1. bölüm

LGS - Çarpanlar ve Katlar - 1.Sayfa

Çarpanlar ve Katlar - 1. Sayfa

1

Çarpanlar ve Katlar

Temel kavramlar: çarpan, kat, bölünebilme.

1) Çarpan (Bölen) Nedir?

Bir sayı, başka bir sayıyı kalansız bölüyorsa, bölen sayı çarpan (bölen) olur.

“Kalansız bölünme” demek: Bölme işlemi sonunda kalan 0 olur.

Örnek

12 sayısını düşünelim. 12’yi kalansız bölen sayılar: 1, 2, 3, 4, 6, 12’dir. Bu sayılar 12’nin çarpanlarıdır.

2) Kat Nedir?

Bir sayının katları, o sayının 1, 2, 3, 4, … ile çarpılmasıyla elde edilen sayılardır.

Örnek

5’in katları: 5, 10, 15, 20, 25, …

Örnek

12’nin katları: 12, 24, 36, 48, 60, …

“Kat” listesi sonsuz gider; “çarpan” listesi ise sınırlıdır.

3) Bölünebilme ve Sembol Gösterimi

“a sayısı b sayısını kalansız bölüyorsa” bunu şöyle yazarız:

a | b (a, b’yi böler)

Örnek

3 | 12 çünkü 12, 3’e kalansız bölünür.
5 ∤ 12 çünkü 12, 5’e kalansız bölünmez.

Bir sayı, başka bir sayının katıysa: “b, a’nın katıdır” demektir. Örn: 12, 3’ün katıdır.

4) Çarpan ve Kat Birbirine Nasıl Bağlı?

İki sayı arasında şu ilişki çok önemlidir:

a, b’nin çarpanıysa → b, a’nın katıdır.

Örnek

4, 20’nin çarpanıdır (4 | 20). Aynı zamanda 20, 4’ün katıdır.

5) Sık Yapılan Karışıklık

Çarpan bir sayıyı “bölen” sayıdır. Liste sınırlıdır.

Kat bir sayının “çarpımıyla” oluşur. Liste sonsuzdur.

Kontrol Sorusu (Konu Anlatımı İçinde)

“18’in çarpanları” dendiğinde bölenleri ararız; “18’in katları” dendiğinde 18, 36, 54, … şeklinde devam eder.

Bu sayfada öğrendik

Çarpan (bölen): sayıyı kalansız bölen sayı.
Kat: sayının 1,2,3,… ile çarpılmasıyla oluşan sayılar.
a | b ise: a, b’nin çarpanı; b, a’nın katıdır.

2. bölüm

LGS - Çarpanlar ve Katlar - 2.Sayfa

Çarpanlar ve Katlar - 2. Sayfa

2

Pozitif Çarpanlar

Bir sayının pozitif bölenleri nasıl bulunur?

1) Pozitif Bölen Nedir?

Bir doğal sayıyı kalansız bölen ve kendisi de pozitif olan sayılara o sayının pozitif bölenleri denir.

Ortaokul seviyesinde “çarpan” denildiğinde genellikle pozitif çarpanlar kastedilir.

2) Pozitif Bölen Bulma Yöntemi

Pozitif bölenler bulunurken sayıyı çarpım şeklinde yazmaya çalışırız. Her çarpım bize bir bölen çifti verir.

Örnek

24 sayısını ele alalım:

1 × 24
2 × 12
3 × 8
4 × 6

Bu çarpımlardaki tüm sayılar 24’ün pozitif bölenleridir.

3) Bölen Çiftleri Mantığı

Pozitif bölenler ikili gruplar halinde ortaya çıkar. Bu gruplara bölen çiftleri denir.

Bir bölen çifti çarpıldığında sayı elde edilir.

Örnek

36 sayısının bazı bölen çiftleri:

1 ve 36
2 ve 18
3 ve 12
4 ve 9
6 ve 6

4) Kare Sayılarda Özel Durum

Bir sayının karekökü tam sayıysa, bölen çiftlerinden biri aynı sayıdan oluşur.

Bu durumda bölen sayısı tek başına sayılır, iki kez yazılmaz.

Örnek

49 = 7 × 7 olduğundan, 7 yalnızca bir kez bölen olarak alınır.

Bu sayfada öğrendik

Pozitif bölenler kalansız bölen pozitif sayılardır.
Bölenler genellikle çiftler halinde bulunur.
Kare sayılarda ortadaki bölen tek başına kalır.

3. bölüm

LGS - Çarpanlar ve Katlar - 3.Sayfa

Çarpanlar ve Katlar - 3. Sayfa

3

Asal Sayılar

Çarpanlar konusunun temel taşı: asal sayılar

1) Asal Sayı Nedir?

Asal sayılar, yalnızca iki tane pozitif böleni olan sayılardır.

Bu bölenler her zaman 1 ve sayının kendisidir.

2) Asal Sayı Örnekleri

Örnekler

2 → bölenleri: 1 ve 2
3 → bölenleri: 1 ve 3
5 → bölenleri: 1 ve 5
7 → bölenleri: 1 ve 7

Bu sayılar dışında başka böleni olmayan sayılar asal sayıdır.

3) 1 Sayısı Asal mıdır?

1 asal sayı değildir.

Çünkü 1’in yalnızca bir tane pozitif böleni vardır: 1.

4) En Küçük Asal Sayı

En küçük asal sayı 2’dir.

2 aynı zamanda tek çift asal sayıdır.

5) Asal Olmayan Sayılar

İkiden fazla pozitif böleni olan sayılara asal olmayan (bileşik) sayılar denir.

Örnek

12 sayısının bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12 → asal değildir.

Bu sayfada öğrendik

Asal sayılar yalnızca 1 ve kendisine bölünür.
1 asal değildir.
2 en küçük ve tek çift asal sayıdır.
İkiden fazla böleni olan sayılar asal değildir.

4. bölüm

LGS - Çarpanlar ve Katlar - 4.Sayfa

Çarpanlar ve Katlar - 4. Sayfa

4

Asal Çarpanlar

Bir sayıyı oluşturan asal çarpanlar ve temel mantık.

1) Asal Çarpan Nedir?

Bir sayıyı kalansız bölen asal sayılara o sayının asal çarpanları denir.

Asal çarpanlar her zaman asal sayı olmak zorundadır.

2) Asal Çarpan Örneği

Örnek

18 sayısını ele alalım.

18 = 2 × 9
9 = 3 × 3

Bu durumda 18’in asal çarpanları 2 ve 3’tür.

3) Tekrarlı Asal Çarpanlar

Bir asal sayı, bir sayının çarpanları içinde birden fazla kez bulunabilir.

Bu durumda asal çarpan tekrarlı olarak yazılır.

Örnek

36 = 2 × 2 × 3 × 3 olduğundan, 36’nın asal çarpanları 2 ve 3’tür.

4) Asal Çarpanlar Neden Önemli?

EBOB ve EKOK konularının temelidir.
Bir sayının tüm bölenlerini bulmayı kolaylaştırır.
Problemlerde sadeleştirme yapmamıza yardımcı olur.

Bu sayfada öğrendik

Asal çarpan, sayıyı bölen asal sayıdır.
Asal çarpanlar tekrarlı olabilir.
Asal çarpanlar EBOB ve EKOK için gereklidir.

5. bölüm

LGS - Çarpanlar ve Katlar - 5.Sayfa

Çarpanlar ve Katlar - 5. Sayfa

5

Asal Çarpanlara Ayırma

Bir sayıyı asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazma.

1) Asal Çarpanlara Ayırma Nedir?

Bir doğal sayıyı asal sayıların çarpımı şeklinde yazmaya asal çarpanlara ayırma denir.

Her doğal sayı asal çarpanlarına tek bir şekilde ayrılır.

2) Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemi

Sayıyı en küçük asal sayıdan başlayarak böl.
Bölme işlemi kalansız oldukça devam et.
Sonuç 1 olana kadar işlemi sürdür.

En küçük asal sayı her zaman 2’dir.

3) Örnek: 60 Sayısı

Adım Adım

60, 2’ye bölünür → 30
30, 2’ye bölünür → 15
15, 3’e bölünür → 5
5, 5’e bölünür → 1

60’ın asal çarpanları: 2, 3 ve 5

4) Üslü Gösterim

Aynı asal çarpan birden fazla kez kullanılıyorsa, üs ile gösterilebilir.

60 = 2^{2} \times 3 \times 5

Bu sayfada öğrendik

Asal çarpanlara ayırma, sayıyı asal sayıların çarpımı olarak yazmaktır.
En küçük asal sayıdan başlayarak bölme yapılır.
Tekrarlı çarpanlar üslü gösterimle yazılabilir.

6. bölüm

LGS - Çarpanlar ve Katlar - 6.Sayfa

Çarpanlar ve Katlar - 6. Sayfa

6

Asal Çarpanlara Ayırma

Farklı sayı tiplerinde asal çarpanlara ayırma mantığı.

1) Hızlı Hatırlatma

Her zaman 2, 3, 5, 7, ... gibi asal sayılardan başlarız.
Kalansız bölünebildiği sürece aynı asalla bölmeye devam ederiz.
Sonuç 1 olunca işlem biter.

2) Örnek: 84 Sayısı

Adımlar

84 ÷ 2 = 42
42 ÷ 2 = 21
21 ÷ 3 = 7
7 ÷ 7 = 1

Asal çarpanlar: 2, 3 ve 7

84 = 2^{2} \times 3 \times 7

3) Örnek: 72 Sayısı

Adımlar

72 ÷ 2 = 36
36 ÷ 2 = 18
18 ÷ 2 = 9
9 ÷ 3 = 3
3 ÷ 3 = 1

Asal çarpanlar: 2 ve 3

72 = 2^{3} \times 3^{2}

4) Özel Durum: Sayı Asal İse

Eğer sayı zaten asal ise, asal çarpanlara ayırma çok kısadır: sayı yalnızca kendisine bölünür.

Örneğin 29 asal sayıdır. Asal çarpanı sadece 29’dur.

29 = 29

Bu sayfada öğrendik

Asal çarpanlara ayırma adım adım bölme ile yapılır.
Tekrarlı asal çarpanlar üs ile gösterilebilir.
Sayı asal ise asal çarpanı yalnızca kendisidir.

7. bölüm

LGS - Çarpanlar ve Katlar - 7.Sayfa

Çarpanlar ve Katlar - 7. Sayfa

7

Pozitif Bölen Sayısı

Bir sayının kaç tane pozitif böleni olduğunu bulma.

1) Pozitif Bölen Sayısı Nedir?

Bir doğal sayının pozitif bölenlerinin toplam adedine o sayının pozitif bölen sayısı denir.

Asal çarpanlara ayırma bu işlemi çok kolaylaştırır.

2) Pozitif Bölen Sayısı Kuralı

Bir sayının asal çarpanlara ayrılmış hali aşağıdaki gibiyse:

a = p^{x} \times q^{y}

Pozitif bölen sayısı şu şekilde bulunur:

(x + 1) × (y + 1)

3) Örnek: 72 Sayısı

72’nin asal çarpanlara ayrılmış hali:

72 = 2^{3} \times 3^{2}

Üslerin bir fazlası alınır:

(3 + 1) × (2 + 1) = 4 × 3 = 12

72 sayısının 12 tane pozitif böleni vardır.

4) Kare Sayılar ve Bölen Sayısı

Kare sayılarda pozitif bölen sayısı her zaman tektir.

Çünkü ortadaki bölen (karekök) tek başına kalır.

Bu sayfada öğrendik

Pozitif bölen sayısı, bölenlerin adedidir.
Üslerin bir fazlası çarpılır.
Kare sayılarda bölen sayısı tektir.

8. bölüm

LGS - Çarpanlar ve Katlar - 8.Sayfa

Çarpanlar ve Katlar - 8. Sayfa

8

EBOB (En Büyük Ortak Bölen)

İki ya da daha fazla sayının ortak bölenlerinden en büyüğünü bulma.

1) EBOB Nedir?

İki ya da daha fazla doğal sayının ortak bölenleri arasındaki en büyük sayıya EBOB denir.

EBOB, sayıları kalansız bölen en büyük ortak sayıdır.

2) Asal Çarpan Yöntemi ile EBOB

Sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak olan asal çarpanlar, en küçük üsleriyle alınır.

a = p^{x} \times q^{y}

b = p^{m} \times r^{n}

Ortak asal çarpan p ise, üs olarak küçük olan alınır.

3) Örnek: 36 ve 60

36 = 2^{2} \times 3^{2}

60 = 2^{2} \times 3 \times 5

Ortak asal çarpanlar: 2 ve 3

EBOB = $2^{2} \times 3$ = 12

Bu sayfada öğrendik

EBOB, ortak bölenlerin en büyüğüdür.
Asal çarpan yöntemiyle bulunabilir.
Ortak asal çarpanlar küçük üsleriyle alınır.

9. bölüm

LGS - Çarpanlar ve Katlar - 9.Sayfa

Çarpanlar ve Katlar - 9. Sayfa

9

EKOK (En Küçük Ortak Kat)

İki ya da daha fazla sayının ortak katlarından en küçüğünü bulma.

1) EKOK Nedir?

İki ya da daha fazla doğal sayının ortak katları arasındaki en küçük sayıya EKOK denir.

EKOK, sayıları aynı anda bölebilen en küçük kattır.

2) Asal Çarpan Yöntemi ile EKOK

Sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Tüm asal çarpanlar en büyük üsleriyle alınır.

a = p^{x} \times q^{y}

b = p^{m} \times r^{n}

EKOK’ta ortak olsun ya da olmasın tüm asal çarpanlar, büyük üsleriyle alınır.

3) Örnek: 24 ve 36

24 = 2^{3} \times 3

36 = 2^{2} \times 3^{2}

EKOK = $2^{3} \times 3^{2}$ = 72

4) EBOB – EKOK İlişkisi

İki doğal sayı için şu ilişki her zaman geçerlidir:

EBOB × EKOK = sayıların çarpımı

Bu sayfada öğrendik

EKOK, ortak katların en küçüğüdür.
Asal çarpan yöntemiyle bulunur.
Tüm asal çarpanlar büyük üsleriyle alınır.
EBOB × EKOK = sayıların çarpımıdır.

10. bölüm

LGS - Çarpanlar ve Katlar - 10.Sayfa

Çarpanlar ve Katlar - 10. Sayfa

10

EKOK Bulma Yöntemleri

Kat listesiyle ve pratik düşünme ile EKOK bulma.

1) Kat Listesi Yöntemi

Sayıların katları yazılır ve ilk ortak kat bulunur. Küçük sayılarda bu yöntem hızlıdır.

6 ve 8’in katları

6: 6, 12, 18, 24, 30, …

8: 8, 16, 24, 32, 40, …

İlk ortak kat: 24 → EKOK(6,8)=24

4 ve 10’un katları

4: 4, 8, 12, 16, 20, …

10: 10, 20, 30, 40, …

İlk ortak kat: 20 → EKOK(4,10)=20

Sayılar büyüdükçe kat listesi uzar; bu durumda asal çarpan yöntemi daha hızlıdır.

2) Pratik Düşünme (Kat İlişkisi)

Eğer sayılardan biri diğerinin katı ise, EKOK büyük sayıdır.

Örnek: 6, 18’in çarpanıdır (18, 6’nın katıdır). Bu yüzden EKOK(6,18) = 18

Bu kuralı kullanmadan önce “büyük sayı küçük sayıya kalansız bölünüyor mu?” diye kontrol et.

3) Üç Sayının EKOK’u

Üç sayı için EKOK bulunurken iki sayının EKOK’u bulunur, sonra üçüncü sayı ile tekrar EKOK alınır.

EKOK(a,b,c) = EKOK( EKOK(a,b), c )

Örnek

EKOK(4,6,9) için önce EKOK(4,6)=12 bulunur. Sonra EKOK(12,9)=36 olur.

Bu sayfada öğrendik

Kat listesi küçük sayılarda hızlıdır.
Biri diğerinin katıysa EKOK büyük sayıdır.
Üç sayıda EKOK adım adım alınır.