1. bölüm

TYT & AYT - Oran-Orantı - 1.Sayfa

Oran-Orantı - 1. Sayfa

Lise • TYT • AYT Temel Seviye

Oran ve Orantıya Giriş

Bu sayfada oran kavramını, gösterimlerini ve günlük hayattaki karşılığını öğrenip orantı (eşit oran) fikrine sağlam bir temel kuracağız.

1) Oran (a’nın b’ye oranı) nedir?

Oran, iki çokluğun birbirine göre kaç kat olduğunu karşılaştırır. “a’nın b’ye oranı” denince a:b veya a/b şeklinde düşünülür.

Gösterimler:

İki nokta ile

a:b

“a’nın b’ye oranı” anlamındadır.

Kesir (bölme) ile

a/b (b ≠ 0)

b’nin 0 olmaması gerekir.

Önemli fikir: Oran “karşılaştırma”dır; iki büyüklük aynı türden (ikisi de uzunluk gibi) olabileceği gibi, farklı türden de olabilir (ör. km/saat gibi birim oranı).

2) Oranı sadeleştirme (eşdeğer oran)

Oranda pay ve payda (ya da iki terim) aynı sayıyla çarpılıp bölünebilir. Bu, oranın değerini değiştirmez. Böyle oranlara eşdeğer oranlar denir.

Örnek

12’nin 18’e oranını sadeleştirelim.

İki nokta ile:

12 : 18 = 2 : 3

Kesir gösterimi (oran değeri):

\frac{12}{18} = \frac{2}{3}

(12 ve 18’in ortak böleni 6 ile sadeleştirildi.)

3) Birimsiz oran ve birim oran

Birimsiz oran

Aynı tür büyüklüklerin oranıdır. Birimler sadeleşir.

Örnek:

30 cm’nin 45 cm’ye oranı:

\frac{30}{45} = \frac{2}{3}

Birim oran (birim başına)

Farklı tür büyüklüklerin oranıdır. “1 birim başına kaç?” sorusunu cevaplar.

Örnek:

120 km yolu 3 saatte giden bir araç için hız:

\frac{120}{3} = 40

Sonuç: 40 km/saat (bir saat başına 40 km).

4) Orantı: Eşit oran demektir

Orantı, iki oranın birbirine eşit olmasıdır. “a’nın b’ye oranı c’nin d’ye oranına eşittir” ifadesi:

a : b = c : d

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

(b ≠ 0 ve d ≠ 0 olmalıdır.)

5) İçler-dışlar çarpımı (orantının temel aracı)

Bir orantıda “çapraz çarpım” mantığıyla çözüm yapılır. İçler b ve c; dışlar a ve d’dir.

Kural

a : b = c : d ise

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow a \cdot d = b \cdot c

Bu eşitlik, orantı problemlerinin omurgasıdır.

6) İlk örnek: Bilinmeyeni orantı ile bulma

Problem

4 kalem 60 TL ise 7 kalem kaç TL’dir?

Kurulum

Kalem sayısı ile fiyat doğru orantılıdır. Bu yüzden oranı eşitleriz:

\frac{4}{7} = \frac{60}{x}

(Bilinmeyen fiyatı x ile gösterdik.)

İçler-dışlar

4 \cdot x = 7 \cdot 60

Buradan x bulunur. (Sayfa 2’de yöntemleri hızlandıracağız.)

Hazır ol: Sonraki sayfada oranı hızla kurma, “1 birim başına” mantığı, tabloyla düşünme ve doğru/ters orantı farkına giriş yapacağız.

2. bölüm

TYT & AYT - Oran-Orantı - 2.Sayfa

Oran-Orantı - 2. Sayfa

Temel → Orta Seviye Oran Kurma • Birim Başına • Tablo Mantığı

Oran Kurma Teknikleri ve “1 Birim Başına” Yaklaşımı

Bu sayfada orantı problemlerini daha hızlı kurmayı, “birim başına” düşünmeyi ve tablo mantığıyla karışıklığı azaltmayı öğreneceksin.

1) Bilinmeyeni doğru yerde seçmek

Orantı sorularında en sık hata, bilinmeyeni yanlış büyüklüğe yazmaktır. Önce şu soruyu netleştir: “Bilinmeyen hangi birime ait?”

İpucu

“Kaç TL?”, “kaç saat?”, “kaç km?” gibi soru kökü, bilinmeyenin türünü söyler. Değişkeni o büyüklüğe yaz.

Kontrol

Oranı yazdıktan sonra: sol tarafta “aynı tür/aynı tür” ve sağ tarafta da “aynı tür/aynı tür” olmalı.

2) “1 birim başına” yöntemi: hızlı ve güvenli

Doğru orantıda en pratik yöntem: önce 1 birimin değerini bul, sonra istenen sayıyla çarp.

Örnek

4 kalem 60 TL ise 7 kalem kaç TL’dir?

1 kalemin fiyatı

\frac{60}{4} = 15

1 kalem = 15 TL

7 kalemin fiyatı

7 \cdot 15 = 105

7 kalem = 105 TL

Neden işe yarar? “1 birim” fikri, orantıyı karıştırmadan net adımlar verir. Özellikle sınavda hız kazandırır.

3) Tablo yöntemi: ilişkiyi görselleştir

Aynı türden iki büyüklük arasında doğru orantı varsa, oran tablosu kurmak çok güvenlidir. Amaç: satırları aynı işlemlerle dönüştürmek.

Örnek

6 kg elma 150 TL ise 10 kg elma kaç TL’dir?

Miktar (kg)

Fiyat (TL)

6

150

10

x

Doğru orantı olduğundan “kg başına fiyat” sabittir:

\frac{150}{6} = 25

1 kg = 25 TL ise:

10 \cdot 25 = 250

Sonuç: x = 250 TL

4) Orantıyı “tek satır” kontrolüyle kur

Orantı kurarken şu şablon çok iş görür:

(A büyüklüğü) / (A büyüklüğü) = (B büyüklüğü) / (B büyüklüğü)

Sol taraf aynı türden bir oran, sağ taraf da aynı türden bir oran olmalı. Türler karışırsa kurulum hatalıdır.

Sık yapılan hata

“4 kalem 60 TL” bilgisini 4/60 yazıp, “7 kalem x TL”yi 7/xkalem/kalem = TL/TL ya da TL/kalem = TL/kalem gibi net tür eşleştirmesidir.

Sonraki sayfada doğru orantı ve ters orantı kavramlarını net ayıracağız; grafik ve tablo yorumlarıyla sınav tipi sorulara geçeceğiz.

3. bölüm

TYT & AYT - Oran-Orantı - 3.Sayfa

Oran-Orantı - 3. Sayfa

Orta Seviye Doğru Orantı

Doğru Orantı: Tanım, Özellikler ve Matematiksel Model

Bu sayfada doğru orantının ne olduğunu, nasıl tanınacağını ve matematiksel modelini öğreneceksin.

1) Doğru orantı nedir?

İki büyüklükten biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa veya biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa, bu büyüklükler arasında doğru orantı vardır.

Doğru orantıda oran sabittir.

\frac{x}{y} = k

k sabit sayıya doğru orantı sabiti denir.

2) Günlük hayat örneği

Bir ürünün fiyatı ile miktarı doğru orantılıdır.

Miktar (kg)

Fiyat (TL)

2

40

4

80

6

120

\frac{40}{2} = \frac{80}{4} = \frac{120}{6} = 20

Oran sabit olduğu için doğru orantı vardır.

3) Doğru orantının matematiksel modeli

Doğru orantı şu şekilde ifade edilir:

y = k \cdot x

Bu ifade doğrusal ilişkiyi gösterir.

4) Doğru orantı problemi çözümü

5 defter 75 TL ise 8 defter kaç TL'dir?

\frac{75}{5} = 15

1 defter = 15 TL

8 \cdot 15 = 120

Sonuç: 120 TL

Kritik Özellik

Doğru orantıda bir büyüklük n kat artarsa, diğer büyüklük de n kat artar.

Sonraki sayfada ters orantıyı öğrenecek ve doğru orantı ile farklarını net şekilde anlayacaksın.

4. bölüm

TYT & AYT - Oran-Orantı - 4.Sayfa

Oran-Orantı - 4. Sayfa

Orta Seviye Ters Orantı

Ters Orantı: Tanım, Mantık ve Matematiksel Model

Bu sayfada ters orantının ne olduğunu, doğru orantıdan farkını ve nasıl çözüldüğünü öğreneceksin.

1) Ters orantı nedir?

İki büyüklükten biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa veya biri azalırken diğeri aynı oranda artıyorsa, bu büyüklükler arasında ters orantı vardır.

Ters orantıda çarpım sabittir.

x \cdot y = k

k sabit sayıya ters orantı sabiti denir.

2) Günlük hayat örneği

Bir işi yapan işçi sayısı ile işin bitme süresi ters orantılıdır.

İşçi Sayısı

Gün

2

12

3

8

4

6

2 \cdot 12 = 3 \cdot 8 = 4 \cdot 6 = 24

Çarpım sabit olduğu için ters orantı vardır.

3) Matematiksel model

Ters orantı şu şekilde ifade edilir:

y = \frac{k}{x}

4) Ters orantı problemi çözümü

6 işçi bir işi 10 günde bitiriyorsa, 15 işçi kaç günde bitirir?

6 \cdot 10 = 15 \cdot x

60 = 15 \cdot x

x = \frac{60}{15} = 4

Sonuç: 4 gün

Doğru Orantı vs Ters Orantı

Doğru orantı: oran sabittir
Ters orantı: çarpım sabittir
Doğru orantı: birlikte artar
Ters orantı: biri artarken diğeri azalır

Sonraki sayfada doğru ve ters orantıyı grafiksel olarak inceleyeceğiz ve sınav tipi yorum sorularına geçeceğiz.

5. bölüm

TYT & AYT - Oran-Orantı - 5.Sayfa

Oran-Orantı - 5. Sayfa

Orta Seviye Grafik Yorumu

Doğru ve Ters Orantının Grafiksel Yorumu

Bu sayfada doğru ve ters orantının grafik üzerindeki davranışını anlayacaksın. Bu konu, özellikle grafik yorum sorularında kritik öneme sahiptir.

1) Doğru orantının grafiği

Doğru orantının matematiksel modeli:

y = k \cdot x

Bu fonksiyonun grafiği:

Orijinden geçer (0,0)
Doğru şeklindedir
Artan veya azalan olabilir

x

y

1

2

4

3

6

\frac{2}{1} = \frac{4}{2} = \frac{6}{3} = 2

2) Ters orantının grafiği

Ters orantının matematiksel modeli:

y = \frac{k}{x}

Grafik eğridir
Doğru değildir
Eksenlere yaklaşır ama kesmez

x

y

1

12

2

6

3

4

1 \cdot 12 = 2 \cdot 6 = 3 \cdot 4 = 12

3) Grafik yorum mantığı

Doğru çizgi → doğru orantı
Eğri grafik → ters orantı
Orijinden geçen doğru → doğru orantı kesin
Çarpım sabitse → ters orantı

4) Grafik yorum örneği

Bir grafik doğrusal ve orijinden geçiyorsa, büyüklükler doğru orantılıdır.

y = k x

Sonraki sayfada karışık doğru ve ters orantı problemlerine geçeceğiz ve sınav tipi sorular çözeceğiz.

6. bölüm

TYT & AYT - Oran-Orantı - 6.Sayfa

Oran-Orantı - 6. Sayfa

Orta → İleri Seviye Sabit Oran • Sabit Çarpım

Doğru ve Ters Orantıyı Ayırt Etme Teknikleri

Sınavlarda en kritik becerilerden biri, verilen ilişkinin doğru orantı mı yoksa ters orantı mı olduğunu hızlı ve doğru belirleyebilmektir.

1) Sabit oran testi (Doğru orantı kontrolü)

Eğer iki büyüklüğün oranı sabit kalıyorsa, bu büyüklükler doğru orantılıdır.

\frac{x}{y} = k

k sabit ise doğru orantı vardır.

x

y

2

6

4

12

6

18

\frac{6}{2} = \frac{12}{4} = \frac{18}{6} = 3

2) Sabit çarpım testi (Ters orantı kontrolü)

Eğer iki büyüklüğün çarpımı sabitse, ters orantı vardır.

x \cdot y = k

x

y

2

12

3

8

4

6

2 \cdot 12 = 3 \cdot 8 = 4 \cdot 6 = 24

3) Doğru ve ters orantının karşılaştırılması

Doğru Orantı

Ters Orantı

Oran sabittir

Çarpım sabittir

Birlikte artar

Biri artarken diğeri azalır

Grafik doğrudur

Grafik eğridir

Sınav İpucu

Eğer biri 2 katına çıkınca diğeri de 2 katına çıkıyorsa → doğru orantı Eğer biri 2 katına çıkınca diğeri yarıya düşüyorsa → ters orantı

Sonraki sayfada çok adımlı ve karışık orantı problemlerini çözeceğiz.

7. bölüm

TYT & AYT - Oran-Orantı - 7.Sayfa

Oran-Orantı - 7. Sayfa

İleri Seviye Çok Adımlı Orantı Problemleri

Çok Adımlı Doğru Orantı Problemleri

Bu sayfada birden fazla işlem gerektiren doğru orantı problemlerini sistemli şekilde çözmeyi öğreneceksin.

1) Çok adımlı problemlerde temel strateji

Önce birim değer bulunur
Sonra hedef büyüklük hesaplanır
Her adım doğru orantıya göre ilerler

2) Örnek Problem: Üretim Problemi

8 makine 6 saatte 240 ürün üretiyor. Aynı hızla çalışan makinelerle 1 makine 1 saatte kaç ürün üretir?

Adım 1: 8 makinenin 1 saatte üretimi

\frac{240}{6} = 40

8 makine 1 saatte 40 ürün üretir.

Adım 2: 1 makinenin üretimi

\frac{40}{8} = 5

1 makine 1 saatte 5 ürün üretir.

3) Örnek Problem: Yol ve hız ilişkisi

Bir araç 3 saatte 180 km gidiyor. Aynı hızla 7 saatte kaç km gider?

Adım 1: 1 saatte gidilen yol

\frac{180}{3} = 60

Adım 2: 7 saatte gidilen yol

7 \cdot 60 = 420

Sonuç: 420 km

4) Kritik teknik: birim yöntemi her zaman çalışır

Çok adımlı doğru orantı problemlerinde en güvenli yöntem:

Önce 1 birim bulunur
Sonra hedef büyüklük bulunur

Sonraki sayfada ters orantı içeren çok adımlı problemleri çözeceğiz.

8. bölüm

TYT & AYT - Oran-Orantı - 8.Sayfa

Oran-Orantı - 8. Sayfa

İleri Seviye Çok Adımlı Ters Orantı

Çok Adımlı Ters Orantı Problemleri

Bu sayfada ters orantı içeren çok adımlı problemlerin çözüm yöntemini sistemli şekilde öğreneceksin.

1) Ters orantıda temel ilke

Ters orantıda büyüklüklerin çarpımı sabittir.

x \cdot y = k

Bir büyüklük artarsa diğer büyüklük azalır.

2) Örnek Problem: İşçi Sayısı ve Süre

12 işçi bir işi 15 günde bitiriyor. Aynı işi 20 işçi kaç günde bitirir?

12 \cdot 15 = 20 \cdot x

180 = 20 \cdot x

x = \frac{180}{20} = 9

Sonuç: 9 gün

3) Örnek Problem: Hız ve Süre

Bir araç bir yolu 60 km/s hızla 5 saatte gidiyor. Aynı yolu 75 km/s hızla kaç saatte gider?

Yol sabittir:

60 \cdot 5 = 75 \cdot x

300 = 75 \cdot x

x = \frac{300}{75} = 4

Sonuç: 4 saat

4) Kritik teknik: sabit çarpım yaklaşımı

Ters orantıda çarpım sabittir
Büyüklük artarsa diğer büyüklük azalır
Her zaman çarpım eşitliği kurulur

Sonraki sayfada doğru ve ters orantının birlikte kullanıldığı karma problemleri çözeceğiz.

9. bölüm

TYT & AYT - Oran-Orantı - 9.Sayfa

Oran-Orantı - 9. Sayfa

İleri Seviye Karma Orantı Problemleri

Doğru ve Ters Orantının Birlikte Kullanıldığı Problemler

Gerçek sınav sorularında doğru ve ters orantı genellikle birlikte kullanılır. Bu sayfada bu tür karma problemleri çözmeyi öğreneceksin.

1) Karma orantının temel mantığı

Bir problemde bir büyüklük bazı değişkenlerle doğru, bazı değişkenlerle ters orantılı olabilir.

Genel model:

Sonuç \propto \frac{Doğru}{Ters}

2) Örnek Problem: İşçi ve Gün ve Saat

10 işçi günde 8 saat çalışarak bir işi 12 günde bitiriyor. 20 işçi günde 6 saat çalışarak aynı işi kaç günde bitirir?

İş miktarı sabittir:

10 \cdot 8 \cdot 12 = 20 \cdot 6 \cdot x

960 = 120 \cdot x

x = \frac{960}{120} = 8

Sonuç: 8 gün

3) Örnek Problem: Makine Problemi

6 makine günde 5 saat çalışarak 20 günde 600 ürün üretiyor. 10 makine günde 6 saat çalışarak aynı hızla kaç günde 600 ürün üretir?

6 \cdot 5 \cdot 20 = 10 \cdot 6 \cdot x

600 = 60 \cdot x

x = \frac{600}{60} = 10

Sonuç: 10 gün

4) Kritik teknik: tüm değişkenleri çarp

İş, yol, üretim gibi büyüklükler sabittir
Tüm doğru değişkenler çarpılır
Tüm ters değişkenler diğer tarafa alınır
Sonra denklem çözülür

Sonraki sayfada oran ve orantı konusunun en zor sınav tipi sorularını çözeceğiz.

10. bölüm

TYT & AYT - Oran-Orantı - 10.Sayfa

Oran-Orantı - 10. Sayfa

İleri Seviye Sabit İş – Sabit Yol – Sabit Üretim

Sabit Büyüklük Problemlerinde Oran-Orantı Kullanımı

Sınav sorularında iş, yol veya üretim miktarı sabit olduğunda oran-orantı çok güçlü bir çözüm aracıdır.

1) Sabit iş prensibi

Bir iş yapılırken toplam iş miktarı değişmez.

İş = İşçi \cdot Zaman

İş sabitse, işçi sayısı ile zaman ters orantılıdır.

2) Örnek: İşçi Problemi

16 işçi bir işi 9 günde bitiriyor. Aynı işi 12 işçi kaç günde bitirir?

16 \cdot 9 = 12 \cdot x

144 = 12 \cdot x

x = \frac{144}{12} = 12

3) Sabit yol prensibi

Bir yol sabitse:

Yol = Hız \cdot Zaman

Hız ile zaman ters orantılıdır.

4) Örnek: Hız Problemi

Bir araç bir yolu 80 km/s hızla 6 saatte gidiyor. Aynı yolu 120 km/s hızla kaç saatte gider?

80 \cdot 6 = 120 \cdot x

480 = 120 \cdot x

x = \frac{480}{120} = 4

Kritik Özet

İş sabitse → işçi ve zaman ters orantılıdır
Yol sabitse → hız ve zaman ters orantılıdır
Üretim sabitse → makine ve zaman ters orantılıdır

Sonraki sayfada en zor sınav tipi oran-orantı problemlerini çözeceğiz.

Oran-Orantı Konu Anlatımı

TYT & AYT - Oran-Orantı - 1.Sayfa

Oran ve Orantıya Giriş

1) Oran (a’nın b’ye oranı) nedir?

2) Oranı sadeleştirme (eşdeğer oran)

3) Birimsiz oran ve birim oran

4) Orantı: Eşit oran demektir

5) İçler-dışlar çarpımı (orantının temel aracı)

6) İlk örnek: Bilinmeyeni orantı ile bulma

TYT & AYT - Oran-Orantı - 2.Sayfa

Oran Kurma Teknikleri ve “1 Birim Başına” Yaklaşımı

1) Bilinmeyeni doğru yerde seçmek

2) “1 birim başına” yöntemi: hızlı ve güvenli

3) Tablo yöntemi: ilişkiyi görselleştir

4) Orantıyı “tek satır” kontrolüyle kur

TYT & AYT - Oran-Orantı - 3.Sayfa

Doğru Orantı: Tanım, Özellikler ve Matematiksel Model

1) Doğru orantı nedir?

2) Günlük hayat örneği

3) Doğru orantının matematiksel modeli

4) Doğru orantı problemi çözümü

TYT & AYT - Oran-Orantı - 4.Sayfa

Ters Orantı: Tanım, Mantık ve Matematiksel Model

1) Ters orantı nedir?

2) Günlük hayat örneği

3) Matematiksel model

4) Ters orantı problemi çözümü

TYT & AYT - Oran-Orantı - 5.Sayfa

Doğru ve Ters Orantının Grafiksel Yorumu

1) Doğru orantının grafiği

2) Ters orantının grafiği

3) Grafik yorum mantığı

4) Grafik yorum örneği

TYT & AYT - Oran-Orantı - 6.Sayfa

Doğru ve Ters Orantıyı Ayırt Etme Teknikleri

1) Sabit oran testi (Doğru orantı kontrolü)

2) Sabit çarpım testi (Ters orantı kontrolü)

3) Doğru ve ters orantının karşılaştırılması

TYT & AYT - Oran-Orantı - 7.Sayfa

Çok Adımlı Doğru Orantı Problemleri

1) Çok adımlı problemlerde temel strateji

2) Örnek Problem: Üretim Problemi

3) Örnek Problem: Yol ve hız ilişkisi

4) Kritik teknik: birim yöntemi her zaman çalışır

TYT & AYT - Oran-Orantı - 8.Sayfa

Çok Adımlı Ters Orantı Problemleri

1) Ters orantıda temel ilke

2) Örnek Problem: İşçi Sayısı ve Süre

3) Örnek Problem: Hız ve Süre

4) Kritik teknik: sabit çarpım yaklaşımı

TYT & AYT - Oran-Orantı - 9.Sayfa

Doğru ve Ters Orantının Birlikte Kullanıldığı Problemler

1) Karma orantının temel mantığı

2) Örnek Problem: İşçi ve Gün ve Saat

3) Örnek Problem: Makine Problemi

4) Kritik teknik: tüm değişkenleri çarp

TYT & AYT - Oran-Orantı - 10.Sayfa

Sabit Büyüklük Problemlerinde Oran-Orantı Kullanımı

1) Sabit iş prensibi

2) Örnek: İşçi Problemi

3) Sabit yol prensibi

4) Örnek: Hız Problemi