1. bölüm

TYT & AYT - Karışım Problemleri - 1.Sayfa

Karışım Problemleri - 1. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Karışım Problemleri

1. Sayfa • Temel Kavramlar: çözelti, derişim, yüzde, saf madde ve karışım mantığı

Temel Seviye

1) Karışım Problemi Nedir?

Karışım problemleri; iki veya daha fazla maddenin (tuzlu su, şekerli su, alkol-su, boya vb.) belirli oranlarda birleşmesi ya da ayrılmasıyla ilgili sorulardır. Temel amaç, karışımın içindeki saf madde miktarını veya derişimini bulmaktır.

Ana fikir: Karışımın “toplam miktarı” değişebilir ama “saf madde” hesabını doğru kurarsan soru kolaylaşır.

2) Temel Kavramlar

Çözelti: Çözünen + çözücü karışımı (ör. tuz + su).

Çözünen (saf madde): Tuz/şeker/alkol gibi “oran” hesaplanan kısım.

Çözücü: Genelde su gibi taşıyıcı kısım.

Derişim (konsantrasyon): Karışım içindeki saf maddenin, toplam karışıma oranı.

Genellikle “%” olarak verilir: %10’luk tuzlu su demek, her 100 birim karışımda 10 birim tuz var demektir.

3) Yüzde Mantığı

%p derişimli bir karışımdan x birim varsa, karışımdaki saf madde miktarı:

Saf madde = x \cdot \frac{p}{100}

Burada p/100 “oran”dır. %20 ise oran 0,20 demektir.

İpucu: Çoğu karışım sorusunda önce her karışımın saf madde miktarını hesaplayıp sonra “toplam saf madde / toplam karışım” yaparsın.

4) Altın Kural: Saf Madde Korunur

Birbirine karıştırılan çözeltilerde (kimyasal tepkime yoksa) tuzun/şekerin miktarı korunur. Yani:

Toplam saf madde = (1. karışımdaki saf madde) + (2. karışımdaki saf madde) + ...

Toplam saf madde = x \cdot \frac{p}{100} + y \cdot \frac{q}{100}

x ve y: karışım miktarları, p ve q: yüzde derişimler.

5) Standart Çözüm Şablonu

Karışımdaki “oran”ı yaz: %p ise oran p/100.
Her karışımın saf madde miktarını bul: miktar × oran.
Karıştırınca toplam saf maddeyi topla.
Toplam karışım miktarını topla.
İstenen derişim ise: toplam saf / toplam karışım yap.

Şablon soruların çoğunu tek çizgide çözer: “saf madde”yi merkez al.

6) Örnek 1 (Temel)

Soru: %20 tuzlu 30 birim çözelti ile %10 tuzlu 20 birim çözelti karıştırılıyor. Yeni karışımın tuz yüzdesi kaçtır?

1. karışımın tuzu: 30 · (20/100) = 6 birim

2. karışımın tuzu: 20 · (10/100) = 2 birim

Toplam tuz = 6 + 2 = 8, toplam karışım = 30 + 20 = 50

Derişim = \frac{8}{50} = 0, 16 = 16 %

Sonuç: %16

7) Örnek 2 (Yüzdeyi Hızlı Bulma)

Soru: %30’luk 10 birim çözelti ile saf su 30 birim karıştırılırsa yeni derişim kaç olur?

Saf suyun oranı 0’dır, yani saf madde eklemez.

Tuz (saf madde) = 10 · (30/100) = 3 birim, toplam karışım = 10 + 30 = 40

Yeni derişim = \frac{3}{40} = 0, 075 = 7, 5 %

Not: “Saf su ekleme” soruları çoğu zaman sadece toplam miktarı artırır; saf madde aynı kalır.

2. bölüm

TYT & AYT - Karışım Problemleri - 2.Sayfa

Karışım Problemleri - 2. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Karışım Problemleri

2. Sayfa • Karışım Türleri ve Temel Soru Kalıpları

Temel → Orta

1) En Sık Karışım Türleri

Yüzde derişim: %p’lik çözelti (ör. %20 tuzlu su).

Saf madde = miktar · (p/100)

Oran karışımı: “A:B = 2:3” gibi verilen karışımlar.

Toplam = 2k + 3k = 5k → A = 2k, B = 3k

Saf madde karışımı: Saf su (0%), saf tuz (100%), saf alkol (100%) gibi.

Saf olanın oranı sabittir: su için 0, tuz için 1 (yani %100).

2) Dört Temel Soru Kalıbı

(I) İki çözelti karıştırma: %p’lik x birim + %q’lik y birim

Saf maddeyi ayrı ayrı hesapla → topla → toplam karışıma böl.

(II) Saf su ekleme / su çıkarma: Saf madde sabit kalır, toplam değişir.

Yeni oran = (saf madde) / (yeni toplam)

(III) Bir miktar boşaltıp yerine başka çözelti koyma: Saf madde azalır/artar.

Boşaltılan miktarla birlikte o orandaki saf madde de çıkar.

(IV) Hedef derişime ulaşma: “Kaç birim su eklenmeli?” gibi.

Bilinmeyeni toplamda kurup yeni derişim eşitliğini yaz.

3) Karışım Derişimi = Ağırlıklı Ortalama

İki çözelti karışınca yeni derişim, derişimlerin “ağırlıklı ortalaması” gibi davranır. Ağırlıklar, çözelti miktarlarıdır.

Yeni oran = \frac{x \cdot p + y \cdot q}{100 \cdot (x + y)}

Burada p ve q yüzdedir. Formül, “saf madde toplamı / toplam karışım” düşüncesinin kısaltılmış hâlidir.

4) Örnek 3 (İki Çözelti Karıştırma)

Soru: %40’lık 15 birim çözelti ile %10’luk 25 birim çözelti karıştırılıyor. Yeni derişim kaçtır?

Saf madde: 15 · (40/100) = 6

Saf madde: 25 · (10/100) = 2,5

Toplam saf = 8,5 ve toplam karışım = 40

Yeni oran = \frac{8, 5}{40} = 0, 2125 = 21, 25 %

5) Örnek 4 (Hedef Derişim)

Soru: %25’lik 20 birim çözeltiye kaç birim saf su eklenirse derişim %10 olur?

Başlangıçtaki saf madde: 20 · (25/100) = 5 birim

Saf su eklemek saf maddeyi değiştirmez, sadece toplamı artırır. x birim su eklenirse toplam 20 + x olur.

\frac{5}{20 + x} = \frac{10}{100}

Buradan 5 / (20 + x) = 0,10 → 20 + x = 50 → x = 30

Sonuç: 30 birim saf su eklenmelidir.

3. bölüm

TYT & AYT - Karışım Problemleri - 3.Sayfa

Karışım Problemleri - 3. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Karışım Problemleri

3. Sayfa • Alligasyon (Ters Orantı) Yöntemi

Hızlı Çözüm Tekniği

1) Alligasyon Yöntemi Nedir?

Alligasyon yöntemi, iki farklı yüzdeli çözelti karıştırıldığında, hangi miktarlarda karıştırılması gerektiğini hızlı şekilde bulmak için kullanılan ters orantı yöntemidir.

Bu yöntem özellikle “hangi oranlarda karıştırılmalı?” sorularında çok hızlı sonuç verir.

2) Temel Mantık

İki farklı yüzdeli çözelti karıştırıldığında, miktar oranı şu şekilde bulunur:

Miktar oranı = farkların ters oranı

Yani büyük yüzde ile hedef yüzde farkı, küçük yüzde ile hedef yüzde farkına ters orantılıdır.

3) Şema ile Gösterim

%40

↘ ↙

%25

↗ ↖

%10

Farklar çapraz alınır ve ters oran oluşturulur.

4) Örnek

%40 ve %10’luk çözeltiler kullanılarak %25’lik çözelti elde edilecek. Karışım oranı nedir?

Farklar:

40 - 25 = 15 25 - 10 = 15

Oran ters alınır:

Oran = \frac{15}{15} = 1

Sonuç: Karışım oranı 1 : 1’dir.

5) Önemli Özellik

Hedef yüzde, iki yüzde arasında olmak zorundadır.

Örneğin %10 ve %40 ile %50 elde edilemez.

4. bölüm

TYT & AYT - Karışım Problemleri - 4.Sayfa

Karışım Problemleri - 4. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Karışım Problemleri

4. Sayfa • Alligasyon Yöntemi ile İleri Seviye Sorular

Orta Seviye

1) Alligasyon ile Gerçek Soru Mantığı

Alligasyon yöntemi, sadece oranı bulmakla kalmaz, aynı zamanda gerçek miktarların bulunmasını da sağlar.

Eğer toplam miktar verilmişse, bulunan oran kullanılarak gerçek miktarlar hesaplanır.

2) Örnek: Gerçek Miktar Bulma

%20 ve %50’lik çözeltiler karıştırılarak %30’luk 60 litre çözelti elde ediliyor. Her birinden kaç litre kullanılmıştır?

Farkları alalım:

50 - 30 = 20 30 - 20 = 10

Oran:

\frac{10}{20} = \frac{1}{2}

Toplam oran:

1 + 2 = 3

Bir oran değeri:

\frac{60}{3} = 20

Sonuç:

%20’lik çözelti:

2 \times 20 = 40

litre

%50’lik çözelti:

1 \times 20 = 20

litre

3) Önemli Özellik

Alligasyon yöntemi özellikle hızlı çözüm gerektiren TYT sorularında çok etkilidir.

Uzun denklem kurmak yerine oran yöntemi kullanmak çok daha hızlıdır.

5. bölüm

TYT & AYT - Karışım Problemleri - 5.Sayfa

Karışım Problemleri - 5. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Karışım Problemleri

5. Sayfa • Karışımdan Madde Çıkarma Problemleri

Kritik Konu

1) Karışımdan Madde Çıkarma Mantığı

Karışımdan bir miktar çıkarıldığında, çıkarılan miktarla birlikte saf madde de çıkar.

Önemli kural: Çıkarılan saf madde miktarı, karışım oranına bağlıdır.

2) Çıkarılan Saf Madde Hesabı

Eğer karışım oranı %p ve çıkarılan miktar x ise, çıkarılan saf madde:

çıkarılan saf madde = x \cdot \frac{p}{100}

3) Örnek: Karışımdan Çıkarma

%20 tuzlu 50 litre çözeltiden 10 litre çıkarılıyor. Geriye kaç litre tuz kalır?

Başlangıç tuz miktarı:

50 \cdot \frac{20}{100} = 10

Çıkarılan tuz miktarı:

10 \cdot \frac{20}{100} = 2

Kalan tuz miktarı:

10 - 2 = 8

Sonuç: 8 litre tuz kalır.

4) Çok Önemli Kural

Karışımdan çıkarılan çözeltinin oranı, mevcut karışımla aynıdır.

Bu nedenle doğrudan oran kullanılır.

6. bölüm

TYT & AYT - Karışım Problemleri - 6.Sayfa

Karışım Problemleri - 6. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Karışım Problemleri

6. Sayfa • Karışıma Saf Madde veya Saf Su Ekleme Problemleri

Sınavda Çok Çıkar

1) Karışıma Saf Madde veya Saf Su Eklemek

Karışıma saf madde veya saf su eklenmesi durumunda, karışımdaki saf madde miktarı farklı şekilde değişir.

Saf su eklenirse → saf madde miktarı değişmez.

Saf madde eklenirse → saf madde miktarı artar.

2) Saf Su Eklenmesi Durumu

Saf su eklenirse sadece toplam miktar artar.

Yeni oran = \frac{saf madde}{toplam miktar}

3) Örnek: Saf Su Eklemek

%30 tuzlu 40 litre çözeltiye 20 litre saf su ekleniyor. Yeni oran kaçtır?

Başlangıç saf madde:

40 \cdot \frac{30}{100} = 12

Yeni toplam miktar:

40 + 20 = 60

Yeni oran:

\frac{12}{60} = 0, 20 = 20 %

4) Saf Madde Eklenmesi Durumu

Saf madde eklenirse saf madde miktarı artar ve toplam miktar artar.

Bu tür sorularda yeni saf madde miktarı doğrudan toplanır.

7. bölüm

TYT & AYT - Karışım Problemleri - 7.Sayfa

Karışım Problemleri - 7. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Karışım Problemleri

7. Sayfa • Karışımın Bir Kısmını Boşaltıp Yerine Başka Çözelti Koyma

Orta Seviye

1) “Boşalt - Doldur” Sorularının Mantığı

Bu tip sorularda karışımdan bir miktar çıkarılır ve aynı miktarda (veya farklı miktarda) başka bir çözelti eklenir. Bu işlem karışımın oranını değiştirir.

Ana kural: Boşaltılan kısım, o anki karışım oranında saf madde içerir.

2) Standart Adım Listesi

Başlangıç saf madde miktarını hesapla.
Boşaltılan miktardaki saf maddeyi, mevcut oranla bul.
Yeni eklenen çözeltinin getirdiği saf maddeyi hesapla.
Yeni saf madde ve yeni toplam ile derişimi bul.

Eğer işlem birden çok kez tekrarlanıyorsa, her adımda oran değiştiği için aynı mantıkla yeniden hesap yapılır.

3) Örnek: Boşaltıp Saf Su Eklemek

%30 tuzlu 50 litre çözeltiden 10 litre boşaltılıyor ve yerine 10 litre saf su ekleniyor. Yeni derişim kaçtır?

Başlangıç tuz miktarı:

50 \cdot \frac{30}{100} = 15

Boşaltılan 10 litredeki tuz:

10 \cdot \frac{30}{100} = 3

Yeni tuz miktarı:

15 - 3 = 12

Toplam hacim tekrar 50 litre olur (10 çıkar, 10 ekle). Yeni derişim:

\frac{12}{50} = 0, 24 = 24 %

Sonuç: Yeni derişim %24.

4) Sık Yapılan Hata

Boşaltılan çözeltinin oranı, işlem sırasında değişen yeni orana göre değil, boşaltma anındaki mevcut orana göre alınır.

Bu yüzden adımları sırayla takip etmek çok önemlidir.

8. bölüm

TYT & AYT - Karışım Problemleri - 8.Sayfa

Karışım Problemleri - 8. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Karışım Problemleri

8. Sayfa • Tekrarlı Boşalt-Doldur İşlemleri

İleri Mantık

1) Tekrarlı İşlemlerin Temel Mantığı

Karışımdan bir miktar boşaltılıp yerine saf su eklenmesi işlemi birden fazla kez yapılabilir. Her işlemde saf madde miktarı belirli bir oranda azalır.

Önemli fikir: Her işlemde kalan saf madde, bir önceki miktarın belirli bir kesridir.

2) Her İşlemde Kalan Saf Madde

Eğer toplam karışım V ve boşaltılan miktar x ise, her işlemden sonra kalan saf madde:

kalan oran = \frac{V - x}{V}

Bu oran her işlemde tekrar tekrar çarpılır.

3) Örnek: İki Kez Boşalt-Doldur

40 litre %50 tuzlu çözeltiden 10 litre boşaltılıp yerine saf su ekleniyor. Bu işlem iki kez yapılıyor. Son durumda tuz miktarı kaç litredir?

Başlangıç tuz miktarı:

40 \cdot \frac{50}{100} = 20

Her işlem sonrası kalan oran:

\frac{40 - 10}{40} = \frac{30}{40}

İki işlem sonrası:

20 \cdot \frac{30}{40} \cdot \frac{30}{40} = 20 \cdot \frac{9}{16} = 11, 25

Sonuç: 11,25 litre tuz kalır.

4) Genel Sonuç Mantığı

Tekrarlı işlemlerde kalan saf madde: başlangıç miktarı × kalan oran × kalan oran × ...

Bu yöntem özellikle AYT sorularında çok kullanılır.

9. bölüm

TYT & AYT - Karışım Problemleri - 9.Sayfa

Karışım Problemleri - 9. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Karışım Problemleri

9. Sayfa • Oranı Verilen Karışım Problemleri

Temel - Orta

1) Oranı Verilen Karışım Nedir?

Bazı karışım problemlerinde yüzde yerine doğrudan oran verilir. Örneğin tuz ve su oranı 2 : 3 gibi.

Oran verilirse, gerçek miktarlar k ile çarpılarak ifade edilir.

2) Oran Kurma Yöntemi

Eğer oran a : b ise:

birinci madde = a k

ikinci madde = b k

k değeri toplam miktardan bulunur.

3) Örnek: Orandan Gerçek Miktar Bulma

Tuz ve su oranı 2 : 3 olan karışımın toplamı 50 litredir. Tuz miktarı kaç litredir?

Toplam oran:

2 + 3 = 5

k değeri:

\frac{50}{5} = 10

Tuz miktarı:

2 \cdot 10 = 20

Sonuç: 20 litre tuz vardır.

4) Oranı Yüzdeye Çevirme

Eğer oran a : b ise yüzde:

\frac{a}{a + b} \cdot 100

Bu yöntem oran ve yüzde dönüşümlerinde çok önemlidir.

10. bölüm

TYT & AYT - Karışım Problemleri - 10.Sayfa

Karışım Problemleri - 10. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Karışım Problemleri

10. Sayfa • Farklı Oranlı İki Karışımı Birleştirme (Oran + Yüzde)

Orta Seviye

1) Birleştirme Soruları Ne İster?

Bu tip sorularda iki farklı karışım tek kapta birleşir. Birleştirme sonrası ya yeni derişim sorulur, ya da hedef derişime ulaşmak için hangi miktarların karıştırılması gerektiği sorulur.

Temel kural değişmez: Toplam saf madde = saf madde 1 + saf madde 2

2) Oranla Verilen Karışımların Birleştirilmesi

Bir karışımda A:B oranı biliniyorsa, A ve B miktarları k ile yazılır. Sonra saf madde toplamı kurulur.

A = a k, B = b k

Oran verilince yüzdeye çevirmek de mümkündür, ama çoğu zaman k ile doğrudan işlem daha hızlıdır.

3) Örnek 1: Yüzde ile Birleştirme

%15’lik 40 litre çözelti ile %35’lik 20 litre çözelti karıştırılıyor. Yeni derişim yüzde kaç olur?

Saf madde 1: 40 · (15/100) = 6

Saf madde 2: 20 · (35/100) = 7

Toplam saf = 13 ve toplam karışım = 60

\frac{13}{60} = 0, 2166 \dots = 21, 66 %

4) Örnek 2: Oranla Verilen Karışımlar

Karışım-1’de A:B = 1:4 ve toplam 25 birimdir. Karışım-2’de A:B = 2:3 ve toplam 50 birimdir. İkisi karıştırılırsa toplamda A kaç birim olur?

Karışım-1: toplam oran 1+4=5 → k = 25/5 = 5 → A = 1·5 = 5

Karışım-2: toplam oran 2+3=5 → k = 50/5 = 10 → A = 2·10 = 20

Toplam A = 5 + 20 = 25 birim