TYT & AYT - Oran-Orantı - 11.Sayfa
Zor Seviye Oran-Orantı: Karma Mantık ve Hızlı Kurulum
Bu sayfada birden fazla değişkenin aynı anda değiştiği zor seviye sorularda “tek denklemde kurulum” ve “çarpan analizi” yaklaşımını öğreneceksin.
1) Çarpan analizi (factor method) ile hızlı kurulum
Bazı sorularda “önce 1 birim” yolu uzun sürer. Bunun yerine değişim katsayılarını kullanırsın. Mantık şudur: Sonuç bazı değişkenlerle doğru, bazılarıyla ters orantılıysa her değişim sonuç üzerinde bir çarpan etkisi oluşturur.
Örnek fikir: “Zaman” işçi sayısıyla ters orantılıysa işçi sayısını 2 katına çıkarmak zamanı yarıya indirir.
2) Zor Problem: İşçi + Saat + Verim (karma)
12 işçi günde 6 saat çalışarak bir işi 15 günde bitiriyor. İşçilerin verimi %25 artıyor ve günde 8 saat çalışıyorlar. Aynı işi 10 işçi kaç günde bitirir?
İş sabit: İşçi · Saat · Gün · Verim çarpımı sabit kabul edilir.
(Verim %25 artınca verim çarpanı 1.25 olur.)
Buradan x bulunur.
Bu tarz sorularda amaç: tüm etkileri tek eşitlikte toplamak ve doğru/ters ilişkileri karıştırmamaktır.
- İşçi: 12 → 10 (azaldı) → gün artma eğiliminde
- Saat: 6 → 8 (arttı) → gün azalma eğiliminde
- Verim: %25 arttı → gün azalma eğiliminde
3) Zor Problem: Karışımda oran (miktar-oran ilişkisi)
Şeker oranı %20 olan 30 litrelik bir karışıma, şeker oranı %50 olan karışımdan ekleniyor. Son karışımın şeker oranı %30 olursa, %50’lik karışımdan kaç litre eklenmiştir?
“Saf şeker miktarı” üzerinden oran kurulur. Bu tip sorularda: (oran) · (miktar) mantığı kullanılır.
Burada oranlar yüzde olduğu için önce “şeker miktarı” düşünülür; sonra toplam hacme göre yeni oran kontrol edilir. (Devam sayfalarında bu konunun en hızlı çözüm şablonunu çıkaracağız.)
Karışım sorularında iki farklı oran birleşiyorsa, genelde “ağırlıklı ortalama” fikri gizlidir. Yeni oran, eski iki oranın arasında bir yerde olur.
4) Hızlı kurulum şablonu (karma iş soruları)
İş sabitse şu yapı çok kullanılır:
İşçi · Saat · Gün · Verim = Sabit
Bu çarpım eşitliğini iki durum için yazıp bilinmeyeni bulursun.
Sonraki sayfada karışım (ağırlıklı ortalama) sorularını tam çözüm şablonuyla bitirecek, ardından “orantı zinciri” ve “oran bölme” gibi zor tekniklere geçeceğiz.
TYT & AYT - Oran-Orantı - 12.Sayfa
Karışım Problemlerinde Oran-Orantı ve Ağırlıklı Ortalama
Bu sayfada karışım problemlerini oran-orantı kullanarak hızlı ve sistemli çözmenin temel yöntemini öğreneceksin.
1) Karışım problemlerinin temel prensibi
Karışım problemlerinde en önemli fikir şudur:
Saf madde miktarı korunur.
Yani karışımdaki saf bileşen miktarlarının toplamı, yeni karışımdaki saf bileşen miktarına eşittir.
2) Matematiksel model
Saf madde miktarı şu şekilde hesaplanır:
Bu ilişki tüm karışım sorularının temelidir.
3) Örnek: Tuzlu su karışımı
%20 tuz içeren 40 litrelik suya, %50 tuz içeren çözeltiden x litre ekleniyor. Yeni karışımın oranı %30 oluyor. x kaçtır?
İlk karışımdaki tuz:
Eklenen tuz:
Yeni toplam tuz:
Yeni toplam hacim:
4) Ağırlıklı ortalama yöntemi
Yeni oran her zaman eski oranların arasında olur:
Bu, çözümün doğruluğunu kontrol etmek için güçlü bir yöntemdir.
- Saf madde miktarını ayrı hesapla
- Toplam hacmi ayrı hesapla
- Yeni oranı eşitle
Sonraki sayfada oran bölme (parçalama) ve paylaştırma problemlerini çözeceğiz.
TYT & AYT - Oran-Orantı - 13.Sayfa
Oran Kullanarak Paylaştırma Problemleri
Bu sayfada bir miktarın verilen oranlara göre nasıl bölüştürüldüğünü ve bu tür problemlerin sistemli çözüm yöntemini öğreneceksin.
1) Paylaştırma problemlerinin temel prensibi
Bir toplam miktar, verilen oranlara göre bölünüyorsa her parça oranın büyüklüğü ile doğru orantılıdır.
Örnek oran:
2) Toplam oran değeri bulunur
Önce oranların toplamı hesaplanır:
Toplam oran değeri 10'dur.
3) Örnek Problem
600 TL, A, B ve C arasında 2 : 3 : 5 oranında paylaştırılıyor. Her biri kaç TL alır?
1 oran birimi:
A'nın payı:
B'nin payı:
C'nin payı:
4) Kontrol
- Önce oranların toplamını bul
- Toplam miktarı bu sayıya böl
- Her oran ile çarp
Sonraki sayfada oran ile yaş problemleri ve zor sınav tipi uygulamalara geçeceğiz.
TYT & AYT - Oran-Orantı - 14.Sayfa
Oran Kullanılarak Yaş Problemlerinin Çözümü
Bu sayfada yaşlar arasındaki oran ilişkisini kullanarak geçmiş, şimdiki ve gelecek yaş problemlerini çözeceksin.
1) Yaş problemlerinin temel prensibi
Yaş problemlerinde en önemli kural şudur:
Yaş farkı sabittir.
Çünkü her yıl herkesin yaşı aynı miktarda artar.
2) Yaş oranı zamanla değişir
Örnek olarak A ve B'nin yaş oranı şu an:
5 yıl sonra:
3) Örnek Problem
A ve B'nin yaş oranı 2 : 3'tür. Yaş farkları 10 olduğuna göre yaşları kaçtır?
Yaşlar:
A'nın yaşı:
B'nin yaşı:
4) Gelecek yaş problemi örneği
5 yıl sonra yaş oranı şu şekilde olur:
- Yaş farkı sabittir
- Oran varsa x ile ifade et
- Denklem kur ve çöz
Sonraki sayfada oran-orantının en zor olimpiyat tipi sorularına geçeceğiz.
TYT & AYT - Oran-Orantı - 15.Sayfa
Çok Zor Oran-Orantı Teknikleri: Orantı Zinciri ve Oran Bölme
Bu sayfada klasik doğru/ters orantının ötesine geçip çok adımlı “zincir” ilişkilerini ve oran bölme (bileşik oran) mantığını öğreneceksin.
1) Orantı zinciri (chain ratio) nedir?
Bazen birden çok oran bilgisi ayrı ayrı verilir ve bu oranları “zincir” gibi birleştirerek tek bir orana indirgersin. Örneğin: A:B ve B:C verilmiş olabilir. Amaç: A:B:C oranını bulmaktır.
Temel fikir: Ortak harfi eşitle ve birleştir.
2) Örnek: Zincir oranı tek orana çevirme
A:B = 2:3 ve B:C = 4:5 ise A:C oranı kaçtır?
Ortak olan B’yi eşitleyelim. İlk oranda B = 3 birim, ikinci oranda B = 4 birim. Bu yüzden ilk oranı 4 ile, ikinci oranı 3 ile genişletiriz.
A:B = 2:3 → 8:12
B:C = 4:5 → 12:15
Böylece A:B:C = 8:12:15 olur ve A:C = 8:15 bulunur.
3) Oran bölme (bileşik oran) mantığı
“Oran bölme” ifadesi genelde şu durumu anlatır: Elinde A:B ve A:C gibi iki oran vardır. Buradan B:C oranını üretmek istersin.
Temel fikir: A ortaksa, A’yı aynı yapıp diğerlerini karşılaştır.
4) Örnek: A ortaksa B:C oranını bulma
A:B = 3:5 ve A:C = 6:7 ise B:C kaçtır?
A’yı eşitleyelim. İlk oranda A = 3 birim, ikinci oranda A = 6 birim. İlk oranı 2 ile genişletiriz:
A:B = 3:5 → 6:10
A:C = 6:7 → 6:7
A aynı olduğuna göre B ve C doğrudan karşılaştırılır: B:C = 10:7
- Ortak harf var mı? (A veya B gibi)
- Ortak harfi eşitleyip oranları genişlettin mi?
- Sonra tek bir üçlü oran (A:B:C) kurabildin mi?
Sonraki sayfada “oranla sayı bulma” ve “parça-bütün” ilişkisiyle çıkan çok zor TYT/AYT sorularına geçeceğiz.
TYT & AYT - Oran-Orantı - 16.Sayfa
Oran Kullanarak Sayı Bulma: Parça – Bütün Tekniği
Bu sayfada bir bütünün oranlara göre bölündüğü durumlarda bilinmeyen sayıları doğrudan bulma yöntemini öğreneceksin.
1) Parça – bütün mantığı
Bir sayı oranlara göre bölünmüşse, bu sayı şu şekilde ifade edilir:
2) Örnek Problem
Bir sayı 2 : 3 : 5 oranında bölünüyor. En büyük parça 50 olduğuna göre toplam sayı kaçtır?
Parçalar:
3) Toplam sayı
- Oranı x ile ifade et
- Verilen parçadan x bulunur
- Toplam kolayca hesaplanır
Sonraki sayfada oran-orantı konusunun en zor kombinasyon sorularına geçeceğiz.
TYT & AYT - Oran-Orantı - 17.Sayfa
Zor Sınav Tipi: Zincir Oran + Toplam / Fark Koşulları
Bu sayfada oranların art arda verildiği ve ayrıca toplam/fark gibi bir koşul eklendiği soruları tek bir sistemle çözmeyi öğreneceksin.
1) Genel strateji: üçlü oran kur, sonra x ata
- A:B ve B:C gibi oranları birleştirip A:B:C elde et.
- Bulduğun üçlü oranı ax, bx, cx şeklinde yaz.
- Toplam veya fark koşulunu denklem yap ve x’i bul.
2) Örnek: Zincir oran + toplam
A:B = 3:4 ve B:C = 5:6. A + B + C = 93 ise A kaçtır?
B’yi eşitleyelim. İlk oranda B = 4, ikinci oranda B = 5. İlk oranı 5 ile, ikinci oranı 4 ile genişletiriz.
A:B = 3:4 → 15:20
B:C = 5:6 → 20:24
A:B:C = 15:20:24
O halde:
Toplam:
Bu noktada x’i bulup A = 15x hesaplanır.
3) Örnek: Zincir oran + fark
A:B = 2:5 ve B:C = 3:4. C − A = 52 ise B kaçtır?
B’yi eşitleyelim. İlk oranda B = 5, ikinci oranda B = 3. İlk oranı 3 ile, ikinci oranı 5 ile genişletiriz.
A:B = 2:5 → 6:15
B:C = 3:4 → 15:20
A:B:C = 6:15:20
O halde:
Fark:
x bulununca B = 15x hesaplanır.
Zincir oran kurarken yalnızca bir oranı genişletip diğerini genişletmeyi unutmak, B’yi eşitlemeyi bozar. Mutlaka iki oranı da ortak terimi aynı sayıya getirecek şekilde genişlet.
Sonraki sayfada “orantı ile denklem kurma” (bilinmeyen sayılar, iki koşullu problemler) ve TYT’nin en sık tuzaklarına geçeceğiz.
TYT & AYT - Oran-Orantı - 18.Sayfa
Oran Kullanarak Denklem Kurma ve Bilinmeyen Bulma
Bu sayfada verilen oran bilgilerini kullanarak bilinmeyen sayıları bulmayı ve çok koşullu problemleri çözmeyi öğreneceksin.
1) Oranı bilinmeyenle ifade etme
Eğer iki sayı oran olarak verilmişse, bu sayılar x cinsinden yazılır:
Bu durumda:
2) Örnek: Toplam verilen problem
İki sayının oranı 3 : 7'dir. Bu sayıların toplamı 80 olduğuna göre sayılar kaçtır?
3) Sayıları bulma
Birinci sayı:
İkinci sayı:
4) Fark verilen problemler
Eğer fark verilmişse:
- Oranı x ile ifade et
- Verilen koşula göre denklem kur
- x bulununca tüm sayılar bulunur
Sonraki sayfada oran-orantı konusunun en zor sınav sorularının genel tekrarını yapacağız.
TYT & AYT - Oran-Orantı - 19.Sayfa
Oran–Orantı Genel Tekrar: Sınavda Kazandıran 10 Kural
Bu sayfada oran-orantı konusunun tamamını sınav bakışıyla özetleyecek ve en sık gelen tuzakları netleştireceksin.
1) Doğru mu ters mi? Önce test et
- Oran sabitse → doğru orantı
- Çarpım sabitse → ters orantı
2) İş/Yol/Üretim sabitse “çarpım” yaklaşımı
İş sabitse: işçi · saat · gün (ve varsa verim) sabit düşünülür.
3) “Birim yöntem” en güvenli çözümdür
Çok adımlı sorularda önce 1 birimi bul, sonra hedefi bul.
4) Paylaştırmada toplam oranı unutma
Toplam oran = a + b + c. Toplam miktarı bu sayıya böl, sonra her oranla çarp.
5) Zincir oranlarda ortak harfi eşitle
A:B ve B:C verildiyse B aynı olacak şekilde genişlet.
6) Karışımda saf madde korunur
Saf = oran · miktar. Yeni oran eski oranların arasında olmalıdır.
7) Yaş problemlerinde fark sabittir
Oran değişebilir ama yaş farkı değişmez.
8) Oranla sayı bulmada “x” tekniği
3:7 ise sayılar 3x ve 7x’tir. Toplam/fark koşulundan x bulunur.
9) Hızlı kontrol: büyüklük artınca ne olur?
- Doğru orantıda biri artarsa diğeri artar
- Ters orantıda biri artarsa diğeri azalır
10) Son adım: mantık kontrolü
Sonuç, sorunun “artış-azalış” mantığıyla uyumlu mu? (İşçi artarsa gün azalmalı gibi)
Mini Deneme (Kendini Test Et)
1) A:B = 4:7, A + B = 99 ise A kaçtır?
2) 9 işçi bir işi 20 günde bitiriyor. 12 işçi kaç günde bitirir?
3) %30 tuzlu 20 L karışıma %10 tuzlu karışımdan x L ekleniyor. Yeni oran %25 oluyor. x kaçtır?
(Cevaplarını bulduktan sonra bir sonraki sayfada kısa çözümlerle kontrol edeceğiz.)
Sonraki sayfada mini denemenin çözümlerini ve son kapanış özetini vereceğiz.
TYT & AYT - Oran-Orantı - 20.Sayfa
Oran-Orantı Final Tekrarı ve Mini Deneme Çözümleri
Bu sayfada önceki sayfada verilen mini denemenin çözümlerini inceleyerek konuyu tamamen pekiştireceksin.
Soru 1 Çözüm
A:B = 4:7, A + B = 99
Soru 2 Çözüm
9 işçi → 20 gün 12 işçi → x gün
Ters orantı:
Soru 3 Çözüm
Saf tuz korunur.
Denklem çözülerek x bulunur.
Oran-Orantı Konusu Tamamlandı
- Doğru orantı
- Ters orantı
- İş problemleri
- Karışım problemleri
- Paylaştırma problemleri
- Yaş problemleri
- Zincir oran problemleri
- Sınav seviyesi zor problemler
Artık oran-orantı konusundaki tüm soru tiplerini çözebilecek seviyedesin.