1. bölüm

TYT & AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 1.Sayfa

Lise - TYT - AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 1. Sayfa

Lise · TYT · AYT

2. Dereceden Eşitsizlikler

1. Sayfa — Temel Seviye: kavramlar, grafik fikri ve işaret tablosu mantığı

Amaç

2. dereceden bir ifadeyi (parabol) “0’a göre” yorumlayıp > 0, ≥ 0, < 0, ≤ 0 koşullarını kökler ve işaret ile bulmayı öğreneceğiz.

1) 2. dereceden ifade nedir?

Genel biçim: $f (x) = a x^{2} + b x + c$

Parabolun yönü (çok kritik)

a > 0 ise parabol yukarı açılır.
a < 0 ise parabol aşağı açılır.

2) Eşitsizlik ne demek?

“2. dereceden eşitsizlik” dediğimiz şey, şu tip sorulardır:

Örnek biçimler

a x^{2} + b x + c > 0

a x^{2} + b x + c \geq 0

a x^{2} + b x + c < 0

a x^{2} + b x + c \leq 0

Yorum

Aslında “parabolun x-ekseni ile ilişkisi” sorulur: üstte mi, altta mı, temas mı ediyor?

3) Kök fikri: “0 yapan x değerleri”

Bir 2. dereceden ifadeyi eşitsizlikte çözmenin temel adımı: önce eşitliğini düşünmek:

Temel adım

a x^{2} + b x + c = 0

denklemine ait kökler bulunursa, parabolun işareti bu köklerin sağında-solunda belirlenebilir.

4) İşaret tablosu mantığı (en pratik yöntem)

Kökler parabolun x-ekseniyle kesiştiği (veya değdiği) yerlerdir. Kökler bilindiğinde, sayı doğrusunu parçalara ayırırız ve her parçada ifadenin pozitif mi negatif mi olduğuna bakarız.

Altın kural

Parabol kökler arasında bir işarettedir, köklerin dışında başka bir işarettedir.
Hangi tarafın “+” olduğunu a (açılım yönü) belirler.

5) Üç temel durum (diskriminant fikri)

2. dereceden denklemin kök sayısı çözüm kümelerini doğrudan etkiler. Kök sayısı genelde diskriminant ile anlaşılır:

Diskriminant

Δ = b^{2} - 4 a c

Δ > 0: 2 farklı gerçek kök (sayı doğrusu 3 bölge).
Δ = 0: 1 çift katlı kök (teğet, sayı doğrusu 2 bölge).
Δ < 0: gerçek kök yok (parabol hep aynı işaret).

6) Mini örnek (temel)

Soru

x^{2} - 5 x + 6 > 0

eşitsizliğini çöz.

Çözüm fikri

Önce eşitliğin köklerini bul: $x^{2} - 5 x + 6 = 0$
Çarpanlara ayır: $(x - 2) (x - 3) = 0$ → kökler: 2 ve 3
a=1 > 0 olduğundan parabol yukarı açılır. Bu yüzden köklerin dışında (+), köklerin arasında (−) olur.
Biz > 0 istiyoruz → köklerin dışı: $x < 2 veya x > 3$

Dikkat: > ve ≥ farkı

Eğer soru

x^{2} - 5 x + 6 \geq 0

olsaydı, kökler de dahil olurdu:

x \leq 2 veya x \geq 3

2. bölüm

TYT & AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 2.Sayfa

Lise - TYT - AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 2. Sayfa

Temel Kavram

İşaret Tablosu Nasıl Kurulur?

2. dereceden eşitsizlik çözmenin en önemli yöntemi

İşaret tablosu nedir?

Bir ifadenin sayı doğrusunun hangi aralıklarında pozitif (+) veya negatif (−) olduğunu gösteren yöntemdir.

Örnek üzerinden öğrenelim

Verilen ifade:

x^{2} - 5 x + 6

Adım 1: Kökleri bul

Önce eşitliğini çözeriz:

x^{2} - 5 x + 6 = 0

Çarpanlara ayır:

(x - 2) (x - 3) = 0

Kökler: 2 ve 3

Adım 2: Sayı doğrusuna yerleştir

Sayı doğrusu üç bölgeye ayrılır:

x < 2 2 < x < 3 x > 3

Adım 3: Parabol yönünü belirle

En baştaki katsayı:

a = 1

Bu pozitif olduğu için parabol yukarı açılır.

Adım 4: İşaretleri belirle

Yukarı açılan parabolde:

Köklerin dışı → pozitiftir (+)
Köklerin arası → negatiftir (−)

Son işaret tablosu:

(+) | (−) | (+)

−∞ 2 3 +∞

Kritik kural

a > 0 ise:
dış bölgeler pozitiftir, iç bölge negatiftir.

3. bölüm

TYT & AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 3.Sayfa

Lise - TYT - AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 3. Sayfa

Temel Seviye

Çözüm Kümesini Aralık Olarak Yazma

İşaret tablosundan matematiksel çözüm kümesine geçiş

Amaç

İşaret tablosunu kurduktan sonra, eşitsizliği sağlayan x değerlerini matematiksel aralık biçiminde yazmayı öğreneceğiz.

Örnek eşitsizlik

x^{2} - 5 x + 6 > 0

Hatırlatma

Kökler: 2 ve 3

İşaret tablosu:

(+) | (−) | (+)
−∞ 2 3 +∞

Ne istiyoruz?

İfade 0'dan büyük olduğu bölgeler.

Pozitif olan bölgeler:

x < 2
x > 3

Aralık gösterimi

(−∞, 2) ∪ (3, +∞)

Kritik bilgi

İşaret: > olduğu için kökler dahil değildir.

Eğer ≥ olsaydı

(−∞, 2] ∪ [3, +∞)

Özet

> ve < → kökler dahil değildir
≥ ve ≤ → kökler dahildir

4. bölüm

TYT & AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 4.Sayfa

Lise - TYT - AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 4. Sayfa

Temel Seviye

a < 0 ise işaret nasıl değişir?

Parabol aşağı açıldığında pozitif-negatif bölgeleri tersine döner

Ana fikir

Eğer a < 0 ise parabol aşağı açılır. Bu durumda köklerin dışı negatif, arası pozitif olur.

Örnek

Eşitsizlik:

- x^{2} + 5 x - 6 \geq 0

Adım 1: Kökleri bul (eşitlikten)

Eşitlik:

- x^{2} + 5 x - 6 = 0

İşaretle uğraşmamak için her iki tarafı −1 ile çarparız. (Bu işlem eşitlikte sorun çıkarmaz.)

x^{2} - 5 x + 6 = 0

Bu denklemin kökleri yine 2 ve 3.

Adım 2: İşaret tablosu (a < 0)

Burada a = −1 olduğu için parabol aşağı açılır.

İşaretler:

(−) | (+) | (−)
−∞ 2 3 +∞

Adım 3: İstenen eşitsizlik (≥ 0)

Biz ≥ 0 istediğimiz için pozitif olan bölgeyi ve kökleri alırız.

Çözüm:

2 \leq x \leq 3

Aralık gösterimi: [2, 3]

Sık yapılan hata

“Kökler aynıysa işaret tablosu da aynı” zannedilir. Oysa a’nın işareti değişince pozitif/negatif bölgeler tersine döner.

Özet

a > 0 → (+) | (−) | (+)
a < 0 → (−) | (+) | (−)

5. bölüm

TYT & AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 5.Sayfa

Lise - TYT - AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 5. Sayfa

Temel Seviye

Δ < 0 ise ne olur?

Gerçek kök yoksa parabol x-ekseniyle kesişmez: işaret her yerde aynıdır

Ana fikir

Eğer Δ < 0 ise denklem gerçek köke sahip değildir. Bu yüzden ifade hiçbir noktada 0 olmaz ve sayı doğrusu boyunca hep aynı işarettedir.

Diskriminant hatırlatma

Δ = b^{2} - 4 a c

Δ < 0 → iki kök yok → sayı doğrusunda bölünme yok.

Örnek 1: Her yerde pozitif mi?

Eşitsizlik:

x^{2} + 2 x + 5 > 0

1) Δ’yı kontrol et

Burada a=1, b=2, c=5.

Δ = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = - 16

Δ < 0 → gerçek kök yok.

2) İşaret nasıl bulunur?

Gerçek kök yoksa ifade hiç 0 olmaz. O hâlde sadece a’nın işareti belirleyicidir:

a > 0 ise parabol yukarıda kalır → ifade her yerde pozitif.
a < 0 ise parabol aşağıda kalır → ifade her yerde negatif.

Sonuç

Burada a=1 > 0. Bu yüzden ifade her x için pozitiftir. Dolayısıyla eşitsizlik tüm gerçek sayılarda sağlanır.

Çözüm kümesi: (−∞, +∞)

Örnek 2: Her yerde negatif mi?

Eşitsizlik:

- x^{2} - 4 x - 7 \leq 0

Hızlı analiz

a = −1 (aşağı açılır).
Bu tip ifadelerde (Δ < 0 olduğunda) işaret her yerde aynı olur.
Aşağı açılan ve x-ekseniyle kesişmeyen parabol tamamen aşağıdadır → ifade her yerde negatif.

Bu eşitsizlik: “≤ 0” istediği için tüm gerçek sayılar çözüm olur.

Dikkat

Δ < 0 durumunda “kök bulamadım, o zaman çözüm yok” demek yanlıştır. Kök yoksa işaret değişmediği için çoğu eşitsizlikte çözüm ya hepsi ya da hiçbiri olur.

6. bölüm

TYT & AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 6.Sayfa

Lise - TYT - AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 6. Sayfa

Orta Seviye

Δ = 0 Durumu (Çift Katlı Kök)

Parabol x-ekseni ile sadece bir noktada temas eder

Ana fikir

Eğer Δ = 0 ise denklem tek bir gerçek köke sahiptir. Bu köke çift katlı kök denir.

Parabol x-ekseni ile sadece bir noktada temas eder fakat kesmez.

Örnek denklem

x^{2} - 4 x + 4 = 0

Diskriminant hesaplayalım

Δ = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0

Çarpanlara ayıralım

(x - 2) (x - 2) = 0

Yani:

(x - 2)^{2} = 0

Tek kök: x = 2

İşaret analizi

Parabol yukarı açılır çünkü a > 0

(+) 0 (+)
−∞ 2 +∞

İfade sadece x = 2 noktasında sıfır olur, diğer tüm değerlerde pozitiftir.

Eşitsizlik sonuçları

Eğer:

> 0 → çözüm: x ≠ 2

≥ 0 → çözüm: tüm gerçek sayılar

< 0 → çözüm: çözüm yok

≤ 0 → çözüm: x = 2

Kritik sonuç

Δ = 0 durumunda işaret değişmez. Sadece tek noktada sıfır olur.

7. bölüm

TYT & AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 7.Sayfa

Lise - TYT - AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 7. Sayfa

Temel Yöntem

Çarpanlara Ayırarak Eşitsizlik Çözme

En hızlı ve en çok kullanılan yöntem

Temel prensip

Bir 2. dereceden eşitsizlik çözmenin en kolay yolu:

Çarpanlara ayır
Kökleri bul
İşaret tablosu kur
İstenen aralıkları seç

Örnek

Eşitsizlik:

x^{2} - x - 6 < 0

Adım 1: Çarpanlara ayır

(x - 3) (x + 2) < 0

Adım 2: Kökleri bul

x = 3

x = - 2

Adım 3: Sayı doğrusu bölünür

−∞ −2 3 +∞

Adım 4: İşaret tablosu

(+) | (−) | (+)

Adım 5: İstenen bölge

İfade < 0 olduğu için negatif bölge alınır.

- 2 < x < 3

Aralık gösterimi

(−2, 3)

Kritik bilgi

a > 0 ise işaret sırası her zaman:

(+) → (−) → (+)

8. bölüm

TYT & AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 8.Sayfa

Lise - TYT - AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 8. Sayfa

Orta Seviye

a < 0 iken çarpan yöntemi

Eşitsizliği doğru yönde tutmak ve işaret tablosunu ters düşünmek

Ana fikir

a < 0 olduğunda parabol aşağı açılır. Bu yüzden “köklerin dışı” ve “köklerin arası” işaretleri yer değiştirir.

Ayrıca eşitsizlikte her iki tarafı negatif bir sayı ile çarparsan, eşitsizlik yönü değişir.

Yön değiştirme kuralı

Eğer k < 0 ise:

A < B

eşitsizliğinin her iki tarafı k ile çarpılırsa:

k A > k B

olur.

Örnek

Eşitsizlik:

- x^{2} + x + 6 < 0

Adım 1: −1 ile çarp (yön değişir)

Sol tarafı çarpanlara ayırmadan önce işareti sadeleştirmek isteyebiliriz. Her iki tarafı −1 ile çarpalım. Bu sırada < işareti > olur.

x^{2} - x - 6 > 0

Adım 2: Çarpanlara ayır

(x - 3) (x + 2) > 0

Kökler: −2 ve 3

Adım 3: İşaret tablosu

Burada yeni yazdığımız ifade a = 1 > 0 biçiminde olduğu için işaret sırası: (+)|(−)|(+) olur.

(+) | (−) | (+)

−∞ −2 3 +∞

Adım 4: > 0 isteniyor

Pozitif bölgeler köklerin dışıdır:

x < - 2 veya x > 3

Aralık: (−∞, −2) ∪ (3, +∞)

Hızlı kontrol (yanlış yapmamak için)

Bir aralıktan basit bir değer seçip sol tarafta dene. Örneğin x = 0 için:

İlk eşitsizlikte

- 0^{2} + 0 + 6

pozitiftir, yani 0 çözümde olmalı mı diye kontrol edebilirsin.

Özet

Negatif sayı ile çarpmak → eşitsizlik yönünü değiştirir.
İşareti sadeleştir, kökleri bul, tabloyu kur, aralığı yaz.

9. bölüm

TYT & AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 9.Sayfa

Lise - TYT - AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 9. Sayfa

Orta Seviye

Tam Kareye Tamamlama Yöntemi

Çarpanlara ayrılamayan ifadelerde kullanılan güçlü yöntem

Ne zaman kullanılır?

Eğer ifade kolayca çarpanlara ayrılamıyorsa, ifadeyi tam kare biçimine getirerek işaret analizi yapabiliriz.

Örnek

Eşitsizlik:

x^{2} + 4 x + 5 > 0

Adım 1: İlk iki terimi incele

x^{2} + 4 x

ifadesi tam kareye dönüştürülebilir.

Adım 2: Tam kare oluştur

Bunun için:

2

sayısının karesi eklenir ve çıkarılır.

x^{2} + 4 x + 4 + 1 > 0

Adım 3: Tam kare biçimi

(x + 2)^{2} + 1 > 0

Kritik analiz

(x + 2)^{2}

ifadesi her zaman ≥ 0 olur.

Üzerine +1 eklendiği için ifade her zaman pozitiftir.

Sonuç

Çözüm kümesi:

(−∞, +∞)

Kritik sonuç

Tam kare biçimi:

kare ifade ≥ 0
üzerine pozitif sayı eklenirse → her zaman pozitiftir

10. bölüm

TYT & AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 10.Sayfa

Lise - TYT - AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 10. Sayfa

Grafik Yorumu

Grafik (Parabol) Yorumu ile Çözüm

Eşitsizlikleri görsel mantıkla anlamanın en güçlü yolu

Ana prensip

2. dereceden ifade bir parabol grafiğidir.

Eşitsizlik çözmek demek:
parabolun x-ekseni üstünde mi, altında mı olduğunu bulmak demektir.

Grafik ve eşitsizlik ilişkisi

Grafik x-ekseni üstündeyse → pozitif
Grafik x-ekseni altındaysa → negatif
Grafik x-ekseni üzerindeyse → 0

Örnek

Eşitsizlik:

x^{2} - 4 > 0

Adım 1: Kökleri bul

x^{2} - 4 = 0

x = − 2

x = 2

Grafik yorumu

Parabol yukarı açılır çünkü:

a = 1

Grafik köklerin dışında x-ekseni üstündedir.

Pozitif bölgeler

x < - 2

x > 2

Aralık gösterimi

(−∞, −2) ∪ (2, +∞)

Kritik grafik kuralı

Yukarı açılan parabol:

köklerin dışında pozitiftir
köklerin arasında negatiftir