1. bölüm

TYT & AYT - EBOB-EKOK - 1.Sayfa

EBOB-EKOK - 1. Sayfa

Lise • TYT • AYT

EBOB ve EKOK’a Giriş: Temel Kavramlar

Bu sayfada EBOB (En Büyük Ortak Bölen) ve EKOK (En Küçük Ortak Kat) kavramlarının ne ifade ettiğini, neden önemli olduklarını ve en sık karşılaşılan temel kuralları öğreneceksin.

Neden EBOB–EKOK?

EBOB, ortak “bölme” sorularında (parça sayısı, eşit paylaştırma, paketleme) sık çıkar.
EKOK, ortak “zaman/tekrar” sorularında (aynı anda olma, periyot, düzenli çalışma) ana araçtır.
TYT’de kısa işlem + mantık; AYT’de daha çok “asal çarpanlar ve üsler” ile hızlı sonuç beklenir.

1) Tanımlar

EBOB (En Büyük Ortak Bölen)

İki (veya daha fazla) sayıyı tam bölen ortak bölenler arasında en büyük olan sayıdır.

Gösterim: EBOB(a, b)

EKOK (En Küçük Ortak Kat)

İki (veya daha fazla) sayının ortak katları arasında en küçük pozitif olan sayıdır.

Gösterim: EKOK(a, b)

2) Hızlı Sezgi: “Bölen” mi “Kat” mı?

EBOB Paylaştırma / paketleme gibi “en büyük eşit parça” soruları → ortak bölen aranır.

EKOK Birlikte tekrar / aynı anda gibi “ilk ortak zaman” soruları → ortak kat aranır.

İpucu: “En büyük eşit bölme” zihniyeti → EBOB. “İlk ortak buluşma” zihniyeti → EKOK.

3) Temel Özellikler

EBOB(a, b) her zaman a ve b’yi böler.
EKOK(a, b) her zaman a ve b’nin katıdır.
Eğer a sayısı b’yi bölüyorsa: EBOB(a, b) = b ve EKOK(a, b) = a.
Ardışık iki sayının EBOB’u 1’dir.

Önemli ilişki (iki sayı için): EBOB(a, b) · EKOK(a, b) = a · b

Bu eşitliği özellikle hızlı EKOK bulmada sık kullanacaksın.

4) Mini Örnek (Temel Seviye)

Sayılar: 12 ve 18

Ortak bölenleri düşün: 12’nin bölenleri arasında 1, 2, 3, 6, 12… 18’in bölenleri arasında 1, 2, 3, 6, 9, 18…

En büyük ortak bölen: EBOB(12, 18) = 6

En küçük ortak kat: EKOK(12, 18) = 36

Kontrol: 36, 12’nin katıdır (12·3) ve 18’in katıdır (18·2).

5) Asal Çarpan Mantığına Hazırlık (Bir Sonraki Sayfa İçin)

EBOB–EKOK’un en hızlı yolu çoğu zaman asal çarpanlara ayırmadır. Bir sonraki sayfada “üs mantığı” ile EBOB ve EKOK’u tek bakışta çıkaracağız.

Örnek fikir: 36 sayısı asal çarpanlarla şöyle yazılır:

36 = 2^{2} \cdot 3^{2}

Burada üsler (2 ve 2) sonraki sayfalarda EBOB/EKOK seçiminde kritik rol oynayacak.

2. bölüm

TYT & AYT - EBOB-EKOK - 2.Sayfa

EBOB-EKOK - 2. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Asal Çarpanlara Ayırma ile EBOB ve EKOK

EBOB ve EKOK hesaplamanın en güçlü ve sistematik yöntemi asal çarpanlara ayırmadır. Bu yöntem TYT ve AYT’de en sık kullanılan tekniktir.

1) Asal Çarpan Nedir?

Bir sayının yalnızca asal sayılar kullanılarak çarpım şeklinde yazılmasına asal çarpanlarına ayırma denir.

Örnek:

24 = 2^{3} \cdot 3

Burada 2 ve 3 asal çarpanlardır.

2) İki Sayıyı Asal Çarpanlara Ayıralım

Sayılar: 36 ve 48

36 = 2^{2} \cdot 3^{2}

48 = 2^{4} \cdot 3

3) EBOB Bulma Mantığı

EBOB bulunurken ortak asal çarpanların küçük üslü olanı alınır.

Ortak asal çarpanlar:

2 → üsler: 2 ve 4 → küçük olan 2 alınır
3 → üsler: 2 ve 1 → küçük olan 1 alınır

EBOB (36, 48) = 2^{2} \cdot 3

= 12

4) EKOK Bulma Mantığı

EKOK bulunurken tüm asal çarpanların büyük üslü olanı alınır.

2 → büyük üs: 4
3 → büyük üs: 2

EKOK (36, 48) = 2^{4} \cdot 3^{2}

= 144

5) Altın Kural (Çok Önemli)

EBOB → küçük üs alınır
EKOK → büyük üs alınır

3. bölüm

TYT & AYT - EBOB-EKOK - 3.Sayfa

EBOB-EKOK - 3. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Üç ve Daha Fazla Sayı için EBOB ve EKOK

EBOB ve EKOK yalnızca iki sayı için değil, üç veya daha fazla sayı için de hesaplanabilir. Mantık aynıdır: asal çarpanlar bulunur ve üs seçimi yapılır.

1) Genel Kural

EBOB → ortak asal çarpanların en küçük üssü alınır.
EKOK → tüm asal çarpanların en büyük üssü alınır.
Tüm sayılarda bulunmayan asal çarpanlar EBOB’a girmez.

2) Örnek: 24, 36 ve 60 Sayıları

Asal çarpanlara ayıralım:

24 = 2^{3} \cdot 3

36 = 2^{2} \cdot 3^{2}

60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5

3) EBOB Hesaplama

Ortak asal çarpanlar:

2 → üsler: 3, 2, 2 → küçük olan: 2
3 → üsler: 1, 2, 1 → küçük olan: 1

5 ortak değildir, bu nedenle alınmaz.

EBOB (24, 36, 60) = 2^{2} \cdot 3

= 12

4) EKOK Hesaplama

Tüm asal çarpanların en büyük üsleri alınır:

2 → en büyük üs: 3
3 → en büyük üs: 2
5 → en büyük üs: 1

EKOK (24, 36, 60) = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5

= 360

5) Kritik Gözlem

Sayı arttıkça mantık değişmez. Sadece tüm sayılar birlikte incelenir.

EBOB → tüm sayılarda ortak olan asal çarpanlar

EKOK → tüm asal çarpanların birleşimi

4. bölüm

TYT & AYT - EBOB-EKOK - 4.Sayfa

EBOB-EKOK - 4. Sayfa

Lise • TYT • AYT

EBOB–EKOK Çarpım İlişkisi ve Hızlı Hesap

İki sayı için en güçlü kestirme: EBOB · EKOK = a · b. Bu sayfada ilişkiyi doğru kullanmayı ve hangi durumda işe yaradığını öğreneceksin.

1) İlişki Ne Söyler?

a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere:

EBOB (a, b) \cdot EKOK (a, b) = a \cdot b

Bu eşitlik yalnızca iki sayı için “doğrudan” kullanılır. (Üç ve daha fazla sayı için böyle basit bir çarpım formülü genelde yoktur.)

2) Hızlı EKOK Bulma (EBOB Biliniyorsa)

Eğer EBOB(a,b) biliniyorsa:

EKOK (a, b) = a \cdot b / EBOB (a, b)

Burada bölme işlemini MathML kesirle yazmıyoruz; işlem mantığını metin + sembol ile gösteriyoruz.

Örnek: a=18, b=30 için EBOB(18,30)=6 olsun.

EKOK(18,30) = (18 · 30) / 6

18 · 30 = 540, 540 / 6 = 90

EKOK (18, 30) = 90

3) Hızlı EBOB Bulma (EKOK Biliniyorsa)

Aynı eşitlik tersten de çalışır:

EBOB (a, b) = a \cdot b / EKOK (a, b)

Bu tür sorular bazen “bilinmeyen EBOB/EKOK” içeren TYT problemlerinde gelir.

4) Sık Yapılan Hata: EBOB ile EKOK’u Karıştırmak

EBOB her zaman sayıların her birinden küçük veya eşit olur.
EKOK her zaman sayıların her birinden büyük veya eşit olur.
Eğer bulunan sonuç bu sezgiye uymuyorsa hesaplama tekrar kontrol edilmelidir.

Kontrol sorusu: Bulduğun EBOB, sayılardan birinden büyük çıktıysa kesin hata vardır.

5. bölüm

TYT & AYT - EBOB-EKOK - 5.Sayfa

EBOB-EKOK - 5. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Öklid Algoritması ile EBOB Bulma

Büyük sayılar için asal çarpanlara ayırmak zor olabilir. Bu durumda en hızlı ve güçlü yöntem Öklid algoritmasıdır.

1) Algoritmanın Temel Mantığı

Temel fikir:

İki sayı için:

EBOB (a, b) = EBOB (b, kalan)

Yani büyük sayı küçük sayıya bölünür. Sonra küçük sayı ile kalan kullanılır. Bu işlem kalan sıfır olana kadar devam eder.

2) Örnek: EBOB(84, 30)

Adım 1:

84 ÷ 30 = 2, kalan 24

84 = 30 \cdot 2 + 24

Adım 2:

30 ÷ 24 = 1, kalan 6

30 = 24 \cdot 1 + 6

Adım 3:

24 ÷ 6 = 4, kalan 0

24 = 6 \cdot 4

3) Sonuç

Son sıfır olmayan kalan EBOB’tur.

EBOB (84, 30) = 6

4) Neden Çok Önemli?

Büyük sayılar için çok hızlıdır
Asal çarpanlara ayırma gerektirmez
AYT ve TYT’de sık kullanılır
Bilgisayarlar da bu yöntemi kullanır

5) EKOK ile Birlikte Kullanımı

Önce EBOB bulunur, sonra EKOK hesaplanır.

Örnek:

EKOK(84,30) = (84 · 30) / 6

EKOK = 420

6. bölüm

TYT & AYT - EBOB-EKOK - 6.Sayfa

EBOB-EKOK - 6. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Günlük Hayatta EBOB Kullanımı (Paylaştırma Problemleri)

EBOB en çok “eşit ve en büyük şekilde paylaştırma” sorularında kullanılır. Bu tür sorular TYT’de klasik problem tiplerinden biridir.

1) Temel Mantık

Eğer bir şey eşit ve en büyük şekilde bölünecekse:

Kullanılacak sayı:

EBOB (a, b)

Çünkü en büyük eşit parçayı verir.

2) Örnek: Çubuk Problemi

Uzunlukları:

48 cm
60 cm

Bu çubuklar eşit ve en büyük uzunlukta kesilecektir.

Kullanılacak uzunluk:

EBOB (48, 60) = 12

Her parça 12 cm olur.

3) Parça Sayısını Bulma

48 cm çubuk:

48 ÷ 12 = 4 parça

60 cm çubuk:

60 ÷ 12 = 5 parça

Toplam parça sayısı:

4 + 5 = 9 parça

4) Genel Problem Modeli

Eğer eşit ve en büyük parçalar isteniyorsa:

EBOB kullanılır
Parça uzunluğu = EBOB
Parça sayısı = sayı ÷ EBOB

5) Gerçek Hayat Örnekleri

Kumaş kesme
Kablo kesme
Çit yerleştirme
Paketleme
Eşit gruplara ayırma

7. bölüm

TYT & AYT - EBOB-EKOK - 7.Sayfa

EBOB-EKOK - 7. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Günlük Hayatta EKOK (Zaman ve Tekrar Problemleri)

EKOK en çok “aynı anda olma” ve “ilk ortak tekrar” problemlerinde kullanılır. Bu sayfada periyot mantığını netleştirip EKOK’u doğru seçmeyi öğreneceksin.

1) Periyot ve “İlk Ortak Zaman”

Bir iş belirli aralıklarla tekrar ediyorsa bu aralığa periyot denir. İki farklı periyot aynı anda kesiştiğinde “ilk ortak zaman” ortaya çıkar.

Bu ilk ortak zaman:

EKOK (p, q)

p ve q burada dakika, gün, tur sayısı gibi birimler olabilir.

2) Örnek: Zil Problemi

Bir zil 6 dakikada bir, başka bir zil 8 dakikada bir çalıyor. İkisi birlikte çaldıktan sonra yeniden ilk kez ne zaman birlikte çalar?

Cevap:

EKOK (6, 8) = 24

Yani 24 dakika sonra birlikte çalarlar.

3) Neden EKOK Kullanıyoruz?

Çünkü 24 sayısı hem 6’nın hem 8’in katıdır:

24 = 6 · 4
24 = 8 · 3

Daha küçük bir ortak kat yoktur. Bu nedenle “ilk” birlikte çalma 24’te olur.

4) Çoklu Tekrar Problemi Mantığı

Üç kişi düzenli aralıklarla aynı yerde buluşuyor:

1. kişi: 12 günde bir
2. kişi: 18 günde bir
3. kişi: 30 günde bir

Üçü birlikte buluşma aralığı:

EKOK(12,18,30)

Üçlü EKOK, önce iki sayının EKOK’u bulunup sonra üçüncüyle tekrar EKOK alınarak hesaplanır: EKOK(EKOK(12,18),30)

5) Hızlı Ayırt Etme

“Birlikte ilk kez” → EKOK
“Eşit ve en büyük parça” → EBOB
“Tekrar aralığı” → EKOK
“Bölme/paketleme” → EBOB

8. bölüm

TYT & AYT - EBOB-EKOK - 8.Sayfa

EBOB-EKOK - 8. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Asal Çarpan Tablosu ile Hızlı EBOB ve EKOK

Bu yöntem özellikle TYT ve AYT’de çok hızlı işlem yapmak için kullanılır. Sayılar aynı anda asal sayılara bölünerek tablo oluşturulur.

1) Yöntemin Temel Mantığı

Sayılar birlikte asal sayılara bölünür:

Ortak bölünen asal sayılar → EBOB
Tüm kullanılan asal sayılar → EKOK

Bu yöntem asal çarpanlara ayırmanın tablo şeklindeki halidir.

2) Örnek: 24 ve 36

24

36

↓ 2 ile böl

12

18

↓ 2 ile böl

6

9

↓ 3 ile böl

2

3

↓ 2 ile böl

1

3

↓ 3 ile böl

1

3) EBOB Hesaplama

Ortak bölünen asal sayılar:

2
2
3

EBOB:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

4) EKOK Hesaplama

Tüm asal sayılar:

2
2
3
2
3

EKOK:

2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 = 72

5) Bu Yöntemin Avantajı

Hızlıdır
Hata riski azdır
Sistemlidir
Sınav için idealdir

9. bölüm

TYT & AYT - EBOB-EKOK - 9.Sayfa

EBOB-EKOK - 9. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Asal Üs Gösterimi ile EBOB ve EKOK’un Genel Formülü

Büyük sayılar için en güçlü matematiksel yöntem, sayıları asal çarpanlarının üsleri cinsinden yazmak ve bu üsleri karşılaştırmaktır.

1) Genel Gösterim

İki sayı asal çarpanlarıyla şöyle yazılır:

a = 2^{x} \cdot 3^{y} \cdot 5^{z}

b = 2^{m} \cdot 3^{n} \cdot 5^{k}

Burada x, y, z, m, n, k asal sayıların üsleridir.

2) EBOB Formülü

EBOB bulunurken üslerin küçük olanı alınır:

EBOB (a, b) = 2^{\min} \cdot 3^{\min} \cdot 5^{\min}

Yani her asal sayı için küçük üs seçilir.

3) EKOK Formülü

EKOK bulunurken üslerin büyük olanı alınır:

EKOK (a, b) = 2^{\max} \cdot 3^{\max} \cdot 5^{\max}

Yani her asal sayı için büyük üs seçilir.

4) Sayısal Örnek

72 = 2^{3} \cdot 3^{2}

48 = 2^{4} \cdot 3

EBOB:

2^{3} \cdot 3 = 24

EKOK:

2^{4} \cdot 3^{2} = 144

5) Özet Kural

EBOB → küçük üs
EKOK → büyük üs
Bu yöntem en güvenilir yöntemdir

10. bölüm

TYT & AYT - EBOB-EKOK - 10.Sayfa

EBOB-EKOK - 10. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Aralarında Asal Sayılar ve Özel Durumlar

Bazı sayı çiftleri için EBOB çok küçüktür (genelde 1). Bu durum soruları ciddi şekilde hızlandırır. Bu sayfada “aralarında asal” kavramını ve sık özel durumları öğreneceksin.

1) Aralarında Asal Ne Demek?

İki sayının ortak böleni yalnızca 1 ise bu sayılara aralarında asal denir.

EBOB (a, b) = 1

Bu ifade doğruysa a ve b aralarında asaldır.

2) En Kritik Sonuç: EKOK = a · b

Eğer EBOB(a,b)=1 ise:

EKOK (a, b) = a \cdot b

Çünkü EBOB·EKOK=a·b ve EBOB=1 olursa EKOK direkt çarpıma eşit olur.

3) Örnekler

8 ve 15 aralarında asaldır. Çünkü 8’in bölenleri 1,2,4,8; 15’in bölenleri 1,3,5,15 ve ortak olan yalnızca 1’dir.

EBOB (8, 15) = 1, EKOK (8, 15) = 120

Çünkü 8 · 15 = 120.

Ardışık iki sayı her zaman aralarında asaldır:

EBOB (n, n + 1) = 1

Bu kural TYT’de “ardışık” geçen problemlerde çok hızlı avantaj sağlar.

4) Sık Özel Durumlar

a sayısı b’yi bölüyorsa: EBOB(a,b)=b ve EKOK(a,b)=a.
a asal ve b onun katı değilse: genellikle EBOB=1 olur.
Sayılardan biri 1 ise: EBOB(1,b)=1 ve EKOK(1,b)=b.

5) Hızlı Kontrol Tekniği

Aralarında asal olabilecek sayılarda:

EBOB’un 1 çıkması çok doğaldır
EBOB 1 çıkarsa EKOK çoğu zaman çarpıma yaklaşır
EKOK sayılardan küçük çıkamaz

EBOB-EKOK Konu Anlatımı

TYT & AYT - EBOB-EKOK - 1.Sayfa

Neden EBOB–EKOK?

1) Tanımlar

EBOB (En Büyük Ortak Bölen)

EKOK (En Küçük Ortak Kat)

2) Hızlı Sezgi: “Bölen” mi “Kat” mı?

3) Temel Özellikler

4) Mini Örnek (Temel Seviye)

5) Asal Çarpan Mantığına Hazırlık (Bir Sonraki Sayfa İçin)

TYT & AYT - EBOB-EKOK - 2.Sayfa

1) Asal Çarpan Nedir?

2) İki Sayıyı Asal Çarpanlara Ayıralım

3) EBOB Bulma Mantığı

4) EKOK Bulma Mantığı

5) Altın Kural (Çok Önemli)

TYT & AYT - EBOB-EKOK - 3.Sayfa

1) Genel Kural

2) Örnek: 24, 36 ve 60 Sayıları

3) EBOB Hesaplama

4) EKOK Hesaplama

5) Kritik Gözlem

TYT & AYT - EBOB-EKOK - 4.Sayfa

1) İlişki Ne Söyler?

2) Hızlı EKOK Bulma (EBOB Biliniyorsa)

3) Hızlı EBOB Bulma (EKOK Biliniyorsa)

4) Sık Yapılan Hata: EBOB ile EKOK’u Karıştırmak

TYT & AYT - EBOB-EKOK - 5.Sayfa

1) Algoritmanın Temel Mantığı

2) Örnek: EBOB(84, 30)

3) Sonuç

4) Neden Çok Önemli?

5) EKOK ile Birlikte Kullanımı

TYT & AYT - EBOB-EKOK - 6.Sayfa

1) Temel Mantık

2) Örnek: Çubuk Problemi

3) Parça Sayısını Bulma

4) Genel Problem Modeli

5) Gerçek Hayat Örnekleri

TYT & AYT - EBOB-EKOK - 7.Sayfa

1) Periyot ve “İlk Ortak Zaman”

2) Örnek: Zil Problemi

3) Neden EKOK Kullanıyoruz?

4) Çoklu Tekrar Problemi Mantığı

5) Hızlı Ayırt Etme

TYT & AYT - EBOB-EKOK - 8.Sayfa

1) Yöntemin Temel Mantığı

2) Örnek: 24 ve 36

3) EBOB Hesaplama

4) EKOK Hesaplama

5) Bu Yöntemin Avantajı

TYT & AYT - EBOB-EKOK - 9.Sayfa

1) Genel Gösterim

2) EBOB Formülü

3) EKOK Formülü

4) Sayısal Örnek

5) Özet Kural

TYT & AYT - EBOB-EKOK - 10.Sayfa

1) Aralarında Asal Ne Demek?

2) En Kritik Sonuç: EKOK = a · b

3) Örnekler

4) Sık Özel Durumlar

5) Hızlı Kontrol Tekniği