1. bölüm

LGS - Üslü Sayılar - 1.Sayfa

Üslü Sayılar - 1. Sayfa

Üslü Sayılar

1. Sayfa: Temel Kavramlar (Taban – Üs – Üslü İfade)

1) Üslü ifade nedir?

Aynı sayının kendisiyle tekrar tekrar çarpılmasını kısa yoldan yazmaya üslü ifade denir. Bir üslü ifade iki parçadan oluşur: taban (alttaki sayı) ve üs (kaç kez çarpılacağını gösteren sayı).

Örnek gösterim:

5^{3}

Bu ifade “5’in 3. kuvveti” okunur ve 5 · 5 · 5 anlamına gelir.

2) Taban ve üs nasıl anlaşılır?

Aşağıdaki ifadede:

2^{4}

Taban = 2
Üs = 4 (2 sayısı 4 kez çarpılır)

Açılım: 2 · 2 · 2 · 2

3) Hızlı hatırlatmalar (temel)

A) Üs 1 olursa: Sayı değişmez.

7^{1} = 7

B) Üs 0 olursa: Taban 0 değilse sonuç 1 olur.

9^{0} = 1

Not: 0⁰ LGS düzeyinde genellikle “tanımsız/özel durum” olarak ele alınır.

C) Negatif taban: Parantez zorunludur.

{(- 3)}^{2} = 9

Üs çiftse sonuç pozitif olur.

4) Sık yapılan hata

Negatif tabanda parantez unutulursa anlam değişir. Aşağıdaki iki ifade aynı değildir:

1) Parantezli (negatif taban):

{(- 2)}^{3} = - 8

2) Parantezsiz (eksi dışarıda kalır gibi düşünülür):

- 2^{3} = - 8

Bu örnekte sonuç aynı çıktı; ama her zaman aynı çıkmayabilir. Özellikle çift üslerde parantez farkı çok belirgin olur.

Çift üs örneği:

{(- 2)}^{2} = 4

- 2^{2} = - 4

Sonraki sayfada üslü sayıların temel kurallarına (çarpma-bölme, kuvvetin kuvveti) geçeceğiz.

2. bölüm

LGS - Üslü Sayılar - 2.Sayfa

Üslü Sayılar - 2. Sayfa

Üslü Sayılar

2. Sayfa: Aynı Tabanlı Üslü İfadelerde Çarpma

1) Aynı tabanlı üslü ifadelerin çarpımı

Tabanları aynı olan üslü ifadeler çarpılırken, üsler toplanır, taban aynen yazılır.

Genel kural:

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}

2) Örnek

Aşağıdaki işlemi inceleyelim:

2^{3} \cdot 2^{4}

Tabanlar aynı olduğu için üsler toplanır:

2^{3 + 4} = 2^{7}

3) Açılım ile kontrol

Kuralın neden doğru olduğunu açılım yaparak görebiliriz:

2³ = 2 · 2 · 2

2⁴ = 2 · 2 · 2 · 2

Hepsi birlikte: 2 yedi kez çarpılır → 2⁷

4) Negatif tabanlı örnek

Negatif tabanda parantez unutulmamalıdır:

{(- 3)}^{2} \cdot {(- 3)}^{3}

Üsler toplanır:

{(- 3)}^{5}

Sonraki sayfada aynı tabanlı üslü ifadelerde bölme kuralı ele alınacaktır.

3. bölüm

LGS - Üslü Sayılar - 3.Sayfa

Üslü Sayılar - 3. Sayfa

Üslü Sayılar

3. Sayfa: Aynı Tabanlı Üslü İfadelerde Bölme

1) Aynı tabanlı üslü ifadelerin bölümü

Tabanları aynı olan üslü ifadeler bölünürken, üsler çıkarılır, taban aynen yazılır.

Genel kural:

a^{m} : a^{n} = a^{m - n}

2) Örnek

Aşağıdaki işlemi inceleyelim:

5^{6} : 5^{2}

Tabanlar aynı olduğu için üsler çıkarılır:

5^{6 - 2} = 5^{4}

3) Açılım ile düşünme

Kuralın mantığı açılım yapılarak daha net görülür:

5⁶ = 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5

5² = 5 · 5

Sadeleşince geriye 4 tane 5 kalır → 5⁴

4) Negatif tabanlı örnek

Negatif tabanlı ifadelerde parantez zorunludur:

{(- 2)}^{5} : {(- 2)}^{3}

Üsler çıkarılır:

{(- 2)}^{2}

Sonraki sayfada üslü ifadelerde kuvvetin kuvveti kuralına geçilecektir.

4. bölüm

LGS - Üslü Sayılar - 4.Sayfa

Üslü Sayılar - 4. Sayfa

Üslü Sayılar

4. Sayfa: Kuvvetin Kuvveti (Üssün Üssü)

1) Kuvvetin kuvveti kuralı

Bir üslü ifadenin tekrar üs alınması durumunda, üsler çarpılır.

Genel kural:

{a^{m}}^{n} = a^{m \cdot n}

2) Örnek

Aşağıdaki ifadeyi kural ile sadeleştirelim:

{3^{2}}^{4}

Üsler çarpılır:

3^{2 \cdot 4} = 3^{8}

3) Mantık: “Tekrar tekrar çarpma” sayısı

3² demek, 3 sayısını 2 kez çarpmak demektir: 3 · 3. Bu ifadenin tekrar 4. kuvveti alınırsa, (3 · 3) ifadesi 4 kez çarpılır. Sonuçta toplamda 3 sayısı 2 · 4 kadar (yani 8 kez) çarpılmış olur.

Bu yüzden:

{3^{2}}^{4} = 3^{8}

4) Negatif tabanda örnek (parantez şart)

Negatif tabanlı ifadelerde parantez zorunludur:

{(- 2)}^{3}^{2}

Üsler çarpılır:

{(- 2)}^{6}

Üs çift olduğu için sonuç pozitif olur.

Sonraki sayfada üslü ifadelerde çarpımın kuvveti konusuna geçeceğiz.

5. bölüm

LGS - Üslü Sayılar - 5.Sayfa

Üslü Sayılar - 5. Sayfa

Üslü Sayılar

5. Sayfa: Çarpımın Kuvveti

1) Çarpımın kuvveti kuralı

Bir çarpımın kuvveti alınırken, çarpımı oluşturan her sayının kuvveti ayrı ayrı alınır.

Genel kural:

{a \cdot b}^{n} = a^{n} \cdot b^{n}

2) Örnek

Aşağıdaki ifadeyi inceleyelim:

{2 \cdot 5}^{3}

Her çarpanın kuvveti ayrı ayrı alınır:

2^{3} \cdot 5^{3}

3) Açılım ile düşünme

Çarpımın kuvveti kuralı, açılım yapıldığında daha net anlaşılır:

(2 · 5)³ = (2 · 5) · (2 · 5) · (2 · 5)

= 2³ · 5³

4) Negatif çarpanlı örnek

Negatif sayı çarpım içinde yer alıyorsa parantez unutulmamalıdır:

{(- 3) \cdot 4}^{2}

Her çarpanın karesi alınır:

{(- 3)}^{2} \cdot 4^{2}

Sonraki sayfada bölümün kuvveti konusuna geçilecektir.

6. bölüm

LGS - Üslü Sayılar - 6.Sayfa

Üslü Sayılar - 6. Sayfa

Üslü Sayılar

6. Sayfa: Bölümün Kuvveti

1) Bölümün kuvveti kuralı

Bir bölümün kuvveti alınırken, payın ve paydanın kuvveti ayrı ayrı alınır.

Genel kural (sembolik gösterim):

{a / b}^{n} = a^{n} / b^{n}

2) Sayısal örnek

Aşağıdaki ifadeyi inceleyelim:

{\frac{3}{5}}^{2}

Payın ve paydanın karesi alınır:

\frac{3^{2}}{5^{2}}

3) Açılım ile düşünme

Bölümün kuvveti, tekrar eden çarpma mantığıyla açıklanabilir:

(3 / 5)² = (3 / 5) · (3 / 5)

= (3 · 3) / (5 · 5)

4) Negatif sayılı örnek

Negatif kesirlerde eksi işareti kesrin dışında yazılır:

- {\frac{2}{3}}^{3}

Üs tek olduğu için sonuç negatiftir.

Sonraki sayfada üslü ifadelerde 0 ve 1’in özel durumları ele alınacaktır.

7. bölüm

LGS - Üslü Sayılar - 7.Sayfa

Üslü Sayılar - 7. Sayfa

Üslü Sayılar

7. Sayfa: Üs 0 ve Üs 1 Özel Durumları

1) Üs 1 durumu

Bir sayının üssü 1 ise, sayı aynen kalır. Çünkü sayı kendisiyle bir kez çarpılmış olur.

8^{1} = 8

2) Üs 0 durumu

Tabanı 0 olmayan bir sayının üssü 0 ise, sonuç her zaman 1 olur.

5^{0} = 1

Bu kural, üslü ifadelerde bölme işlemlerinden ortaya çıkar.

3) Üs 0 neden 1 olur?

Aynı tabanlı üslü ifadelerin bölme kuralı hatırlanırsa, üslerin çıkarıldığı görülür.

7^{3} : 7^{3} = 7^{0}

Aynı sayının kendisine bölümü 1 olduğu için sonuç 1 kabul edilir.

4) Önemli uyarı

0⁰ ifadesi LGS düzeyinde tanımsız kabul edilir ve bu nedenle işlem yapılmaz.

Sonraki sayfada negatif üs kavramına geçilecektir.

8. bölüm

LGS - Üslü Sayılar - 8.Sayfa

Üslü Sayılar - 8. Sayfa

Üslü Sayılar

8. Sayfa: Negatif Üs

1) Negatif üs nedir?

Bir sayının üssü negatif ise, bu durum o sayının tersinin pozitif kuvveti anlamına gelir.

Temel kural:

a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}

2) Sayısal örnek

Aşağıdaki üslü ifadeyi inceleyelim:

2^{- 3}

Negatif üs kuralı uygulanır:

\frac{1}{2^{3}}

3) Açılım ile düşünme

Negatif üs, aslında bölme işlemiyle ilişkilidir:

2⁻³ = 1 / 2³

Yani 1 sayısı, 2’nin 3. kuvvetine bölünür.

4) Negatif tabanlı örnek

Negatif taban varsa parantez zorunludur:

{(- 3)}^{- 2}

Negatif üs kuralı uygulanır:

\frac{1}{{(- 3)}^{2}}

Üs çift olduğu için payda pozitiftir.

Sonraki sayfada üslü ifadelerde işlem önceliği konusuna geçilecektir.

9. bölüm

LGS - Üslü Sayılar - 9.Sayfa

Üslü Sayılar - 9. Sayfa

Üslü Sayılar

9. Sayfa: Üslü İfadelerde İşlem Önceliği

1) İşlem önceliği sırası

Üslü ifadelerin bulunduğu işlemlerde aşağıdaki sıra izlenir:

Parantez içi işlemler
Üslü ifadeler
Çarpma ve bölme
Toplama ve çıkarma

2) Üslü ifadeler önce hesaplanır

Bir işlemde üslü ifade varsa, toplama veya çarpmadan önce önce üs hesaplanır.

2 + 3^{2}

Önce üs:

2 + 9

3) Parantez varsa önce parantez

Üslü ifade parantez içindeyse, önce parantez değerlendirilir:

{2 + 1}^{3}

Parantez içi:

3^{3}

4) Negatif taban ve işlem önceliği

Negatif tabanlı üslü ifadelerde parantez anlamı değiştirir:

- 2^{2}

{(- 2)}^{2}

Parantezli ve parantezsiz yazım aynı sonucu vermez.

Sonraki sayfada üslü ifadelerde karışık işlemler çözülecektir.

10. bölüm

LGS - Üslü Sayılar - 10.Sayfa

Üslü Sayılar - 10. Sayfa

Üslü Sayılar

10. Sayfa: Üslü İfadelerde Karışık İşlemler

1) Karışık işlemlerde izlenecek yol

Birden fazla işlem içeren üslü ifadelerde: önce parantez, sonra üs, ardından çarpma–bölme, en son toplama–çıkarma yapılır.

2) Örnek 1

Aşağıdaki işlemi adım adım inceleyelim:

4 + 2^{3} \cdot 3

Önce üs hesaplanır:

4 + 8 \cdot 3

Sonra çarpma yapılır:

4 + 24

3) Örnek 2 (parantezli)

Parantezli bir örnek inceleyelim:

{1 + 2}^{3} + 5

Önce parantez:

3^{3} + 5

Üs alınır:

27 + 5

4) Negatif tabanlı karışık işlem

Negatif taban varsa parantez mutlaka yazılır:

2 + {(- 2)}^{2} \cdot 3

Önce üs:

2 + 4 \cdot 3

Sonraki sayfada üslü ifadelerde eşitlik ve karşılaştırma konusuna geçilecektir.

Üslü Sayılar Konu Anlatımı

LGS - Üslü Sayılar - 1.Sayfa

Üslü Sayılar

1) Üslü ifade nedir?

2) Taban ve üs nasıl anlaşılır?

3) Hızlı hatırlatmalar (temel)

4) Sık yapılan hata

LGS - Üslü Sayılar - 2.Sayfa

Üslü Sayılar

1) Aynı tabanlı üslü ifadelerin çarpımı

2) Örnek

3) Açılım ile kontrol

4) Negatif tabanlı örnek

LGS - Üslü Sayılar - 3.Sayfa

Üslü Sayılar

1) Aynı tabanlı üslü ifadelerin bölümü

2) Örnek

3) Açılım ile düşünme

4) Negatif tabanlı örnek

LGS - Üslü Sayılar - 4.Sayfa

Üslü Sayılar

1) Kuvvetin kuvveti kuralı

2) Örnek

3) Mantık: “Tekrar tekrar çarpma” sayısı

4) Negatif tabanda örnek (parantez şart)

LGS - Üslü Sayılar - 5.Sayfa

Üslü Sayılar

1) Çarpımın kuvveti kuralı

2) Örnek

3) Açılım ile düşünme

4) Negatif çarpanlı örnek

LGS - Üslü Sayılar - 6.Sayfa

Üslü Sayılar

1) Bölümün kuvveti kuralı

2) Sayısal örnek

3) Açılım ile düşünme

4) Negatif sayılı örnek

LGS - Üslü Sayılar - 7.Sayfa

Üslü Sayılar

1) Üs 1 durumu

2) Üs 0 durumu

3) Üs 0 neden 1 olur?

4) Önemli uyarı

LGS - Üslü Sayılar - 8.Sayfa

Üslü Sayılar

1) Negatif üs nedir?

2) Sayısal örnek

3) Açılım ile düşünme

4) Negatif tabanlı örnek

LGS - Üslü Sayılar - 9.Sayfa

Üslü Sayılar

1) İşlem önceliği sırası

2) Üslü ifadeler önce hesaplanır

3) Parantez varsa önce parantez

4) Negatif taban ve işlem önceliği

LGS - Üslü Sayılar - 10.Sayfa

Üslü Sayılar

1) Karışık işlemlerde izlenecek yol

2) Örnek 1

3) Örnek 2 (parantezli)

4) Negatif tabanlı karışık işlem