Numicorn logosuNumicornÖğren, paylaş, ilerle
AYTAYT MatematikSoru çözümleriTest çöz

Diziler Konu Anlatımı

AYT Matematik diziler konu anlatımı, aritmetik ve geometrik diziler, genel terim, toplam formülleri ve çözümlü testler.

1. bölüm

TYT & AYT - Diziler - 1.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Diziler - 1. Sayfa
Lise • TYT • AYT

Diziler

1. Sayfa • Temel kavramlar, gösterimler ve ilk örnekler

1) Dizi Nedir?

Diziler, belirli bir kurala göre sıralanmış sayıların oluşturduğu listelerdir.

!
Temel fikir
Dizi, bir fonksiyon gibi düşünülebilir: Her doğal sayıya (indise) bir değer (terim) karşılık gelir.
En yaygın gösterim: (an) veya {an}
Örnek Gösterim

“a1 birinci terim, a2 ikinci terim, …, an n’inci terim” şeklinde okunur.

2) Terim, İndis ve Tanım Kümesi

  • Terim (an): Dizinin n’inci elemanıdır.
  • İndis (n): Terimin “kaçıncı” olduğunu belirten sayıdır.
  • Başlangıç indisi: Bazı diziler n=1’den, bazıları n=0’dan başlar.
Not

Dizilerde “ilk terim” ifadesi, çoğu zaman a1 anlamına gelir; fakat soru özellikle “n=0’dan başlayan” bir dizi veriyorsa ilk terim a0 olur.

3) Dizi Nasıl Tanımlanır?

TYT-AYT’de en sık üç tanımlama yöntemi görülür.

A) Açık (Genel) Terim
Her n için terimi doğrudan veren formül: an = …
Örnek: an = 2n + 1 ise dizi tek sayıları üretir.
B) Özyinelemeli (Recursive) Tanım
İlk terim(ler) verilir, sonraki terim bir önceki(ler) ile ilişkilendirilir.
Örnek: a1=3, an+1=an+2 ise her adımda 2 artan bir dizi oluşur.
C) Liste / Noktalı Gösterim
İlk birkaç terim yazılır, desen anlaşılır: 1, 4, 9, 16, …
Bu örnek, kare sayılardır: an=n².

4) İlk Terimleri Bulma (Temel)

Örnek 1

an = 2n + 1 dizisinin a1, a2, a3, a4 terimlerini bulalım.

Çözüm
n=1 için: a1 = 2·1 + 1 = 3
n=2 için: a2 = 2·2 + 1 = 5
n=3 için: a3 = 2·3 + 1 = 7
n=4 için: a4 = 2·4 + 1 = 9
Sonuç: 3, 5, 7, 9, …
Örnek 2

a1=4 ve an+1=an+3 olan dizinin ilk 5 terimini yazalım.

Çözüm
a1 = 4
a2 = a1 + 3 = 4 + 3 = 7
a3 = a2 + 3 = 7 + 3 = 10
a4 = a3 + 3 = 10 + 3 = 13
a5 = a4 + 3 = 13 + 3 = 16
Sonuç: 4, 7, 10, 13, 16, …

5) “Bu Terim Kaçıncı Terim?” Mantığı

Bazen terim değeri verilir ve o değerin dizide kaçıncı sırada olduğu sorulur. Bu tür sorularda genel terimden yararlanıp n’i buluruz.

Mini Örnek

an = 2n + 1 dizisinde an = 31 ise n kaçtır?

Çözüm
2n + 1 = 31
2n = 30
n = 15
Sonuç: 31, dizinin 15. terimidir.
Bu sayfadan akılda kalacaklar
  • Dizi: indis → terim eşlemesi yapan bir yapı.
  • an genel terim, a1/a0 başlangıç terimi olabilir.
  • Açık terim, özyinelemeli tanım ve liste gösterimi sık kullanılır.
Diziler
Sayfa 1 / 20
2. bölüm

TYT & AYT - Diziler - 2.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Diziler - 2. Sayfa
Lise • TYT • AYT

Diziler

2. Sayfa • Genel Terim Kavramı ve Terim Bulma

1) Genel Terim (aₙ) Nedir?

Dizinin her terimini doğrudan bulmamızı sağlayan matematiksel ifadeye genel terim denir.

Genel gösterim:
an = matematiksel ifade

Bu ifade sayesinde dizinin istediğimiz herhangi bir terimini doğrudan bulabiliriz.

2) Örnek: Genel Terimden Terim Bulma

Verilen dizi:
an = 3n
İlk 5 terimi bulalım:
a1 = 3 × 1 = 3
a2 = 3 × 2 = 6
a3 = 3 × 3 = 9
a4 = 3 × 4 = 12
a5 = 3 × 5 = 15
Dizi: 3, 6, 9, 12, 15, ...

3) Örnek: Genel Terimi Negatif Olan Dizi

Verilen:
an = −2n
İlk 4 terimi bulalım:
a1 = −2
a2 = −4
a3 = −6
a4 = −8
Dizi: −2, −4, −6, −8, ...

4) Örnek: Kare Dizisi (MathML)

Verilen:
a n = n 2
İlk 5 terimi:
1, 4, 9, 16, 25, ...
Özet
  • Genel terim, dizinin her terimini bulmamızı sağlar.
  • an içine n değeri yazılarak terim bulunur.
  • Genel terim sayesinde dizinin herhangi bir terimi hesaplanabilir.
Diziler
Sayfa 2 / 20
3. bölüm

TYT & AYT - Diziler - 3.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Diziler - 3. Sayfa
Lise • TYT • AYT

Diziler

3. Sayfa • Sabit Diziler ve Artan-Azalan Diziler

1) Sabit (Constant) Dizi

Tüm terimleri aynı olan dizilere sabit dizi denir.

Genel form:
a n = c
c sabit bir sayıdır.
Örnek:
a n = 5
Dizi:
5, 5, 5, 5, 5, ...

2) Artan (Increasing) Dizi

Her terimi kendinden sonraki terimden küçük olan dizilere artan dizi denir.

a n < a n + 1
Örnek:
2, 4, 6, 8, 10, ...

3) Azalan (Decreasing) Dizi

Her terimi kendinden sonraki terimden büyük olan dizilere azalan dizi denir.

a n > a n + 1
Örnek:
20, 15, 10, 5, 0, ...
Önemli Not
Sabit diziler hem artan hem azalan olarak kabul edilmez.
Örnek:
7, 7, 7, 7, ...

4) Örnek Soru

Verilen dizi:
a n = − n
Bu dizi artan mı, azalan mı?
−1, −2, −3, −4, ...
Azalan dizidir.
Diziler
Sayfa 3 / 20
4. bölüm

TYT & AYT - Diziler - 4.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Diziler - 4. Sayfa
Lise • TYT • AYT

Diziler

4. Sayfa • Aritmetik Dizi: Tanım, Özellikler ve Örnekler

1) Aritmetik Dizi Nedir?

Ardışık iki terim arasındaki farkın sabit olduğu dizilere aritmetik dizi denir.

Ortak fark (d):
d = an+1 − an
Eğer d her n için aynı kalıyorsa dizi aritmetiktir.
Önemli gösterim:
a1, a2, a3, ... aritmetik dizi ise an şu şekilde yazılabilir:
an = a1 + (n−1) d

2) Örnek 1: Ortak Farkı Bulma

Dizi: 5, 9, 13, 17, ...
Ardışık iki terim arasındaki fark:
9 − 5 = 4
13 − 9 = 4
17 − 13 = 4
Ortak fark: d = 4

3) Örnek 2: n’inci Terim Bulma

Bir aritmetik dizide:
a1 = 7, d = 3
a10 değerini bulalım.
Formül:
a10 = a1 + (10−1) d
a10 = 7 + (9)·3 = 7 + 27 = 34
Sonuç: a10 = 34
TYT İpucu

Aritmetik dizilerde en sık yapılan hata, (n−1) yerine yanlışlıkla n yazmaktır. Çünkü a1 ile an arasında n−1 tane “adım” vardır.

Diziler
Sayfa 4 / 20
5. bölüm

TYT & AYT - Diziler - 5.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Diziler - 5. Sayfa
Lise • TYT • AYT

Diziler

5. Sayfa • Aritmetik Dizide Bilinmeyen Terim ve Ortak Fark Bulma

1) Bilinmeyen Terim Bulma Mantığı

Aritmetik dizide bilinmeyen terimler genellikle şu formül kullanılarak bulunur:

an = a1 + ( n − 1 ) d
Bu formül sayesinde herhangi bir terim hesaplanabilir.

2) Örnek 1: Ortak Farkı Bulma

Verilen dizi:
6, 10, 14, 18, ...
Ortak fark:
10 − 6 = 4
14 − 10 = 4
18 − 14 = 4
Ortak fark d = 4

3) Örnek 2: Bilinmeyen Terimi Bulma

a1 = 5
d = 3
an = 35
n kaçtır?
35 = 5 + ( n − 1 ) 3
35 − 5 = 30
30 = (n − 1) × 3
10 = n − 1
n = 11
Sonuç: 35 sayısı dizinin 11. terimidir.

4) Örnek 3: Eksik Terimi Bulma

Dizi:
4, ?, 12
Ortak fark sabittir.
Toplam artış: 12 − 4 = 8
İki adım vardır.
d = 4
Eksik terim:
4 + 4 = 8
Eksik terim = 8
TYT-AYT İpucu
Aritmetik dizilerde ortak fark her zaman sabittir. Eğer sabit değilse dizi aritmetik değildir.
Diziler
Sayfa 5 / 20
6. bölüm

TYT & AYT - Diziler - 6.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Diziler - 6. Sayfa
Lise • TYT • AYT

Diziler

6. Sayfa • Aritmetik Dizide Ortanca Terim ve Özellikleri

1) Ortanca Terim Nedir?

Aritmetik dizide ortada bulunan terime ortanca terim denir.

Örnek:
2, 6, 10
Ortanca terim: 6

2) Ortanca Terim Özelliği

Aritmetik dizide ortanca terim, komşu iki terimin aritmetik ortalamasına eşittir.

an = a n − 1 + a n + 1 2

3) Örnek 1

Dizi:
4, x, 10
x değerini bulalım.
x = 4 + 10 2
x = 14 / 2
x = 7
Sonuç: x = 7

4) Örnek 2

Dizi:
3, 9, x
x değerini bulalım.
Ortak fark:
9 − 3 = 6
x = 9 + 6
x = 15
Sonuç: x = 15
TYT İpucu
Aritmetik dizide ortanca terim her zaman komşu terimlerin ortalamasıdır.
Diziler
Sayfa 6 / 20
7. bölüm

TYT & AYT - Diziler - 7.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Diziler - 7. Sayfa
Lise • TYT • AYT

Diziler

7. Sayfa • Aritmetik Dizide Genel Terim Türetme

1) Aritmetik Dizide Genel Terim Nasıl Bulunur?

Aritmetik dizide genel terim, ilk terim ve ortak fark kullanılarak bulunur.

Genel formül:
a n = a 1 + ( n − 1 ) d

2) Örnek 1

Dizi:
4, 7, 10, 13, ...
Genel terimi bulalım.
İlk terim:
a1 = 4
Ortak fark:
d = 3
Formülde yerine yazalım:
an = 4 + ( n − 1 ) 3
Genel terim bulunmuştur.

3) Örnek 2

Dizi:
12, 9, 6, 3, ...
Genel terimi bulalım.
İlk terim:
a1 = 12
Ortak fark:
d = −3
an = 12 + ( n − 1 ) − 3
Genel terim elde edildi.
Özet
  • Genel terim, ilk terim ve ortak fark ile bulunur.
  • Formül her aritmetik dizide geçerlidir.
  • Bu formül TYT ve AYT’de çok sık kullanılır.
Diziler
Sayfa 7 / 20
8. bölüm

TYT & AYT - Diziler - 8.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Diziler - 8. Sayfa
Lise • TYT • AYT

Diziler

8. Sayfa • Aritmetik Dizide İki Terim Arasındaki İlişki

1) İki Terim Arasındaki Genel Bağıntı

Aritmetik dizide herhangi iki terim arasında şu ilişki vardır:

a n = a k + ( n − k ) d
Bu formül, ilk terim bilinmese bile işlem yapmamızı sağlar.

2) Örnek 1

Verilen:
a3 = 7
d = 4
a8 değerini bulalım.
a8 = 7 + ( 8 − 3 ) 4
a8 = 7 + 5 × 4
a8 = 7 + 20
a8 = 27
Sonuç: a8 = 27

3) Örnek 2

Verilen:
a5 = 20
a9 = 36
Ortak farkı bulalım.
36 − 20 = 16
Adım sayısı:
9 − 5 = 4
Ortak fark:
d = 4
Ortak fark bulunmuştur.

4) Örnek 3

a2 = 5
a6 = 21
d değerini bulalım.
21 − 5 = 16
6 − 2 = 4
d = 4
Sonuç: d = 4
Diziler
Sayfa 8 / 20
9. bölüm

TYT & AYT - Diziler - 9.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Diziler - 9. Sayfa
Lise • TYT • AYT

Diziler

9. Sayfa • Aritmetik Dizide Terim Sayısı Bulma

1) Terim Sayısı Nedir?

Bir aritmetik dizide kaç tane terim olduğunu bulmak için genel terim formülü kullanılır.

a n = a 1 + ( n − 1 ) d
Bu formül kullanılarak n bulunur.

2) Örnek 1

Dizi:
3, 7, 11, ..., 51
Terim sayısını bulalım.
İlk terim:
a1 = 3
Ortak fark:
d = 4
Son terim:
an = 51
51 = 3 + ( n − 1 ) 4
48 = (n − 1) × 4
12 = n − 1
n = 13
Terim sayısı = 13

3) Örnek 2

Dizi:
5, 10, 15, ..., 100
Terim sayısını bulalım.
a1 = 5
d = 5
an = 100 100 = 5 + ( n − 1 ) 5
95 = (n − 1) × 5
19 = n − 1
n = 20
Terim sayısı = 20
TYT-AYT İpucu
Terim sayısı sorularında en sık yapılan hata, (n − 1) ifadesini unutmak veya yanlış hesaplamaktır.
Diziler
Sayfa 9 / 20
10. bölüm

TYT & AYT - Diziler - 10.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Diziler - 10. Sayfa
Lise • TYT • AYT

Diziler

10. Sayfa • Aritmetik Dizi Toplamı (Sn) ve Temel Uygulamalar

1) Aritmetik Dizide Toplam (Sn)

İlk n terimin toplamı, birçok problemde hızlı çözüm sağlar.

Aritmetik dizinin ilk n teriminin toplamı şu formülle bulunur:

S n = n ( a1 + an ) 2
Aynı formül, “ilk ve son terimin ortalaması × terim sayısı” mantığıyla da hatırlanabilir.
2) Neden Bu Formül Çalışır?

Aritmetik dizide ilk ve son terim toplanınca sabit bir sayı elde edilir. Terimleri baştan ve sondan eşleştirince her eşleşme aynı toplamı verir. Bu yüzden toplam, eşleşme sayısı ile bu sabit toplamın çarpımına dayanır.

3) Örnek 1: Toplam Bulma

Dizi: 3, 7, 11, ..., 51
Önce terim sayısını bulalım (Sayfa 9 mantığı):
a1 = 3, d = 4, an = 51
51 = 3 + (n − 1)·4 → 48 = (n − 1)·4 → n − 1 = 12 → n = 13
Şimdi toplam:
S13 = 13 ( 3 + 51 ) 2
S13 = 13 · (54 / 2)
S13 = 13 · 27 = 351
Sonuç: Toplam = 351

4) Örnek 2: Hızlı Toplam

Dizi: 10, 12, 14, ..., 50
Terim sayısı:
a1 = 10, d = 2, an = 50
50 = 10 + (n − 1)·2 → 40 = (n − 1)·2 → n − 1 = 20 → n = 21
Toplam:
S21 = 21 ( 10 + 50 ) 2
S21 = 21 · 30 = 630
Sonuç: Toplam = 630
Diziler
Sayfa 10 / 20