1) Olasılık neyi inceler?

Olasılık, sonucu kesin olarak önceden bilinemeyen durumlarda “hangi sonucun gelmesi daha muhtemel?” sorusuna cevap arar. Bu tür durumlara rastgele deney denir.

2) Temel kavramlar

Örnek: Bir zar atılıyor. Örnek uzay S = {1,2,3,4,5,6} olur. “Çift gelmesi” bir olaydır: A = {2,4,6}.

3) Eş olasılıklı durumlarda temel olasılık

Eğer tüm sonuçlar eş olasılıklı ise, bir olayın olasılığı:

4) Kesin olay, imkânsız olay ve aralık

Örnek: Zar atışında “7 gelmesi” imkânsız olaydır (olasılık 0). “1 ile 6 arasında bir sayı gelmesi” kesin olaydır (olasılık 1).

5) Mini alıştırmalar

Sonraki sayfada: Olay çeşitleri (birleşim, kesişim, tümleyen) ve temel kurallar.

1) Birleşim olayı

İki olaydan en az birinin gerçekleşmesi durumuna birleşim denir.

A ve B olaylarının birleşimi A ∪ B ile gösterilir.

Bu ifade, “A olayı veya B olayı (ya da ikisi birlikte)” anlamına gelir.

2) Birleşim olayına örnek

Bir zar atılıyor.
A = “tek sayı gelmesi” = {1,3,5}
B = “3’ten büyük sayı gelmesi” = {4,5,6}

A ∪ B = {1,3,4,5,6}

Yani tek gelmesi ya da 3’ten büyük gelmesi yeterlidir.

3) Kesişim olayı

İki olayın aynı anda gerçekleşmesi durumuna kesişim denir.

A ve B olaylarının kesişimi A ∩ B ile gösterilir.

Bu ifade, “A ve B olaylarının birlikte gerçekleşmesi” anlamına gelir.

4) Kesişim olayına örnek

Önceki zar örneğinde:
A = {1,3,5}
B = {4,5,6}

A ∩ B = {5}

Hem tek hem de 3’ten büyük olan tek sayı 5’tir.

5) Tümleyen olay

Bir olayın gerçekleşmemesi durumuna o olayın tümleyeni denir.

A olayının tümleyeni A' ile gösterilir.

A ve A' birlikte tüm örnek uzayı oluşturur.

6) Tümleyen olayına örnek

Zar atışında:
A = “çift gelmesi” = {2,4,6}

A' = “tek gelmesi” = {1,3,5}

Çift gelmezse mutlaka tek gelir.

7) Mini alıştırmalar

1) Bir zar atıldığında A = “2’den büyük gelmesi”, B = “çift gelmesi”. A ∪ B ve A ∩ B kümelerini yazınız.

2) A = “kırmızı top çekilmesi” olayı veriliyor. A' olayı neyi ifade eder?

Sonraki sayfada: Birleşim ve kesişim olasılığı (temel kurallar ve örnekler).

1) Birleşim olasılığı kuralı

A ve B olaylarının birleşiminin olasılığı, her iki olayın olasılıkları toplanırken ortak kısım bir kez çıkarılarak bulunur.

2) Birleşim olasılığına örnek

Bir zar atılıyor.
A = “tek gelmesi”
B = “3’ten büyük gelmesi”

n(A)=3, n(B)=3, n(A ∩ B)=1, n(S)=6

Sonuç:

3) Ayrık olaylar

İki olayın ortak sonucu yoksa bu olaylara ayrık olaylar denir.

Ayrık olaylarda kesişim boş kümedir ve olasılığı sıfırdır.

4) Ayrık olaylarda birleşim olasılığı

A ve B ayrık olay ise birleşim olasılığı, olayların olasılıklarının toplamına eşittir.

5) Mini alıştırmalar

1) Bir torbada 4 kırmızı, 1 mavi bilye vardır. “Kırmızı” ve “mavi” olayları ayrık mıdır?

2) Bir zar atılıyor. A = “2 gelmesi”, B = “5 gelmesi”. P(A ∪ B) kaçtır?

Sonraki sayfada: Tümleyen olayın olasılığı ve temel tamamlayıcı kurallar.

1) Tümleyen olasılığı kuralı

Bir olayın gerçekleşmeme olasılığı, o olayın tümleyeninin olasılığıdır. A olayı ile tümleyeni birlikte tüm örnek uzayı oluşturur.

2) Tümleyen olasılığına örnek

Bir zar atılıyor.
A = “çift gelmesi”

n(A)=3, n(S)=6 olduğu için:

Yani “çift gelmemesi” olayı da yarı yarıyadır.

3) Tümleyen ile kesin–imkânsız olay ilişkisi

Bir olay kesin ise, tümleyeni imkânsızdır. Bir olay imkânsız ise, tümleyeni kesindir.

4) Pratik kullanım

Bazen doğrudan bir olayın olasılığını bulmak zordur. Bu durumda, tümleyeninin olasılığı bulunup 1’den çıkarılır.

Örnek: “En az bir kez mavi gelmesi” yerine “Hiç mavi gelmemesi” olayı hesaplanabilir.

5) Mini alıştırmalar

1) Bir zar atılıyor. “Tek gelmemesi” olayının olasılığı nedir?

2) Bir torbada 5 kırmızı, 1 mavi bilye var. “Mavi gelmemesi” olayının olasılığını bulun.

Sonraki sayfada: Deney sayısı ve olasılık (ardışık denemeler).

1) Ardışık deneme ne demektir?

Aynı tür rastgele deneyi birden fazla kez yaparsak buna ardışık denemeler denir. Her denemenin sonucu bir sonrakini etkilemiyorsa bu denemeler bağımsız kabul edilir.

2) Bağımsız denemelerde olasılık çarpılır

Denemeler bağımsızsa, “A ve sonra B” gibi ardışık gerçekleşmelerin olasılığı çarpım ile bulunur.

3) “En az bir kez” soruları ve tümleyen yöntemi

Ardışık denemelerde “en az bir kez gerçekleşmesi” tipi sorular genelde tümleyen ile daha kolay çözülür.

4) Mini alıştırmalar

1) Bir zarı 2 kez atıyoruz. “En az bir kez 6 gelmesi” olasılığını bulunuz.

2) Bir para 4 kez atılıyor. “Hiç yazı gelmemesi” olasılığı nedir?

Sonraki sayfada: Örnek uzay sayma (listeleme, ağaç şeması ve basit sayma).

1) Örnek uzayı doğru saymak

Olasılık sorularında en sık yapılan hata, örnek uzayın eksik veya fazla yazılmasıdır. Bu yüzden önce tüm olası sonuçlar dikkatlice belirlenmelidir.

2) Listeleme yöntemi

Tüm sonuçların tek tek yazılmasına listeleme yöntemi denir. Sonuç sayısı az olan deneylerde kullanılır.

Örnek: Bir para iki kez atılıyor.

3) Listeleme ile olasılık bulma

Aynı örnekte “en az bir yazı gelmesi” olayını bulalım.

A = {YY, YT, TY}
n(A)=3, n(S)=4

4) Ağaç şeması yöntemi

Deneme sayısı arttığında listeleme zorlaşır. Bu durumda ağaç şeması kullanılır.

5) Ağaç şeması örneği

Bir para iki kez atılıyor. İlk atıştan sonra her durumda ikinci atış yine yazı veya tura olabilir.

Bu yöntemle de örnek uzayın 4 elemanlı olduğu görülür.

6) Mini alıştırmalar

1) Bir zarı iki kez atınız. Örnek uzayın kaç elemanlı olduğunu bulunuz.

2) Bir parayı üç kez atınız. Listeleme veya ağaç şeması ile örnek uzayı yazınız.

Sonraki sayfada: Basit sayma kuralı ve çarpma yöntemi.

1) Basit sayma kuralı

Bir işlemin birden fazla aşaması varsa ve her aşamada belirli sayıda seçim yapılabiliyorsa, toplam durum sayısı bu sayıların çarpımı ile bulunur.

2) Çarpma kuralına basit örnek

Bir kafede 3 çeşit içecek ve 4 çeşit tatlı vardır. Bir içecek ve bir tatlı seçilecektir.

Toplam seçim sayısı:

3) Çarpma kuralı ile örnek uzay bulma

Bir para ve bir zar aynı anda atılıyor.

Paranın 2, zarın 6 sonucu vardır.

Örnek uzay 12 elemanlıdır.

4) Olasılık sorularında kullanımı

Çarpma kuralı ile örnek uzayın eleman sayısı hızlıca bulunur, sonra istenen olay sayılır.

Bu yöntem özellikle ardışık deneylerde zaman kazandırır.

5) Mini alıştırmalar

1) 2 gömlek ve 5 pantolon vardır. Kaç farklı kıyafet kombinasyonu yapılır?

2) Bir zar ve iki para birlikte atılıyor. Örnek uzayın eleman sayısını bulunuz.

Sonraki sayfada: Koşullu olasılığa giriş.

1) Koşullu olasılık nedir?

Bir olayın olasılığı, başka bir olayın gerçekleştiği bilgisi varken hesaplanıyorsa buna koşullu olasılık denir.

2) Koşullu olasılığın gösterimi

A olayının, B olayı gerçekleşmişken olasılığı P(A | B) şeklinde gösterilir.

3) Koşullu olasılık fikrini anlamak

Koşullu olasılıkta örnek uzay daralır. Artık tüm sonuçlar değil, sadece B olayının gerçekleştiği durumlar dikkate alınır.

4) Koşullu olasılığa örnek

Bir zar atılıyor.
A = “çift gelmesi”
B = “3’ten büyük gelmesi”

B olayı gerçekleştiğinde mümkün sonuçlar {4,5,6} olur.

Bu durumda A olayı yalnızca {4,6} ile gerçekleşir.

Yani 3’ten büyük geldiği biliniyorsa, çift gelme olasılığı 2/3’tür.

5) Mini alıştırmalar

1) Bir zar atılıyor. A = “tek gelmesi”, B = “4’ten küçük gelmesi”. P(A | B) nedir?

2) Bir torbada 3 kırmızı, 2 mavi bilye vardır. Rastgele çekilen bilyenin kırmızı olduğu biliniyorsa, “kırmızı gelmesi” olayının olasılığı nedir?

Sonraki sayfada: Bağımsız olaylar ve koşullu olasılık ilişkisi.

1) Bağımsız olay ne demektir?

Bir olayın gerçekleşmesi, diğer bir olayın olasılığını değiştirmiyorsa bu olaylara bağımsız olaylar denir.

2) Bağımsızlığın koşullu olasılık ile ifadesi

A ve B olayları bağımsız ise, A olayının B gerçekleşmişken olasılığı, A olayının normal olasılığına eşittir.

3) Bağımsız olaylara örnek

Bir para ve bir zar birlikte atılıyor.

A = “para yazı gelmesi”
B = “zarın 6 gelmesi”

Paranın sonucu, zarın sonucunu etkilemez. Bu yüzden A ve B bağımsızdır.

Bu değer P(A) ile aynıdır.

4) Bağımsızlık ve çarpma kuralı

A ve B olayları bağımsız ise, her ikisinin birlikte gerçekleşme olasılığı, olasılıkların çarpımıdır.

5) Mini alıştırmalar

1) Bir zar iki kez atılıyor. İlk atışta 2 gelmesi ile ikinci atışta 5 gelmesi olayları bağımsız mıdır?

2) Bir para atılıyor. A = “yazı”, B = “tura”. Bu olaylar bağımsız mıdır?

Sonraki sayfada: Deney sonuçlarının olasılıkla ilişkisi ve uzun vadeli yorum.

1) Teorik olasılık ve deneysel olasılık

Şimdiye kadar çoğunlukla teorik olasılık kullandık: Sonuçlar eş olasılıklı kabul edilip hesap yapılır.

Bazen de bir deneyi çok kez yapıp, elde edilen sonuçlara göre deneysel olasılık hesaplanır.

2) Deneysel olasılık tanımı

Bir olayın deneysel olasılığı, o olayın gözlendiği sayının toplam deney sayısına oranıdır.

3) Deney sayısı arttıkça ne olur?

Deney sayısı arttıkça, deneysel olasılık genellikle teorik olasılığa yaklaşır. Bu fikir, “uzun vadede” yorum yapmamızı sağlar.

4) Deneysel olasılık örneği

Bir para 50 kez atılsın. Yazı 28 kez gelsin. Yazı gelme deneysel olasılığı:

Bu değer teorik olarak 1/2’ye yakın bir değerdir.

5) Mini alıştırmalar

1) Bir zar 60 kez atılıyor. 6 sayısı 9 kez gelmiş. 6 gelme deneysel olasılığı yaklaşık kaçtır?

2) Bir torbadan 40 kez bilye çekiliyor (geri koyarak). Kırmızı bilye 18 kez gelmiş. Kırmızı gelme deneysel olasılığı yaklaşık kaçtır?

Sonraki sayfada: Problem çözme stratejisi (örnek uzay, olay, uygun yöntem seçimi).