1) Denklem Nedir?

Eşitlik işareti içeren ve doğru olması belirli değer(ler)e bağlı olan ifadeler.

Denklem, içinde bir veya daha fazla bilinmeyen bulunan ve eşitlik işaretiyle kurulmuş ifadedir. Denklemde amaç, eşitliği sağlayan bilinmeyen değer(ler)ini bulmaktır.

2) Temel Terimler

3) Denklem Çözmenin Mantığı

Amaç: bilinmeyeni yalnız bırakmak (eşdeğer dönüşümlerle).

Denklem çözerken yaptığımız işlemler, eşitliğin iki tarafına da aynı işlemi uygulamaya dayanır. Böylece denklemin doğruluğu korunur; ortaya çıkan yeni denklem eşdeğer olur.

4) Çözümü Kontrol Etme

Bulduğun değerin gerçekten çözüm olup olmadığını anlamanın en güvenli yolu: yerine yazıp iki tarafın eşitliğini kontrol etmektir.

1) Birinci Dereceden Denklem Nedir?

Bilinmeyenin kuvveti 1’dir; kök, üs, çarpım içinde bilinmeyen gibi karmaşıklıklar henüz yoktur.

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler genellikle şu forma indirgenebilir:

Çözüm fikri hep aynıdır: x’i yalnız bırak. Bunun için iki ana hamle kullanılır:

2) Adım Adım Çözüm: “İki Tarafa Aynı İşlem”

3) En Sık Hata: İşaret Yönetimi

Birinci dereceden denklemlerde en çok hata, eksi işaretini yanlış taşımaktan gelir. “Karşı tarafa geçince işaret değişir” ifadesi, aslında şu anlama gelir:

• Parantez açarken her terimi dağıttım mı?
• Eksi ile çarpma yaptıysam işaretleri doğru çevirdim mi?
• Benzer terimleri aynı tarafta topladım mı?
• Son değeri mutlaka denkleme yazıp kontrol ettim mi?

1) Paydalı Denklem Nedir?

Bilinmeyenin paydada bulunduğu denklemlere paydalı denklemler denir. Bu tip denklemlerde çözümün temel mantığı, paydalardan kurtulmaktır.

$$\frac{x}{3}=5$$

2) Paydadan Kurtulma Yöntemi

Kesirli denklemleri çözmek için her iki tarafı payda ile çarparız.

$$\frac{x}{4}=3$$ $$4·\frac{x}{4}=4·3$$ $$x=12$$

3) Birden Fazla Kesir İçeren Denklem

Birden fazla kesir varsa, tüm paydaların ortak katı ile çarparız.

$$\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=5$$ $$6·\frac{x}{2}+6·\frac{x}{3}=6·5$$ $$3x+2x=30$$ $$5x=30$$ $$x=\frac{30}{5}$$ $$x=6$$

1) Dağıtma Özelliğinin Hatırlanması

Parantezli denklemlerde ilk yapılması gereken işlem genellikle dağıtma özelliğini uygulamaktır.

$$a(b+c)=ab+ac$$

Yani parantez dışındaki sayı, parantez içindeki her terimle çarpılır.

2) Temel Parantezli Denklem Çözümü

$$3(x+5)=21$$ $$3x+15=21$$ $$3x=6$$ $$x=\frac{6}{3}$$ $$x=2$$

3) Negatif Sayı ile Dağıtma

$$-2(x-4)=10$$ $$-2x+8=10$$ $$-2x=2$$ $$x=-\frac{2}{2}$$ $$x=-1$$

1) Denklem Kurma Nedir?

Denklem kurma, bir problemi matematiksel ifadeye dönüştürme işlemidir. Problemin içinde verilen bilinmeyen büyüklüğü temsil eden bir değişken seçilir ve verilen bilgiler kullanılarak bir eşitlik oluşturulur.

• Bilinmeyeni belirle ve değişken ata
• Verilen bilgileri matematiksel ifadeye çevir
• Denklemi oluştur
• Denklemi çöz
• Sonucu kontrol et

2) Bir Sayının 5 Fazlası Problemi

Bir sayının 5 fazlası 17 ise, bu sayı kaçtır?

Bilinmeyen sayıya x diyelim.

$$x+5=17$$ $$x=12$$

3) Bir Sayının İki Katı Problemi

Bir sayının iki katının 3 fazlası 19 ise, bu sayı kaçtır?

Bilinmeyen sayıya x diyelim.

$$2x+3=19$$ $$2x=16$$ $$x=\frac{16}{2}$$ $$x=8$$

4) Bir Sayının Yarısı Problemi

Bir sayının yarısı 9 ise, bu sayı kaçtır?

$$\frac{x}{2}=9$$ $$x=18$$

1) Oran ve Orantı Temeli

Oran, aynı türden iki büyüklüğün birbirine bölünmesiyle oluşur. Orantı ise iki oranın eşitliğidir.

$$a:b$$ $$a:b=c:d$$

Orantıda temel kural içler dışlar çarpımıdır.

$$a:b=c:d\Rightarrow ad=bc$$

2) Yaş Problemi (Oranla Denklem)

Ali’nin yaşı Ayşe’nin yaşının 3 katıdır. Ali ve Ayşe’nin yaşları toplamı 32 ise Ayşe kaç yaşındadır?

Ayşe’nin yaşı x olsun. O halde Ali’nin yaşı 3x olur.

$$x+3x=32$$ $$4x=32$$ $$x=\frac{32}{4}$$ $$x=8$$

Ayşe 8 yaşındadır, Ali ise 24 yaşındadır.

3) Doğrudan Orantı (Birimi Koruma)

Doğrudan orantıda bir büyüklük artarken diğeri de artar ve oran sabit kalır. Bu sabite çoğu zaman “birim başına” değer olarak bakmak işleri kolaylaştırır.

$$\frac{60}{5}=12$$ $$8·12=96$$

1) Yaş Problemlerinin Temel Mantığı

Yaş problemlerinde en önemli özellik şudur: Zaman geçse bile yaş farkı sabit kalır.

$$20-12=8$$ $$25-17=8$$

2) Gelecekteki Yaş Problemi

Bir babanın yaşı oğlunun yaşının 4 katıdır. 6 yıl sonra babanın yaşı oğlunun yaşının 2 katı olacaktır. Buna göre oğul bugün kaç yaşındadır?

Oğulun bugünkü yaşına x diyelim.

Babanın yaşı:

6 yıl sonra:

Yeni duruma göre denklem kurulur:

$$4x+6=2(x+6)$$ $$4x+6=2x+12$$ $$2x=6$$ $$x=\frac{6}{2}$$ $$x=3$$

3) Geçmiş Yaş Problemi

Bir kişinin bugünkü yaşı x olsun. 5 yıl önceki yaşı:

Bu tip problemler geçmiş ve gelecek ifadelerinin doğru kurulmasına dayanır.

$$x+t$$ $$x-t$$

1) Hareket Problemlerinin Temel Formülü

Hareket problemleri şu temel bağıntıya dayanır:

$$\mathrm{Yol}=\mathrm{Hız}\times \mathrm{Zaman}$$

Matematiksel gösterim:

x → yol, v → hız, t → zaman

2) Sabit Hız Problemi

Bir araç saatte 60 km hızla hareket ediyor. 3 saat sonra kaç km yol alır?

$$x=60\times 3$$ $$x=180$$

3) Denklem Kurulan Hareket Problemi

Bir araç saatte 80 km hızla gidiyor. Aynı yolu 4 saatte almıştır. Yol kaç km'dir?

$$x=80\times 4$$ $$x=320$$

4) İki Araç Birlikte Hareket Problemi

İki araç aynı yönde hareket ediyor. Birinci araç saatte 70 km, ikinci araç saatte 90 km hızla gidiyor.

Aralarındaki hız farkı:

1) Yakalama Problemlerinin Ana Fikri

Yakalama problemlerinde iki araç aynı yönde hareket eder ve hızlı olan, yavaş olanı belli bir süre sonra yakalar. Burada kritik büyüklük: bağıl hıztır.

$$v’=v\_h-v\_y$$

Yakalama anında iki aracın aldığı yollar eşittir. Hızlı aracın “fazladan” aldığı yol, başlangıçtaki mesafeyi kapatır.

2) Denklemle Yakalama (Adım Adım)

A aracı saatte 60 km hızla yola çıkıyor. B aracı aynı yönde saatte 80 km hızla, A aracından 30 km geriden başlıyor. B, A’yı kaç saat sonra yakalar?

$$60·t$$ $$80·t$$ $$80·t=60·t+30$$ $$20t=30$$ $$t=\frac{30}{20}$$ $$t=\frac{3}{2}$$

3) Bağıl Hız Yöntemi (Hızlı Teknik)

Yakalama sorularını hızlandıran yaklaşım: başlangıç mesafesini, bağıl hıza bölersin. Bu sayfada işlem sonucu tam bilindiği için kesir yazımı uygundur.

1) Karşılıklı Hareketin Temel Mantığı

İki araç birbirine doğru hareket ediyorsa, aralarındaki mesafe her iki aracın hızlarının toplamı kadar azalır. Bu toplam hız, bağıl hız olarak adlandırılır.

$$v’=v\_1+v\_2$$

Bu durumda temel denklem:

2) Denklemle Çözüm Örneği

Aralarındaki mesafe 300 km olan iki araç birbirine doğru hareket ediyor. Birinci araç saatte 70 km, ikinci araç saatte 80 km hızla gidiyor. Kaç saat sonra karşılaşırlar?

$$70t$$ $$80t$$ $$70t+80t=300$$ $$150t=300$$ $$t=\frac{300}{150}$$ $$t=2$$

3) Bağıl Hız ile Hızlı Çözüm

Bağıl hız:

Zaman: