TYT Polinomlar Konu Anlatımı, Test ve Soru Çözümü

1. bölüm

TYT & AYT - Polinomlar - 1.Sayfa

Polinomlar - 1. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Polinomlar

1. Sayfa • Tanım, terimler ve temel gösterimler

Polinom nedir?

Değişkenin (genellikle x) tam sayı kuvvetleriyle kurulan ve katsayıların sabit olduğu cebirsel ifadelerdir.

Bir polinom genellikle şöyle gösterilir:

Genel biçim

P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n} - 1 x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}

Burada a_n, a_n−1, …, a₀ katsayılardır ve sabittir.

Kritik şart

Polinomlarda üsler negatif olamaz ve üsler tam sayı olmalıdır. Yani x’in kuvvetleri 0, 1, 2, 3, … şeklindedir.

Bu nedenle aşağıdakiler polinom değildir:

Negatif üs içeriyor

x + x^{- 1}

Kuvvet tam sayı değil

x^{\frac{1}{2}} + 1

Terim, katsayı, sabit terim, derece

Polinomu okurken her parça ayrı bir anlam taşır.

Örnek bir polinom üzerinden parçalayalım:

P (x) = 3 x^{4} - 2 x^{2} + 5 x - 7

Terimler

Her toplama/çıkarma ile ayrılan parça bir terimdir: 3x⁴, −2x², 5x, −7.

Katsayı

Değişkenli terimde x’in önündeki sayı katsayıdır: 3, −2, 5.

Sabit terim

Değişken içermeyen terim sabit terimdir: burada −7.

Derece

Polinomun derecesi, x’in en büyük kuvvetidir. Bu örnekte en büyük üs 4 olduğu için derece 4’tür.

Not: Sıfır polinomu

Tüm katsayıları 0 olan polinoma sıfır polinomu denir. Derecesi standart tanımda belirsiz kabul edilir (çünkü “en büyük üs” yoktur).

Polinomun değeri: P(a)

Değişken yerine bir sayı yazıp hesapladığımız sonuca polinomun o noktadaki değeri denir.

Örneğin:

P (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + x + 4

P(2) demek, her x gördüğümüz yere 2 yazmak demektir:

P (2) = 2 2^{3} - 3 2^{2} + 2 + 4

Burada işlem adımlarını ileriki sayfalarda daha sistematik ele alacağız. Bu sayfada amaç, P(a) yazımının ne anlama geldiğini netleştirmektir.

Hızlı kontrol

Eğer P(a)=0 oluyorsa, a sayısına polinomun kökü denir. Kök kavramını yakında çarpanlara ayırma ile birlikte derinleştireceğiz.

Sonraki sayfa: Polinomlarda eşitlik, özdeşlik ve katsayı karşılaştırma fikri

2. bölüm

TYT & AYT - Polinomlar - 2.Sayfa

Polinomlar - 2. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Polinomlarda Eşitlik ve Özdeşlik

2. Sayfa • Eşit polinom kavramı ve katsayı karşılaştırma temeli

Polinomların eşit olması ne demektir?

İki polinom, her x değeri için aynı sonucu veriyorsa eşittir.

Örneğin aşağıdaki iki polinomu inceleyelim:

P (x) = 3 x^{2} + 5 x + 2

Q (x) = 3 x^{2} + 5 x + 2

Bu iki polinom eşittir çünkü:

Tüm kuvvetlerin katsayıları aynıdır.

Özdeşlik nedir?

Her x değeri için doğru olan eşitliklere özdeşlik denir.

Örneğin:

(x + 2) (x + 3) = x^{2} + 5 x + 6

Bu eşitlik tüm x değerleri için doğrudur. Bu nedenle bu bir özdeşliktir.

Özdeşlikte katsayılar birebir eşit olmak zorundadır.

Katsayı karşılaştırma yöntemi

Aynı dereceden terimlerin katsayıları eşittir.

Örneğin aşağıdaki özdeşlik verilmiş olsun:

2 x^{2} + a x + 5 = 2 x^{2} + 7 x + 5

Aynı derecedeki terimlerin katsayılarını karşılaştırırız:

x² katsayıları eşit → 2 = 2

x katsayıları eşit → a = 7

sabit terimler eşit → 5 = 5

Sonuç:

a = 7 bulunur.

Sonraki sayfa: Polinomlarda toplama ve çıkarma işlemleri

3. bölüm

TYT & AYT - Polinomlar - 3.Sayfa

Polinomlar - 3. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Polinomlarda Toplama ve Çıkarma

3. Sayfa • Benzer terimler ve işlem kuralları

Toplama ve çıkarma işleminin temel mantığı

Sadece benzer terimler birbiriyle toplanabilir veya çıkarılabilir.

Benzer terimler, değişkenin kuvveti aynı olan terimlerdir.

Örnek benzer terimler:

3 x^{2} + 5 x^{2}

Çünkü her iki terimde de x’in kuvveti aynıdır.

Benzer olmayan terimler:

3 x^{2} + 5 x

Çünkü kuvvetler farklıdır.

Polinomların toplanması

İki polinomu toplayalım:

(2 x^{2} + 3 x + 1) + (4 x^{2} + 5 x + 6)

Benzer terimleri toplayalım:

6 x^{2} + 8 x + 7

Polinomların çıkarılması

Bir polinomu diğerinden çıkaralım:

(5 x^{2} + 4 x + 3) - (2 x^{2} + 6 x + 1)

Her terimin işaretini değiştirip toplayalım:

3 x^{2} - 2 x + 2

Önemli kural:

Çıkarma işleminde ikinci polinomun tüm terimlerinin işareti değişir.

Sonraki sayfa: Polinomların çarpılması ve dağıtma özelliği

4. bölüm

TYT & AYT - Polinomlar - 4.Sayfa

Polinomlar - 4. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Polinomlarda Çarpma İşlemi

4. Sayfa • Dağıtma özelliği ve temel çarpma kuralları

Dağıtma özelliği (Temel kural)

Bir polinom çarpılırken her terim diğer polinomun tüm terimleri ile çarpılır.

En temel örnek:

x (x + 3) = x \cdot x + x \cdot 3

x^{2} + 3 x

İki polinomun çarpımı

Örnek:

(x + 2) (x + 4)

Her terimi diğer parantez ile çarparız:

x \cdot x + x \cdot 4 + 2 \cdot x + 2 \cdot 4

x^{2} + 4 x + 2 x + 8

x^{2} + 6 x + 8

Derece kuralı

İki polinom çarpıldığında dereceler toplanır.

(x^{2}) (x^{3}) = x^{5}

Sonuç:

Dereceler toplanır → 2 + 3 = 5

Sonraki sayfa: Özel çarpım özdeşlikleri (kare açılımı ve farkların çarpımı)

5. bölüm

TYT & AYT - Polinomlar - 5.Sayfa

Polinomlar - 5. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Özel Çarpım Özdeşlikleri

5. Sayfa • Tam kare açılımı ve iki kare farkı

Tam kare açılımı

Bir toplamın karesi üç terimli bir polinom oluşturur.

En önemli özdeşliklerden biri:

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

Ezberlenmesi gereken yapı:

İlk terimin karesi + iki kat çarpım + ikinci terimin karesi

Örnek uygulama

Aşağıdaki ifadeyi açalım:

{(x + 3)}^{2}

x^{2} + 2 x 3 + 3^{2}

x^{2} + 6 x + 9

İki kare farkı özdeşliği

Bir çıkarma şeklindeki kare farkı şu şekilde yazılır:

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

Çok önemli sonuç:

Kare farkı her zaman iki parantezin çarpımı şeklinde yazılabilir.

Sonraki sayfa: Polinomlarda çarpanlara ayırma

6. bölüm

TYT & AYT - Polinomlar - 6.Sayfa

Polinomlar - 6. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Polinomlarda Çarpanlara Ayırma

6. Sayfa • Ortak çarpan yöntemi

Çarpanlara ayırma nedir?

Bir polinomu, çarpım şeklinde yazma işlemidir.

Amaç, bir polinomu daha basit polinomların çarpımı olarak ifade etmektir.

Genel fikir:

Ortak olan çarpanı parantez dışına almaktır.

Ortak çarpan örneği

Aşağıdaki polinomu inceleyelim:

3 x + 6

Her iki terimde ortak olan sayı 3'tür.

3 (x + 2)

Değişken içeren örnek

Aşağıdaki polinomu çarpanlara ayıralım:

4 x^{2} + 8 x

Ortak çarpan:

4 ve x ortak çarpandır.

4 x (x + 2)

Kontrol:

Parantezi tekrar açarsak başlangıçtaki polinomu elde ederiz.

Sonraki sayfa: Gruplandırarak çarpanlara ayırma yöntemi

7. bölüm

TYT & AYT - Polinomlar - 7.Sayfa

Polinomlar - 7. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma

7. Sayfa • İkili gruplar ve ortak parantez yöntemi

Gruplandırma fikri

Terimleri uygun biçimde gruplara ayırıp her gruptan ortak çarpan alınır.

Bu yöntem özellikle 4 terimli polinomlarda çok etkilidir.

Strateji:

1) Terimleri iki gruba ayır
2) Her gruptan ortak çarpan al
3) Ortak parantezi dışarı çıkar

Örnek: 4 terimli polinom

Aşağıdaki ifadeyi çarpanlara ayıralım:

x^{2} + 3 x + 2 x + 6

Terimleri gruplandıralım:

(x^{2} + 3 x) + (2 x + 6)

Her gruptan ortak çarpan alalım:

x (x + 3) + 2 (x + 3)

Ortak parantezi dışarı alalım:

(x + 3) (x + 2)

Sonuç:

Polinom iki doğrusal çarpanın çarpımına ayrıldı.

Sık yapılan hata

Gruplandırma her zaman “ilk iki + son iki” şeklinde olmayabilir. Bazen farklı gruplamalar denenmelidir.

İpucu:

Amaç iki grupta aynı parantezi yakalamaktır.

Sonraki sayfa: Bölme algoritması ve polinom bölmesi fikri

8. bölüm

TYT & AYT - Polinomlar - 8.Sayfa

Polinomlar - 8. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Polinomlarda Bölme İşlemi

8. Sayfa • Bölme algoritması ve temel yapı

Polinom bölmesinin amacı

Bir polinomu başka bir polinoma bölerek bölüm ve kalan bulmaktır.

Sayılarda olduğu gibi polinomlarda da bölme işlemi yapılabilir.

Temel yapı:

Bölünen = Bölen \cdot Bölüm + Kalan

Polinomlarla yazımı

Genel olarak şu şekilde yazılır:

P (x) = D (x) \cdot Q (x) + R (x)

Burada:

P(x) → bölünen polinom

D(x) → bölen polinom

Q(x) → bölüm polinom

R(x) → kalan polinom

Basit bölme örneği

Örnek:

(x^{2} + 5 x + 6) = (x + 2) (x + 3)

Bu durumda:

Bölüm → x + 3
Kalan → 0

Önemli bilgi:

Eğer kalan 0 ise, bölen polinom bölünene tam bölünür.

Sonraki sayfa: Kalan teoremi

9. bölüm

TYT & AYT - Polinomlar - 9.Sayfa

Polinomlar - 9. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Kalan Teoremi

9. Sayfa • P(a) ile kalan arasındaki ilişki

Kalan teoreminin tanımı

Bir polinom (x − a) ile bölündüğünde kalan, P(a)'ya eşittir.

Matematiksel olarak şu şekilde ifade edilir:

P (a) = Kalan

Çok önemli sonuç:

Kalanı bulmak için uzun bölme yapmak zorunda değiliz. Sadece yerine yazmak yeterlidir.

Örnek

Aşağıdaki polinomu (x − 2) ile bölelim:

P (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1

Kalanı bulmak için x = 2 yazılır:

P (2) = 2 2^{2} + 32 + 1

Hesaplama sonucu

2 2^{2} = 8

8 + 6 + 1 = 15

Sonuç:

Kalan = 15

Kritik çıkarım:

P(a) değeri, kalan hakkında doğrudan bilgi verir.

Sonraki sayfa: Çarpan teoremi

10. bölüm

TYT & AYT - Polinomlar - 10.Sayfa

Polinomlar - 10. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Çarpan Teoremi

10. Sayfa • Kök, çarpan ve kalan ilişkisi

Çarpan teoreminin özeti

P(a)=0 ise, (x − a) polinomun bir çarpanıdır.

Kalan teoremiyle birlikte düşünülür:

P (a) = 0 \Leftrightarrow (x - a) çarpandır

Anlamı:

a sayısı polinomun köküdür ve polinom (x − a) ile tam bölünür.

Örnek: Çarpan kontrolü

Verilen polinom:

P (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6

(x − 1) çarpan mı? Bunun için P(1) hesaplanır.

P (1) = 1^{3} - 6 1^{2} + 111 - 6

Hesap:

1 - 6 + 11 - 6 = 0

Sonuç:

P(1)=0 olduğundan (x − 1) çarpandır.

Kök bulmada pratik yaklaşım

Bir polinomun köklerini ararken genellikle şu strateji kullanılır:

Sabit terimin bölenleri aday kök olabilir.

Adaylar P(a) ile test edilir.

P(a)=0 yapanlar köktür.

Uyarı:

Bu yöntem rasyonel kök adaylarını verir; her polinom mutlaka rasyonel kök içermez.

Sonraki sayfa: Rasyonel kök teoremi ve aday kök listesi