Numicorn logosuNumicornÖğren, paylaş, ilerle
TYTTYT MatematikSoru çözümleriTest çöz

Rutin Olmayan Problemler Konu Anlatımı

TYT Matematik rutin olmayan problemler, muhakeme soruları, yeni nesil testler ve farklı çözüm yöntemleriyle problem becerini geliştir.

1. bölüm

TYT & AYT - Rutin Olmayan Problemler - 11.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Rutin Olmayan Problemler - 11. Sayfa
11
Lise • TYT • AYT

Problemi Parçalara Bölme Stratejisi

1) Parçalara Bölme Nedir?

Karmaşık görünen bir problemi küçük ve daha basit parçalara bölmek çözümü kolaylaştırır. Her parça ayrı ayrı çözülür ve sonuçlar birleştirilir.

Genel yaklaşım:
Büyük problem = Küçük problem + Küçük problem

2) Örnek Problem

Problem
Bir kişi sabah 3 km, öğleden sonra 5 km yürümüştür. Toplam kaç km yürümüştür?
Parçalara bölelim:
Sabah yürüyüşü:
3
Öğleden sonra yürüyüşü:
5
Toplam:
3 + 5 8

3) Daha Zor Örnek

Problem
Bir sınıfta 12 kız ve 15 erkek öğrenci vardır. Toplam öğrenci sayısı kaçtır?
12 + 15 27

4) İleri Seviye Örnek

1'den 10'a kadar olan sayıların toplamı kaçtır?
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 55
Sayfa Özeti
  • Problemi küçük parçalara bölmek çözümü kolaylaştırır
  • Her parça ayrı çözülür
  • Sonuçlar birleştirilir
  • Karmaşık problemler sadeleşir
2. bölüm

TYT & AYT - Rutin Olmayan Problemler - 12.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Rutin Olmayan Problemler - 12. Sayfa
12
Lise • TYT • AYT

İnvariant Bulma (Değişmeyen Özellik)

1) İnvariant Nedir?

Adımlar ilerlese bile değişmeyen bir özellik yakalanır; problem bir anda “kilitlenir”.

Bazı rutin olmayan problemler bir işlem zinciri gibi ilerler: her adımda bir şey değişir, ama bazı şeyler hep aynı kalır. İşte bu değişmeyen özelliğe invariant denir.

İnvariant yakalama ipucu
  • Toplam mı değişiyor, fark mı değişiyor?
  • Tek-çiftlik (parite) değişiyor mu?
  • Kalan (mod) sabit mi?
  • Adım sayısı arttıkça “bir şey” aynı kalıyor mu?

2) Parite İnvariantı: Tek-Çift Değişmezliği

Problem
Bir sayı üzerinde şu işlem yapılıyor: Sayıya her adımda 2 ekleniyor. Başlangıç sayısı 7 ise, bu işlem kaç kez yapılırsa sayı çift olur?
İnvariant Analizi
2 eklemek tek-çiftliği değiştirmez. Çünkü tek sayıya 2 eklenince yine tek kalır; çift sayıya 2 eklenince yine çift kalır.
Başlangıç: 7 tek olduğundan, kaç kez 2 eklersek ekleyelim sayı hep tek kalır.
Sonuç
Bu işlemle sayı hiçbir zaman çift olmaz. Çünkü tek-çiftlik (parite) invarianttır.

3) Mod İnvariantı: Kalan Değişmezliği

Problem
Bir sayı her adımda 3 artırılıyor. Başlangıç sayısı 5 ise, bu sayı bir gün 2’ye tam bölünebilir mi?
Analiz
Burada “2’ye bölünebilme” tek-çiftliğe bağlıdır. 3 eklemek ise tek-çiftliği değiştirir (çünkü 3 tek sayıdır). Bu durumda parite invariant değildir; ama “mod 3” düşünmek daha anlamlıdır.
5’in 3 ile bölümünden kalan: 5 = 3 + 2 Yani kalan 2’dir.
Her adımda 3 eklemek, 3’e göre kalanı değiştirmez. Bu nedenle sayı hep 3’e göre 2 kalanlı kalır.
Önemli Nokta
İnvariant seçimi problem hedefiyle uyumlu olmalıdır. Burada asıl invariant “mod 3 kalanıdır”; 2’ye bölünebilme ise ayrı bir kontrol gerektirir.

4) Toplam İnvariantı: Parçala-Birleştir

Problem
Bir torbada toplam 40 bilye vardır. Her adımda 3 bilye maviye boyanıyor, 3 bilye de kırmızıya boyanıyor. Bu işlem yapılırken toplam bilye sayısı değişir mi?
İnvariant
Boyama işlemi bilyelerin rengini değiştirir, ama bilye sayısını değiştirmez. Bu nedenle toplam bilye sayısı invarianttır.
Sonuç
İşlem kaç kez yapılırsa yapılsın toplam bilye sayısı 40 olarak kalır.
Sayfa Özeti
  • İnvariant: adımlar ilerlese de değişmeyen özellik.
  • Parite (tek-çift) ve kalan (mod) sık kullanılan invariantlardır.
  • İnvariant seçimi, sorunun hedefiyle uyumlu olmalıdır.
  • Toplam, fark, parite, mod gibi büyüklükleri kontrol etmek iyi başlangıçtır.
3. bölüm

TYT & AYT - Rutin Olmayan Problemler - 13.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Rutin Olmayan Problemler - 13. Sayfa
13
Lise • TYT • AYT

Birden Fazla Değişkenle Denklem Kurma

1) Neden Birden Fazla Değişken Kullanılır?

Bazı problemlerde tek bir bilinmeyen yeterli değildir. Birden fazla büyüklük aynı anda değişiyorsa, her biri için ayrı değişken tanımlanır ve bir denklem sistemi kurulur.

Genel yapı:
Denklem 1 Denklem 2
Bu denklemler birlikte çözülerek bilinmeyenler bulunur.

2) Örnek: İki Sayının Toplamı ve Farkı

Problem
İki sayının toplamı 20, farkı 4'tür. Bu sayılar nedir?
Değişken tanımlayalım:
x = birinci sayı y = ikinci sayı
Denklemler:
x + y = 20 x − y = 4
Toplayalım:
2 x = 24 x = 24 2 12
y bulalım:
y = 20 − 12 8

3) Örnek: Para Problemi

Bir kişinin 5 TL ve 10 TL’lik toplam 6 parası vardır. Toplam para 40 TL’dir. Kaç tane 5 TL vardır?
x = 5 TL sayısı y = 10 TL sayısı
x + y = 6 5 x + 10 y = 40
x = 4 y = 2
Sayfa Özeti
  • Birden fazla bilinmeyen varsa birden fazla değişken kullanılır.
  • Her bilgi bir denklem oluşturur.
  • Denklemler birlikte çözülür.
  • Bu yöntem rutin olmayan problemlerde çok güçlüdür.
4. bölüm

TYT & AYT - Rutin Olmayan Problemler - 14.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Rutin Olmayan Problemler - 14. Sayfa
14
Lise • TYT • AYT

Örüntüden Formül Oluşturma Stratejisi

1) Örüntü Nedir?

Örüntü, belirli bir kurala göre ilerleyen sayı dizisidir. Bu dizideki kural bulunarak genel formül elde edilebilir.

Genel yapı:
a n = genel terim

2) Örnek: Basit Örüntü

Sayı dizisi:
2 , 4 , 6 , 8 , 10
Her adımda:
2
eklenmektedir.
Genel terim:
a n = 2 n

3) Örnek: Kare Sayılar

1 , 4 , 9 , 16 , 25
n 2

4) Daha Zor Örnek

3 , 6 , 9 , 12
a n = 3 n
Sayfa Özeti
  • Örüntü kuralı bulunur
  • Genel formül yazılır
  • Genel terim hesaplanır
  • Rutin olmayan problemlerde sık kullanılır
5. bölüm

TYT & AYT - Rutin Olmayan Problemler - 15.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Rutin Olmayan Problemler - 15. Sayfa
15
Lise • TYT • AYT

Ekstremum Düşünme Stratejisi (En Büyük - En Küçük)

1) Ekstremum Nedir?

Ekstremum, bir büyüklüğün alabileceği en büyük veya en küçük değeri ifade eder. Rutin olmayan problemlerde sınır değerleri incelemek çözümü kolaylaştırır.

Temel fikir:
Minimum değer ≤ Değer ≤ Maksimum değer

2) Örnek: En Büyük Değer

Bir torbada 3, 5 ve 7 sayıları vardır. Bu sayılardan biri seçilecektir. En büyük sayı nedir?
7

3) Örnek: En Küçük Değer

Sayılar: 8, 2, 11, 4
2

4) Rutin Olmayan Ekstremum Problemi

Bir sayı 10'dan büyük ve 20'den küçüktür. Bu sayı alabileceği en büyük değer nedir?
19

5) Kombinasyon ile Ekstremum

İki sayı toplamı 10'dur. En büyük sayı nedir?
9
Sayfa Özeti
  • Ekstremum en büyük veya en küçük değerdir
  • Sınırlar analiz edilir
  • Çözüm kolaylaşır
  • Rutin olmayan problemlerde güçlü yöntemdir
6. bölüm

TYT & AYT - Rutin Olmayan Problemler - 16.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Rutin Olmayan Problemler - 16. Sayfa
16
Lise • TYT • AYT

Çelişki Yöntemi ile Çözüm

1) Çelişki Yöntemi Nedir?

“Tersi doğru kabul edilirse imkânsız bir sonuç doğuyor mu?” diye bakılır.

Çelişki yöntemi, doğru olduğunu düşündüğümüz bir ifadeyi doğrudan kanıtlamak yerine, önce tersini doğru kabul edip bir çelişkiye ulaşmaya çalışır. Çelişki bulunursa başlangıçta kabul edilen ters ifade yanlıştır; böylece asıl ifade doğrudur.

Şema
Tersi doğru kabul et → mantık yürüt → çelişki bul → asıl ifade doğru

2) Örnek: “En Küçük” Varsayımı ile Çelişki

Problem
Bir doğal sayının 2 ile bölümünden kalan 1’dir. Bu sayı çift olabilir mi?
Tersi doğru kabul edelim
“Sayı çifttir” diyelim. Çift sayı 2’ye tam bölünür. Yani 2 ile bölümünden kalan 0 olmalıdır.
Oysa soruda kalan 1 deniyor. Bu iki durum aynı anda olamaz; çelişki oluşur.
Sonuç
Sayı çift olamaz. Demek ki sayı tektir.

3) Örnek: Koşullar Birlikte Olabilir mi?

Problem
Bir sayı hem 3’e hem 6’ya bölünebiliyor. Bu sayı 6’ya bölünemiyor olabilir mi?
Çelişki ile düşünelim
“6’ya bölünemiyor” varsayalım. Ama sayı 6’ya bölünebiliyor bilgisi verilmişti. Bu, doğrudan birbirine zıttır; yani çelişki oluşur.
Sonuç
Verilen koşullar gereği sayı mutlaka 6’ya bölünür. Bazı sorularda çelişki yöntemi, “olabilir mi?” sorusunu saniyeler içinde çözer.

4) Çelişki Yöntemi İçin İpuçları

  • Önce “tersini” net cümleyle yaz.
  • Verilen koşullarla birlikte düşün.
  • İmkânsız bir sonuç çıktıysa çelişki vardır.
  • Çelişki çıktıysa ters varsayım yanlıştır.
Mini Kontrol Sorusu
“Bir sayı hem tek hem çift olabilir” ifadesi doğru kabul edilirse ne olur? (Bu ifade tanım gereği çelişkilidir.)
Sayfa Özeti
  • Çelişki yöntemi: tersini doğru kabul et → çelişki yakala.
  • Koşullar birbiriyle uyuşmuyorsa hızlı eleme yapılır.
  • Özellikle “olabilir mi?” sorularında etkilidir.
  • Tanımlar (tek-çift, bölünebilme) çelişki bulmayı kolaylaştırır.
7. bölüm

TYT & AYT - Rutin Olmayan Problemler - 17.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Rutin Olmayan Problemler - 17. Sayfa
17
Lise • TYT • AYT

Geriye Doğru İzleme Stratejisi (Working Backwards)

1) Geriye Doğru İzleme Nedir?

Bu yöntemde problemin son durumu bilinir ve başlangıç durumuna ulaşmak için işlemler ters sırayla uygulanır.

Genel yapı:
Başlangıç → İşlemler → Sonuç
Çözüm:
Sonuç → Ters işlemler → Başlangıç

2) Örnek: Adım Adım İşlem

Bir sayı önce 4 ile çarpılıyor, sonra 6 ekleniyor. Sonuç 30 oluyor. Başlangıç sayısı nedir?
Sonuç: 30
−6 yapalım:
30 − 6 24
÷4 yapalım:
24 4 6

3) Çok Adımlı Örnek

Bir sayı önce 2 ile çarpılıyor, sonra 5 ekleniyor, sonra 3 ile çarpılıyor. Sonuç 45 oluyor.
45 3 15 15 − 5 10 10 2 5

4) Gerçek Hayat Problemi

Bir kişi parasının yarısını harcıyor, sonra 10 TL daha harcıyor. Sonunda 20 TL kalıyor. Başlangıçta kaç TL vardı?
20 + 10 30 30 × 2 60
Sayfa Özeti
  • Sonuçtan başlanır
  • Ters işlemler uygulanır
  • Başlangıç bulunur
  • Rutin olmayan problemlerde çok etkilidir
8. bölüm

TYT & AYT - Rutin Olmayan Problemler - 18.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Rutin Olmayan Problemler - 18. Sayfa
18
Lise • TYT • AYT

Tablo Oluşturarak Problem Çözme

1) Tablo Yöntemi Nedir?

Tablo yöntemi, karmaşık bilgileri düzenli hale getirerek çözümü kolaylaştırır. Özellikle birden fazla durumun karşılaştırılması gerektiğinde çok etkilidir.

Kullanım alanları:
  • Yaş problemleri
  • Hız problemleri
  • Olasılık problemleri
  • Durum sayma problemleri

2) Örnek: Yaş Problemi

Ali 10 yaşındadır. 5 yıl sonra yaşı kaç olur?
Zaman Yaş
Şimdi 10
5 yıl sonra 10 + 5
Sonuç 15

3) Örnek: Hız Problemi

Bir araç saatte 60 km hızla gidiyor. 2 saatte kaç km gider?
Zaman Mesafe
1 60
2 60 × 2
Sonuç 120

4) Durum Sayma Problemi

Durum Sonuç
1 A
2 B
3 C
Sayfa Özeti
  • Tablo yöntemi bilgileri düzenler
  • Karmaşık problemleri kolaylaştırır
  • Analizi hızlandırır
  • Rutin olmayan problemlerde çok etkilidir
9. bölüm

TYT & AYT - Rutin Olmayan Problemler - 19.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Rutin Olmayan Problemler - 19. Sayfa
19
Lise • TYT • AYT

Benzerlik Kurma Stratejisi (Analoji)

1) Benzerlik Kurma Nedir?

Zor bir problemi, bildiğin daha kolay bir probleme “benzeterek” çözüm yolu bulmaktır.

Rutin olmayan problemlerde en büyük zorluk, “nereden başlayacağını” bilememektir. Benzerlik kurma yöntemi, soruyu daha tanıdık bir yapıya dönüştürür.

Benzerlik ararken şunlara bak:
  • Problem “parça-parça” mı ilerliyor? (tablo, örüntü)
  • “Sonuçtan başlama” işe yarar mı? (geriye çalışma)
  • “Aynı tür işlem” tekrar ediyor mu? (döngü)
  • Tek-çiftlik, kalan, toplam gibi sabit bir özellik var mı? (invariant)

2) Örnek: Büyük Problemi Küçükle Benzet

Problem
1’den 50’ye kadar olan sayılardan kaç tanesi 3’e bölünür?
Benzer (küçük) problem
1’den 12’ye kadar olan sayılardan kaç tanesi 3’e bölünür? Bölünenler: 3, 6, 9, 12 → 4 tane.
Buradan “her 3 sayıda 1 tane” fikri çıkar.
Genelleme
1’den 50’ye kadar 50 sayı vardır. Her 3 sayıda 1 tane 3’ün katı olur. Burada 50’nin içinde kaç tane 3’lük grup var diye bakılır.
(Bu tür sorularda en hızlı yol, 50’den küçük en büyük 3’ün katını bulmaktır.)
50’den küçük en büyük 3’ün katı:
48
Sayılar:
3 , 6 , 9 , … , 48
Kaç tane olduğunu bulmak için:
48 3 = 16
Sonuç
1’den 50’ye kadar 3’e bölünen sayı sayısı: 16

3) Örnek: “Aynı Yapı”yı Yakala

Problem
Bir sayı her adımda önce 2 ile çarpılıyor, sonra 2 ekleniyor. Başlangıç 1 ise 4. adım sonunda sayı kaç olur?
Benzerlik
Bu yapı “tekrarlı işlem”dir. Daha önce tablo kurma stratejisindeki gibi adım adım ilerlemek uygundur.
Adım Değer İşlem
0 1 Başlangıç
1 4 2×1 + 2
2 10 2×4 + 2
3 22 2×10 + 2
4 46 2×22 + 2
Sonuç
46

4) Benzerlik Kurma İçin Mini Kontrol Listesi

  • Önce küçük sayılarla dene.
  • Problemi bildiğin bir kalıba dönüştür: tablo, denklem, örüntü.
  • Tekrarlı işlem varsa adım adım izle.
  • “Bu soru bana neyi hatırlatıyor?” sorusunu sor.
Sayfa Özeti
  • Benzerlik kurma, zor soruyu tanıdık bir yapıya çevirir.
  • Küçük problem çöz → kuralı yakala → genelle.
  • Tekrarlı işlemlerde tablo kurmak çok etkilidir.
  • “Hatırlattığı soru tipi” çözüm stratejisini seçtirir.
10. bölüm

TYT & AYT - Rutin Olmayan Problemler - 20.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Rutin Olmayan Problemler - 20. Sayfa
20
Lise • TYT • AYT

Rutin Olmayan Problemler – Final Strateji Özeti

1) Tüm Stratejilerin Özeti

Problemi anlamak
Şekil çizmek
Tablo oluşturmak
Denklem kurmak
Geriye doğru çözmek

2) Final Örnek Problem

Bir sayı önce 3 ile çarpılıyor, sonra 9 ekleniyor. Sonuç 24 oluyor. Başlangıç sayısı nedir?
−9 yapalım: 24 − 9 15 ÷3 yapalım: 15 3 5

3) Problem Çözme Algoritması

Problemi dikkatlice oku
Bilgileri yaz
Strateji seç
Çöz
Kontrol et
Önemli Gerçek
Rutin olmayan problemler ezberle değil, düşünme ile çözülür.
TEBRİKLER
Artık rutin olmayan problemleri çözmek için gerekli tüm stratejileri öğrendin.
∞