1) Bileşke Fonksiyon Nedir?

Bir fonksiyonun çıktısını başka bir fonksiyona girdi yapmak

İki fonksiyon düşünelim:

$f\left(x\right)$

ve

$g\left(x\right)$

Eğer bir fonksiyonun sonucu diğer fonksiyona yazılırsa, buna bileşke fonksiyon denir.

Fonksiyonlar ardışık olarak uygulanır.

2) Bileşke Fonksiyon Gösterimi

Bileşke fonksiyon şu şekilde gösterilir:

$$(f\circ g)\left(x\right)=f\left(g\right(x\left)\right)$$

Önce g(x), sonra f uygulanır.

3) Örnek Hesaplama

Fonksiyonlar:

$$f\left(x\right)=x+3$$ $$g\left(x\right)=2x$$

Bileşke fonksiyonu bulalım:

$$f\left(g\right(x\left)\right)=f\left(2x\right)=2x+3$$

4) Sayısal Bileşke Örneği

x = 2 için hesaplayalım:

$$g\left(2\right)=4$$ $$f\left(4\right)=7$$

Sonuç: (f ∘ g)(2) = 7

Sonraki sayfada ters fonksiyon kavramı anlatılacaktır.

1) Ters Fonksiyon Nedir?

Fonksiyonun yaptığı işlemi geri alan fonksiyon

Bir fonksiyonun yaptığı işlemi geri alan fonksiyona ters fonksiyon denir.

Ters fonksiyon şu şekilde gösterilir:

$f^{-1}\left(x\right)$

Önce f uygulanır, sonra ters fonksiyon uygulanırsa başlangıç değeri elde edilir.

2) Ters Fonksiyonun Temel Özelliği

Bir fonksiyon ve ters fonksiyonu şu özelliği sağlar:

$$f^{-1}\left(f\right(x\left)\right)=x$$

Aynı şekilde:

$$f\left(f^{-1}\right(x\left)\right)=x$$

3) Örnek Ters Fonksiyon Bulma

Verilen fonksiyon:

$f\left(x\right)=2x+3$

y yerine yazalım:

y = 2x + 3

x yalnız bırakılır:

x = (y − 3) / 2

Sonuç:

$f^{-1}\left(x\right)=\frac{x-3}{2}$

4) Grafik Yorumu

Bir fonksiyon ve ters fonksiyonunun grafikleri birbirine simetriktir.

Simetri doğrusu:

$y=x$

Fonksiyon ve ters fonksiyon grafikleri bu doğruya göre simetriktir.

Sonraki sayfada birebir ve örten fonksiyon kavramları anlatılacaktır.

1) Birebir Fonksiyon Nedir?

Farklı girdiler farklı çıktılar üretir

Bir fonksiyonda farklı x değerleri farklı sonuçlar veriyorsa, bu fonksiyona birebir fonksiyon denir.

Matematiksel tanım:

$$f\left(x\right)=f\left(y\right)\Rightarrow x=y$$

Aynı sonucu veren iki girdi varsa, bu girdiler eşit olmalıdır.

2) Birebir Fonksiyon Örneği

Verilen fonksiyon:

$f\left(x\right)=2x+1$

Bu fonksiyon birebirdir çünkü farklı x değerleri farklı sonuç verir.

Örnek hesaplama:

$$f\left(1\right)=3$$ $$f\left(2\right)=5$$

3) Birebir Olmayan Fonksiyon Örneği

Fonksiyon:

$f\left(x\right)=x^2$

Örnek:

$$f\left(2\right)=4$$ $$f(-2)=4$$

Farklı x değerleri aynı sonucu verdiği için birebir değildir.

4) Grafik Üzerinde Birebirlik Testi

Bir fonksiyonun grafiği yatay doğruyu en fazla bir noktada kesiyorsa birebirdir.

Bu duruma yatay doğru testi denir.

$y=c$

Eğer yatay doğru grafiği iki noktada keserse fonksiyon birebir değildir.

Sonraki sayfada örten (surjective) fonksiyon kavramı anlatılacaktır.

1) Örten Fonksiyon Nedir?

Kodomain’deki her eleman en az bir kez “vurulur”

Örten (surjective) fonksiyon, değer kümesindeki (kodomain) her elemanın, tanım kümesinden en az bir elemanın görüntüsü olmasıdır.

Gösterim: f: A → B için “örten” demek:

$$\text{Her}y\text{∈}B\text{için}\text{en az bir}x\text{∈}A\text{vardır ki}f\left(x\right)=y$$

Örtenlik, “görüntü kümesi”nin B’ye eşit olması demektir.

2) Görüntü Kümesi = Kodomain mi?

Örtenlik tam olarak bu eşitliği ister

Her fonksiyonda görüntü kümesi her zaman kodomain’in içindedir:

$$\text{Görüntü}\subseteq B$$

Örten fonksiyon için ise:

$$\text{Görüntü}=B$$

Eğer B’de “hiç görüntüsü olmayan” eleman varsa fonksiyon örten değildir.

3) Örnek: Örten Fonksiyon

A = {1,2,3} ve B = {2,4,6} olsun. f(x) = 2x tanımlayalım.

$$f\left(1\right)=2,f\left(2\right)=4,f\left(3\right)=6$$

Görüntü kümesi {2,4,6} olur ve bu B’ye eşittir.

Bu nedenle fonksiyon örten bir fonksiyondur.

4) Örten Olmayan Örnek ve “Kodomain Seçimi” Uyarısı

A = {1,2,3} ve B = {2,4,6,8} olsun. Yine f(x) = 2x.

$$\text{Görüntü}=\{2,4,6\}\ne B$$

B’deki 8 elemanının hiç görüntüsü yoktur.

Aynı kural (f(x)=2x) ile fonksiyonun “örtenliği”, seçilen kodomain’e göre değişebilir.

Sonraki sayfada birebir ve örten fonksiyonların birlikte sağlandığı “bijektif” kavramına geçilecektir.

1) Bijektif Fonksiyon Nedir?

Hem birebir hem örten olan fonksiyon

Bir fonksiyon aynı anda birebir ve örten ise bu fonksiyona bijektif fonksiyon denir.

Bijektiflik, tanım kümesi ile değer kümesi arasında “tam eşleme” kurar.

Özet:

2) Örnek: Bijektif Fonksiyon

A = {1,2,3} ve B = {4,5,6} olsun. Aşağıdaki eşleme her elemanı tam bir elemana bağlar ve her B elemanı bir kez vurulur.

Bu eşleme hem birebirdir (çıktılar farklı) hem örten (B’nin tamamı kullanıldı).

3) Ters Fonksiyon Ne Zaman Vardır?

Bijektiflik tersin ana koşuludur

Bir fonksiyonun ters fonksiyonunun “fonksiyon” olarak var olabilmesi için genellikle bijektif olması gerekir.

Neden?

Kısaca: Tersin fonksiyon olmasını istiyorsak “tek ve tam” eşleme gerekir.

4) Hızlı Kontrol: “Tersi Var mı?”

Uygulamada şu iki kontrol çok işe yarar:

Sonraki sayfada fonksiyon dönüşümleri (kaydırma, yansıtma, ölçekleme) anlatılacaktır.

1) Temel Grafik Kavramı

Fonksiyon grafikleri dönüşebilir

Bir fonksiyonun grafiği, bazı matematiksel işlemler ile sağa, sola, yukarı veya aşağı kaydırılabilir.

Örnek temel fonksiyon:

$f\left(x\right)=x$

Bu fonksiyonun grafiği orijinden geçen bir doğrudur.

Bu grafik dönüşümler ile yeni grafikler oluşturur.

2) Yukarı ve Aşağı Kaydırma

Eğer fonksiyona sabit bir sayı eklenirse grafik yukarı kayar:

$g\left(x\right)=f\left(x\right)+c$

Eğer çıkarılırsa grafik aşağı kayar:

$g\left(x\right)=f\left(x\right)-c$

Sabit sayı grafiği dikey yönde kaydırır.

3) Sağa ve Sola Kaydırma

Fonksiyon içinde değişiklik yapılırsa grafik yatay kayar:

Sağa kayma:

$g\left(x\right)=f(x-c)$

Sola kayma:

$g\left(x\right)=f(x+c)$

İşaret ters yönde etki eder.

4) Örnek Grafik Kaydırma

Verilen fonksiyon:

$f\left(x\right)=x^2$

Yeni fonksiyon:

$g\left(x\right)={(x-2)}^2$

Bu grafik sağa doğru 2 birim kaymıştır.

Parabolün tepe noktası (0,0)'dan (2,0)'a kayar.

Sonraki sayfada yansıtma ve ölçekleme dönüşümleri incelenecektir.

1) Y Ekseni Göre Yansıma

x yerine −x yazılır

Bir fonksiyonun grafiğini y eksenine göre yansıtmak için x yerine −x yazılır.

Yeni fonksiyon:

$g\left(x\right)=f(-x)$

Grafik yatay eksene göre ters çevrilmiş gibi görünür.

2) X Ekseni Göre Yansıma

Fonksiyon −1 ile çarpılır

Fonksiyon −1 ile çarpılırsa grafik x eksenine göre yansır.

$g\left(x\right)=-f\left(x\right)$

Pozitif değerler negatif olur, negatif değerler pozitif olur.

Grafik dikey olarak ters döner.

3) Dikey Ölçekleme

Fonksiyon sabit ile çarpılır

Fonksiyon sabit bir sayı ile çarpılırsa grafik dikey olarak büyür veya küçülür.

Genel form:

$g\left(x\right)=af\left(x\right)$

Eğer:

$a>1$

Grafik büyür.

$0<a<1$

Grafik küçülür.

4) Örnek Ölçekleme

Verilen fonksiyon:

$f\left(x\right)=x^2$

Yeni fonksiyon:

$g\left(x\right)=2x^2$

Grafik dikey olarak büyür.

Parabol daha dar görünür.

Sonraki sayfada fonksiyonların maksimum ve minimum değerleri incelenecektir.

1) Maksimum ve Minimum Nedir?

Fonksiyonun en büyük veya en küçük değerleri

Bir fonksiyon bazı aralıklarda en büyük (maksimum) ya da en küçük (minimum) değerini alabilir. Özellikle parabol gibi grafiklerde tepe noktası bu açıdan çok önemlidir.

Yukarı açılan parabolde tepe noktası minimum, aşağı açılan parabolde maksimumdur.

Genel parabol:

$f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$

2) Tepe Noktası ile Maksimum–Minimum

Tepe noktasının x değeri:

$$x=-\frac{b}{2a}$$

Bu değer fonksiyonun “dönüm noktası”dır.

Tepe noktası, artan–azalan davranışın değiştiği yerdir.

3) Artan ve Azalan Fonksiyon

x arttıkça f(x) nasıl değişir?

Bir fonksiyonun artan olması, x büyüdükçe f(x)’in de büyümesidir. Azalan olması ise x büyüdükçe f(x)’in küçülmesidir.

Artanlık fikri:

$$\text{Eğer}x<y\text{ise artan fonksiyonda}f\left(x\right)<f\left(y\right)$$

Azalanlık fikri:

$$\text{Eğer}x<y\text{ise azalan fonksiyonda}f\left(x\right)>f\left(y\right)$$

4) Parabolde Artan–Azalan Davranış

Örnek:

$f\left(x\right)=x^2-4x+1$

Tepe noktasının x değeri 2’dir (önceki sayfalardan).

Tepe noktası, davranışın “azalan → artan” biçiminde değiştiği sınırdır.

Sonraki sayfada mutlak değerli ve parçalı fonksiyonlarda maksimum–minimum mantığı derinleştirilecektir.

1) Mutlak Değer Fonksiyonu

Sayının sıfıra uzaklığını ifade eder

Mutlak değer fonksiyonu şu şekilde tanımlanır:

$$\left|x\right|=x\text{,}\text{x ≥ 0 için}$$ $$\left|x\right|=-x\text{,}\text{x < 0 için}$$

Mutlak değer sonucu her zaman sıfır veya pozitiftir.

2) Mutlak Değer Grafiği

Mutlak değer fonksiyonunun grafiği V şeklindedir.

Örnek:

$f\left(x\right)=\left|x\right|$

Örnek değerler:

$$f(-3)=3$$ $$f\left(2\right)=2$$

3) Parçalı Fonksiyon

Farklı aralıklarda farklı kurallar

Parçalı fonksiyon, farklı x değerleri için farklı kurallar içerir.

Örnek:

$$f\left(x\right)=x\text{, x ≥ 0}$$ $$f\left(x\right)=-x\text{, x < 0}$$

4) Minimum Değer Örneği

Mutlak değer fonksiyonunun minimum değeri vardır:

$\left|x\right|\ge 0$

Minimum değer:

$0$

Bu değer x = 0 için elde edilir.

Mutlak değer fonksiyonunun maksimum değeri yoktur.

Sonraki sayfada fonksiyonlar konusu genel tekrar ve özet ile tamamlanacaktır.

1) Fonksiyonun Temel Tanımı

Fonksiyon, tanım kümesindeki her elemanı değer kümesindeki yalnızca bir elemana eşleyen matematiksel ilişkidir.

$f:A\to B$

Fonksiyon gösterimi:

$y=f\left(x\right)$

Her x değeri yalnızca bir y değerine karşılık gelir.

2) Temel Fonksiyon Türleri

Sabit fonksiyon:

$f\left(x\right)=c$

Doğrusal fonksiyon:

$f\left(x\right)=ax+b$

İkinci dereceden fonksiyon:

$f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$

3) Kritik Kavramlar Özeti

Tanım kümesi → Girdi değerleri

Değer kümesi → Olası sonuçlar

Görüntü kümesi → Gerçek sonuçlar

Birebir fonksiyon → Tek eşleme

Örten fonksiyon → Tam eşleme

Bijektif fonksiyon → Hem birebir hem örten

Ters fonksiyon → İşlemi geri alır

4) Grafik Yorumu ve Genel Sonuç

Fonksiyonlar grafik, tablo veya matematiksel ifade ile gösterilebilir.

Grafik üzerindeki her nokta:

$(x,f(x\left)\right)$

Fonksiyonlar matematiğin en temel yapı taşlarından biridir ve ileri konuların temelini oluşturur.

Fonksiyon kavramı cebir, analiz, fizik ve mühendislikte merkezi rol oynar.