1. bölüm

LGS - Köklü Sayılar - 1.Sayfa

Köklü Sayılar - 1. Sayfa

Köklü Sayılar

1. Sayfa: Karekök kavramı ve temel tanım

Köklü sayılar, bir sayının karesini (veya daha genel olarak bir kuvvetini) tersinden düşünmemizi sağlar. LGS’de en sık karekök (2. dereceden kök) ile karşılaşılır.

1) Karekök nedir?

Karekök, karesi alınca verilen sayıyı yapan sayıdır. Yani x sayısının karesi a ise, x sayısı a’nın kareköküdür.

Temel eşitlik:

x^{2} = a

ise

x = \sqrt{a}

2) Karekökün sonucu neden negatif değil?

Karekök sembolü ( √ ) kullanıldığında, çıkan sonuç daima negatif olmayan (0 veya pozitif) değeri ifade eder. Çünkü kare alma işlemi hem pozitifi hem negatifi aynı sonuca götürebilir.

Örnek fikir:

Hem 3’ün karesi hem de −3’ün karesi 9’dur:

3^{2} = 9, {(- 3)}^{2} = 9

Ama karekök işareti “başlıca sonuç” olarak 3’ü verir:

\sqrt{9} = 3

3) Tam kare sayılar

Bir doğal sayının karekökünün doğal sayı çıkması için sayının tam kare olması gerekir. Tam kare sayılar, bir doğal sayının karesiyle elde edilir.

Sık kullanılan tam kareler:

1 = 1², 4 = 2², 9 = 3², 16 = 4², 25 = 5², 36 = 6², 49 = 7², 64 = 8², 81 = 9², 100 = 10²

Örneğin:

\sqrt{16} = 4 \sqrt{81} = 9

4) Kök içinde negatif sayı olur mu?

Önemli:

Ortaokul düzeyinde (reel sayılar içinde) karekökün içi negatif olamaz. Çünkü hiçbir reel sayının karesi negatif çıkmaz.

5) Hızlı kontrol listesi

Bu sayfadan aklında kalsın:

√a ifadesi negatif olmayan sonucu verir.

Tam kare sayıların karekökü doğal sayı çıkar.

Reel sayılarda √(negatif) tanımsız kabul edilir.

Mini Alıştırma

Aşağıdakilerden hangileri tam karedir?

12, 25, 36, 50, 64

İpucu: 1²–10² arası tam kareleri hatırla ve sayıları kontrol et.

2. bölüm

LGS - Köklü Sayılar - 2.Sayfa

Köklü Sayılar - 2. Sayfa

Köklü Sayılar

2. Sayfa: Karekökün yazımı ve okunması

1) Karekök sembolünün matematiksel yazımı

Karekök, köklü sayıların en temel türüdür ve matematikte 2. dereceden kök olarak adlandırılır. Bu nedenle yazımda kök derecesi mutlaka belirtilir.

Genel gösterim:

\sqrt[2]{a}

Bu ifade “a’nın karekökü” şeklinde okunur.

2) Kök içi nedir?

Kök sembolünün içinde yer alan sayıya kök içi denir. Kök içi, karesi alınacak sayıyı temsil eder.

Örnek:

\sqrt[2]{25} = 5

Çünkü 5’in karesi 25’tir.

3) Kök içi birden fazla sembol içerirse

Kök içi tek bir sayıdan oluşmuyorsa, yani toplama, çıkarma veya negatif işaret içeriyorsa, kök içi mutlaka bir bütün olarak düşünülmelidir.

Örnek:

\sqrt[2]{16 + 9}

Burada kök içi, 16 ile 9’un toplamıdır.

4) Negatif ifadeler ve karekök

Karekökün içi negatif olduğunda, ortaokul düzeyinde bu ifade tanımsız kabul edilir. Bu nedenle negatif kök içi özel bir dikkat gerektirir.

Örnek yazım:

\sqrt[2]{- 9}

Bu ifade reel sayılar içinde tanımsızdır.

5) Hızlı özet

Karekök, 2. dereceden köktür ve derecesi yazımla gösterilir.

Kök içi birden fazla terimden oluşuyorsa tek parça olarak düşünülür.

Negatif kök içi, reel sayılarda tanımsızdır.

3. bölüm

LGS - Köklü Sayılar - 3.Sayfa

Köklü Sayılar - 3. Sayfa

Köklü Sayılar

3. Sayfa: Tam kare olmayan sayılar ve yaklaşık değer

1) Tam kare olmayan sayıların karekökü

Her sayının karekökü doğal sayı olmak zorunda değildir. Eğer kök içindeki sayı bir tam kare değilse, karekök sonucu doğal sayı çıkmaz.

Örnek:

\sqrt[2]{2}

2 sayısı tam kare olmadığı için karekökü doğal sayı değildir.

2) Karekökün yaklaşık değeri

Tam kare olmayan sayıların karekökü iki tam kare arasında bulunur. Bu yöntemle karekökün yaklaşık değeri tahmin edilebilir.

Adım adım düşünelim:

4 = 2² ve 9 = 3² olduğuna göre, 2 ile 3 arasındaki bir sayının karesi 4 ile 9 arasındadır.

Bu nedenle:

2 < \sqrt[2]{5} < 3

3) Yaklaşık değerle karşılaştırma

LGS’de köklü ifadelerin yaklaşık değerleri genellikle karşılaştırma sorularında kullanılır.

Örnek karşılaştırma:

Aşağıdaki sayılardan hangisi daha büyüktür?

\sqrt[2]{5}, 2.3

√5 sayısı 2 ile 3 arasında olduğu için 2.3’ten küçüktür.

4) Önemli hatırlatma

Dikkat:

Yaklaşık değer sorularında tam sonuç aranmaz. Sayının hangi iki tam sayı arasında olduğu bilinmesi yeterlidir.

5) Mini alıştırma

Aşağıdaki karekökler hangi iki tam sayı arasındadır?

√6 , √10 , √20

4. bölüm

LGS - Köklü Sayılar - 4.Sayfa

Köklü Sayılar - 4. Sayfa

Köklü Sayılar

4. Sayfa: Kareköklü ifadelerde sadeleştirme

1) Kök içini çarpanlarına ayırma

Karekök içindeki sayı tam kare değilse, bu sayı çarpanlarına ayrılarak sadeleştirilebilir. Amaç, kök içinde tam kare bir çarpan oluşturmaktır.

Temel fikir:

a · b sayısının karekökü alınırken, eğer a bir tam kare ise kök dışına çıkarılabilir.

2) Kök dışına çıkarma

Kök içindeki tam kare çarpan, karekökten çıkarıldığında kök dışına doğal sayı olarak yazılır.

Örnek:

\sqrt[2]{12} = \sqrt[2]{4 \cdot 3}

4 bir tam kare olduğu için kök dışına çıkarılır.

\sqrt[2]{12} = 2 \sqrt[2]{3}

3) Neden sadece tam kareler çıkar?

Çünkü yalnızca tam kare sayıların karekökü doğal sayı verir. Tam kare olmayan çarpanlar kök içinde kalır.

Karşılaştırma:

18 = 9 · 2 olduğuna göre,

\sqrt[2]{18} = 3 \sqrt[2]{2}

4) Sadeleştirme ile ilgili önemli not

Uyarı:

Kök içindeki sayının tamamı tam kare değilse, ifade tamamen kökten kurtulmaz. Bir kısmı mutlaka kök içinde kalır.

5) Mini alıştırma

Aşağıdaki karekökleri sadeleştiriniz:

√8 , √20 , √45

5. bölüm

LGS - Köklü Sayılar - 5.Sayfa

Köklü Sayılar - 5. Sayfa

Köklü Sayılar

5. Sayfa: Karekök içinde çarpma işlemi

1) Kök içinde çarpma kuralı

Karekök içinde bulunan sayıların çarpımı, tek bir karekök altında gösterilebilir. Bu özellik, sadeleştirme işlemlerinde sıkça kullanılır.

Kural:

\sqrt[2]{a} \cdot \sqrt[2]{b} = \sqrt[2]{a \cdot b}

2) Kuralın mantığı

Bu kuralın temelinde çarpmanın değişme ve birleşme özelliği vardır. Karekök içinde yer alan sayılar birlikte düşünüldüğünde, işlem daha sade bir hâl alır.

Örnek:

\sqrt[2]{3} \cdot \sqrt[2]{12} = \sqrt[2]{3 \cdot 12}

Kök içinde çarpma yapılır.

3) Çarpma sonrası sadeleştirme

Çarpma işlemi yapıldıktan sonra, kök içi tam kare içeriyorsa sadeleştirme yapılabilir.

Devam eden örnek:

\sqrt[2]{36} = 6

Çünkü 36 bir tam karedir.

4) Önemli hatırlatma

Dikkat:

Kök içi çarpım yapılmadan sadeleştirme aranırsa, işlem hatalı sonuç verebilir. Önce çarpma, sonra sadeleştirme yapılmalıdır.

5) Mini alıştırma

Aşağıdaki ifadeleri tek kök altında yazınız:

√2 · √8 , √5 · √20

6. bölüm

LGS - Köklü Sayılar - 6.Sayfa

Köklü Sayılar - 6. Sayfa

Köklü Sayılar

6. Sayfa: Kareköklü ifadelerde bölme işlemi

1) Kök içinde bölme kuralı

Karekök içindeki bir bölme işlemi, pay ve payda ayrı ayrı karekök içine alınarak yazılabilir. Bu kural, sadeleştirme yapmayı kolaylaştırır.

Kural:

\sqrt[2]{a / b} = \sqrt[2]{a} / \sqrt[2]{b}

2) Bölme işleminde dikkat edilecek nokta

Bölme işlemi yapılırken, payda sıfır olamaz. Ayrıca payda kök içinde olduğunda, sadeleştirme yapılabiliyorsa tercih edilmelidir.

Örnek:

\sqrt[2]{18 / 2} = \sqrt[2]{18} / \sqrt[2]{2}

3) Bölme sonrası sadeleştirme

Pay ve paydadaki karekökler ayrı ayrı değerlendirildikten sonra, eğer tam kare oluşuyorsa sadeleştirme yapılır.

Devam eden örnek:

\sqrt[2]{18} = 3 \sqrt[2]{2}

Paydadaki karekök 2’ye eşittir.

4) Sonuç hakkında yorum

Uyarı:

Bölme işlemlerinde önce kök içi düzenlenmeli, ardından sadeleştirme yapılmalıdır. Aksi hâlde yanlış sonuç elde edilebilir.

5) Mini alıştırma

Aşağıdaki ifadeleri sadeleştiriniz:

√(8 / 2) , √(50 / 2)

7. bölüm

LGS - Köklü Sayılar - 7.Sayfa

Köklü Sayılar - 7. Sayfa

Köklü Sayılar

7. Sayfa: Kök dışına alma ve kök içine alma

1) Kök dışına alma

Kök içindeki sayı tam kare çarpan içeriyorsa, bu tam kare kısım kök dışına çıkarılabilir. Bu işlem, ifadeyi sadeleştirmenin en temel yoludur.

Örnek:

\sqrt[2]{72} = \sqrt[2]{36 \cdot 2}

36 tam kare olduğu için kök dışına çıkar:

\sqrt[2]{72} = 6 \sqrt[2]{2}

2) Kök içine alma

Bazen kök dışındaki sayıyı kök içine almak gerekir. Karekök için kök içine alınan sayı karesini alarak kökün içine yazılır.

Kural:

k \sqrt[2]{a} = \sqrt[2]{k^{2} \cdot a}

3) Kök içine alma örneği

Örnek:

3 \sqrt[2]{5} = \sqrt[2]{3^{2} \cdot 5}

3’ün karesi 9 olduğu için kök içine 9·5 yazılır.

4) Ne zaman hangisi kullanılır?

Dikkat:

Karşılaştırma ve tek kök altında toplama/çıkarma sorularında “kök içine alma” çok işe yarar. Sadeleştirmede ise genellikle “kök dışına alma” kullanılır.

5) Mini alıştırma

Aşağıdaki ifadeleri kök içine alınız:

2√7 , 5√3

8. bölüm

LGS - Köklü Sayılar - 8.Sayfa

Köklü Sayılar - 8. Sayfa

Köklü Sayılar

8. Sayfa: Kareköklü ifadelerde toplama ve çıkarma

1) Benzer köklü ifadeler

Kareköklü ifadelerde toplama ve çıkarma yapılabilmesi için kök içlerinin aynı olması gerekir. Bu tür ifadelere benzer köklü ifadeler denir.

Benzer köklü ifade örneği:

3 \sqrt[2]{5} + 2 \sqrt[2]{5}

2) Toplama işlemi

Benzer köklü ifadelerde, kök kısmı aynen yazılır ve katsayılar kendi aralarında toplanır.

Örnek:

3 \sqrt[2]{7} + 4 \sqrt[2]{7} = 7 \sqrt[2]{7}

3) Çıkarma işlemi

Çıkarma işleminde de kural aynıdır. Kök içleri aynıysa, katsayılar birbirinden çıkarılır.

Örnek:

6 \sqrt[2]{3} - 2 \sqrt[2]{3} = 4 \sqrt[2]{3}

4) Benzer olmayan köklü ifadeler

Kök içleri farklı olan köklü ifadeler toplanamaz ve çıkarılamaz. Bu durumda önce sadeleştirme denenir, benzer hâle gelmiyorsa işlem yapılamaz.

Örnek:

\sqrt[2]{2} + \sqrt[2]{3}

Bu ifade sadeleştirilemediği için toplanamaz.

5) Mini alıştırma

Aşağıdaki işlemleri yapınız:

5√2 + 3√2 , 7√5 − 2√5 , √3 + √7

9. bölüm

LGS - Köklü Sayılar - 9.Sayfa

Köklü Sayılar - 9. Sayfa

Köklü Sayılar

9. Sayfa: Kareköklü ifadelerde çarpma ve dağılma

1) Kök dışındaki sayı ile çarpma

Kareköklü bir ifade, kök dışındaki bir sayı ile çarpılabilir. Bu durumda çarpma işlemi önce katsayılar arasında yapılır.

Örnek:

3 \sqrt[2]{2} \cdot 4 = 12 \sqrt[2]{2}

2) Dağılma özelliği

Kök dışındaki bir sayı, parantez içindeki köklü ifadelerin her biri ile ayrı ayrı çarpılır.

Örnek:

2 (3 \sqrt[2]{5} + 1 \sqrt[2]{5})

Parantez içindeki her terim 2 ile çarpılır.

3) Dağıtma sonrası benzer terimler

Dağılma işlemi yapıldıktan sonra, eğer kök içleri aynıysa, elde edilen ifadeler toplanabilir.

Devam eden örnek:

6 \sqrt[2]{5} + 2 \sqrt[2]{5} = 8 \sqrt[2]{5}

4) Dikkat edilmesi gereken nokta

Uyarı:

Dağılma yapılmadan önce sadeleştirme mümkünse, sadeleştirme yapmak işlemi daha kolay hâle getirir.

5) Mini alıştırma

Aşağıdaki işlemleri yapınız:

3(√2 + √2), 4(2√3 − √3)

10. bölüm

LGS - Köklü Sayılar - 10.Sayfa

Köklü Sayılar - 10. Sayfa

Köklü Sayılar

10. Sayfa: Kök derecesi ve n. dereceden kök

1) Kök derecesi ne demektir?

Karekök, aslında 2. dereceden köktür. Daha genel durumda, kök işaretinin “derecesi” değişebilir. Derece; “hangi kuvveti tersine çevirdiğimizi” anlatır.

n. dereceden kökün yazımı:

\sqrt[n]{a}

Bu ifade “a’nın n. dereceden kökü” şeklinde okunur.

2) n. dereceden kökün anlamı

n. dereceden kök, üssü n olan kuvvetin tersidir. Yani, bir sayının n. kuvveti a ise, o sayı a’nın n. dereceden köküdür.

Temel eşitlik:

x^{n} = a

ise

x = \sqrt[n]{a}

3) Tek ve çift derece farkı (LGS düzeyi)

LGS düzeyinde en çok 2. ve 3. dereceden kök örnekleriyle karşılaşılır. Burada önemli fark şudur:

Çift derece (2, 4, ...): Kök içi negatif olamaz (reel sayılar içinde).

Tek derece (3, 5, ...): Negatif kök içi mümkündür (çünkü tek kuvvet negatif kalır).

4) Küpkök örneği (3. dereceden kök)

Örnek:

8, 2’nin küpüdür. Bu nedenle 8’in küpkökü 2’dir.

\sqrt[3]{8} = 2

Negatif örnek:

\sqrt[3]{- 8} = - 2

5) Mini alıştırma

Aşağıdakilerin değerini bulunuz:

³√27, ³√(−64), ⁴√16