır sayısı şu şekilde hesaplanır:

$$2^3=8$$

Yani toplam 8 farklı doğruluk durumu vardır.

2) p, q, r için tüm olasılıklar

p	q	r
D	D	D
D	D	Y
D	Y	D
D	Y	Y
Y	D	D
Y	D	Y
Y	Y	D
Y	Y	Y

3) Örnek: (p ∧ q) → r

$$(p\wedge q)\to r$$

Bu ifadeyi çözmek için önce p ∧ q bulunur, sonra sonuç r ile karşılaştırılır.

4) Çözüm Adımları

1. Önerme kombinasyonlarını yaz
2. Ara işlemleri hesapla (p ∧ q gibi)
3. Sonucu hesapla

5) TYT–AYT İçin Kritik Nokta

Sayfa Özeti

Lise • TYT • AYT

Mantık

Tautoloji, Çelişki ve Belirsiz Önermeler

Sayfa 10 • Orta → İleri Seviye

1) Tautoloji (Her Zaman Doğru Önerme)

Eğer bir bileşik önerme, tüm doğruluk durumlarında doğru ise buna tautoloji denir.

2) Çelişki (Her Zaman Yanlış Önerme)

Eğer bir önerme tüm durumlarda yanlış ise buna çelişki denir.

3) Belirsiz (Koşullu) Önerme

Eğer bir önerme bazı durumlarda doğru, bazı durumlarda yanlış ise buna belirsiz önerme denir.

4) Örnek Doğruluk Tablosu

p	¬p	p ∨ ¬p
D	Y	D
Y	D	D

5) TYT–AYT Kritik Bilgi

• Tautoloji → her zaman doğru
• Çelişki → her zaman yanlış
• Diğerleri → belirsiz

Sayfa Özeti