1. bölüm

TYT & AYT - Parabol - 1.Sayfa

Parabol - 1. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Parabol

Bu sayfada parabole giriş yapacağız: parabol nedir, nasıl tanınır, grafiği nasıl okunur ve temel parçaları nelerdir.

1

1) Parabol Nedir?

Parabol, ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiğidir. En temel biçimi:

Temel Denklem

y = a x^{2} + b x + c

Burada a sıfır olamaz. Çünkü a=0 olursa ifade ikinci dereceden olmaktan çıkar.

Grafiğin Açılış Yönü

a > 0 ise parabol yukarı doğru açılır.
a < 0 ise parabol aşağı doğru açılır.

Parabolün Temel Parçaları

Tepe noktası (vertex)
Simetri ekseni
Kökler (x-kesişimleri) varsa
y-kesişimi

2) y-Kesişimi (Grafiğin Y Ekseniyle Kesimi)

y-kesişimini bulmak için x=0 yazılır. Çünkü y eksenindeki tüm noktaların x değeri 0’dır.

Hızlı Sonuç

x = 0 \Rightarrow y = c

Yani parabolün y eksenini kestiği nokta (0, c) olur.

Mini Örnek

Aşağıdaki fonksiyonda y-kesişimini bulalım:

y = 2 x^{2} - 5 x + 3

x=0 yazınca: $y = 3$ → y-kesişimi (0, 3).

3) Kökler (x-Kesişimleri) Kavramı

Parabolün x eksenini kestiği noktalar varsa, bu noktalarda y=0 olur. Yani kökler, denklemin çözümleridir.

Kök Tanımı

y = 0 \Rightarrow a x^{2} + b x + c = 0

Çözümler gerçek sayı ise parabol x eksenini keser (1 veya 2 noktada).

Önemli Gözlem

Parabol x eksenini iki noktada kesebilir.
Parabol x eksenine teğet olabilir (tek kök gibi düşünülür).
Parabol x eksenini hiç kesmeyebilir (gerçek kök yok).

Bu “kaç kez keser?” meselesini ilerleyen sayfalarda diskriminant ile net şekilde sınıflandıracağız.

4) Tepe Noktası Fikri (Sezgi)

Parabolün “en tepe” (veya “en dip”) noktası tepe noktasıdır. Grafiğin yönüne göre bu nokta:

a > 0 ise (yukarı açılır)

Tepe noktası minimum değer verir.

a < 0 ise (aşağı açılır)

Tepe noktası maksimum değer verir.

Simetri Ekseni

Parabol, tepe noktasından geçen dikey bir doğruya göre simetriktir. Bu doğruya simetri ekseni denir. İlerleyen sayfalarda simetri ekseninin denklemini ve tepe noktasını formülle bulacağız.

2. bölüm

TYT & AYT - Parabol - 2.Sayfa

Parabol - 2. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Tepe Noktası ve Simetri Ekseni

Bu sayfada parabollerin en önemli noktası olan tepe noktasını ve simetri eksenini formül kullanarak nasıl bulacağımızı öğreneceğiz.

2

1) Simetri Ekseni Formülü

Parabolün ortasından geçen dikey doğruya simetri ekseni denir. Bu doğru, parabolü iki eş parçaya böler.

Simetri Ekseni Formülü

x = - \frac{b}{2 a}

Bu değer, tepe noktasının x koordinatıdır.

2) Tepe Noktası Nasıl Bulunur?

Tepe noktası iki adımdan oluşur:

Önce x koordinatı bulunur
Sonra bu değer denklemde yerine yazılır ve y bulunur

Tepe Noktası

(- \frac{b}{2 a}, f (- \frac{b}{2 a}))

3) Örnek

y = x^{2} - 6 x + 5

Simetri ekseni:

x = - \frac{- 6}{2}

Sonuç:

x = 3

Bu sayfada simetri ekseni formülünü ve tepe noktasının nasıl bulunacağını öğrendik. Sonraki sayfada tepe noktasını tam olarak koordinat olarak bulacağız.

3. bölüm

TYT & AYT - Parabol - 3.Sayfa

Parabol - 3. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Tepe Noktasının Koordinatını Bulma

Bu sayfada parabollerin tepe noktasını hem x hem de y koordinatı ile tam olarak nasıl bulacağımızı öğreneceğiz.

3

1) Genel Yöntem

Bir parabol:

y = a x^{2} + b x + c

biçimindeyse tepe noktası şu adımlarla bulunur:

1. Önce x koordinatı bulunur
2. Sonra bu değer denklemde yerine yazılır ve y bulunur

2) Tepe Noktasının x Koordinatı

x = - \frac{b}{2 a}

3) Örnek

y = 2 x^{2} - 8 x + 3

x koordinatını bulalım:

x = - \frac{- 8}{22}

x = 2

Bu değeri denklemde yerine yazalım:

y = 2 2^{2} - 82 + 3

y = - 5

Tepe Noktası:

(2, - 5)

4. bölüm

TYT & AYT - Parabol - 4.Sayfa

Parabol - 4. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Tepe Noktası: Alternatif Formül ve Hızlı Hesap

Bu sayfada tepe noktasının y değerini daha hızlı bulmaya yarayan “delta” (diskriminant) tabanlı ifadeyi tanıyacağız.

4

1) Diskriminant (Δ) Nedir?

İkinci dereceden denklemlerde sık geçen bir ifade vardır: diskriminant. Genelde parabolün x eksenini kaç noktada kestiğini anlamak için kullanılır; ayrıca tepe noktasının y değerini hızlı bulmada da işimize yarar.

Δ (Delta) Tanımı

Δ = b^{2} - 4 a c

Buradaki a, b, c katsayıları y = ax² + bx + c ifadesinden gelir.

İleride Δ’nın işaretine göre “2 kök, 1 kök, kök yok” sınıflamasını detaylandıracağız.

2) Tepe Noktasının y Değeri: Hızlı İfade

Tepe noktasının x koordinatı zaten: $- \frac{b}{2 a}$ idi. Bu değeri fonksiyonda yerine yazıp y’yi buluruz. Ancak bazı durumlarda tepe noktasının y değerini doğrudan veren kısa bir ifade kullanılır:

Tepe Noktası y Değeri

y ₜ = - \frac{Δ}{4 a}

Buradaki yₜ, tepe noktasının y koordinatıdır.

Bu ifade özellikle sayılar büyük olduğunda işlemi kısaltabilir.

3) Örnek: Hızlı Tepe Noktası y Değeri

y = 2 x^{2} - 8 x + 3

Burada a=2, b=−8, c=3. Önce Δ’yı bulalım:

Δ = {(- 8)}^{2} - 423

Δ = 64 - 24

Δ = 40

Şimdi tepe noktasının y değerini bulalım:

y ₜ = - \frac{40}{42}

Sonuç: $y ₜ = - 5$ (Bir önceki sayfadaki yöntemle aynı sonucu verir.)

Bu sayfada Δ tanımını gördük ve tepe noktasının y değerinin −Δ / (4a) ile hızlıca bulunabildiğini öğrendik. Sonraki sayfada parabolleri “tepe noktası formu”na çevirerek grafiği çok daha kolay çizeceğiz.

5. bölüm

TYT & AYT - Parabol - 5.Sayfa

Parabol - 5. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Tepe Noktası Formu (Vertex Form)

Bu sayfada parabollerin en kullanışlı gösterimlerinden biri olan tepe noktası formunu öğreneceğiz. Bu form sayesinde tepe noktasını doğrudan görebiliriz.

5

1) Tepe Noktası Formu Nedir?

Bir parabol aşağıdaki biçimde yazılabilir:

y = a {(x - h)}^{2} + k

Bu gösterime tepe noktası formu denir.

2) Tepe Noktası Bu Formda Nasıl Görülür?

(h, k)

Tepe noktası doğrudan (h, k) olarak okunur.

3) Örnek

y = 3 {(x - 2)}^{2} + 5

Bu durumda:

(2, 5)

Grafik Yorumu

a = 3 olduğu için parabol yukarı açılır
tepe noktası (2,5)
simetri ekseni x = 2 doğrusudur

6. bölüm

TYT & AYT - Parabol - 6.Sayfa

Parabol - 6. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Standart Formdan Tepe Noktası Formuna Dönüştürme

Bu sayfada parabolleri standart formdan tepe noktası formuna çevirmeyi öğreneceğiz. Bu işlem "tam kareye tamamlama" yöntemi ile yapılır.

6

1) Standart Form

y = a x^{2} + b x + c

Bu formdan tepe noktası formuna geçmek için tam kareye tamamlama yapılır.

2) Örnek

y = x^{2} + 6 x + 5

İlk iki terime odaklanalım:

x^{2} + 6 x

Tam kare oluşturmak için katsayının yarısı alınır ve karesi alınır.

\frac{6}{2} = 3

3^{2} = 9

Tam kare formu:

y = {(x + 3)}^{2} - 4

Tepe noktası:

(- 3, - 4)

7. bölüm

TYT & AYT - Parabol - 7.Sayfa

Parabol - 7. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Parabolde a Katsayısının Grafiğe Etkisi

Bu sayfada parabolün şeklini belirleyen en önemli katsayı olan a katsayısının grafiğe etkisini öğreneceğiz.

7

1) Açılış Yönü

Parabolün açılış yönünü a katsayısı belirler.

Eğer

a > 0

Parabol yukarı doğru açılır.

Eğer

a < 0

Parabol aşağı doğru açılır.

2) Açıklık (Dar veya Geniş Olması)

|a| değeri parabolün ne kadar dar veya geniş olduğunu belirler.

a = 1

Normal genişlikte parabol

a = 3

Daha dar parabol

a = \frac{1}{2}

Daha geniş parabol

Örnek Karşılaştırma

y = x^{2}

y = 4 x^{2}

y = \frac{1}{4} x^{2}

Katsayı büyüdükçe parabol daralır. Katsayı küçüldükçe parabol genişler.

8. bölüm

TYT & AYT - Parabol - 8.Sayfa

Parabol - 8. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Parabolün x Ekseni ile Kesişimleri (Kökler)

Bu sayfada parabolün x eksenini nerede kestiğini, yani köklerini nasıl bulacağımızı ve bu durumun grafikle ilişkisini öğreneceğiz.

8

1) Kök Nedir?

Parabolün x eksenini kestiği noktalar köklerdir. Bu noktaları bulmak için:

y = 0

yazılır ve denklem çözülür.

2) Genel Denklem

a x^{2} + b x + c = 0

Bu denklem ikinci dereceden denklemdir.

3) Kök Bulma Formülü

x = \frac{- b \pm \sqrt{Δ}}{2 a}

Grafik Yorumu

İki farklı kök → parabol x eksenini iki noktada keser
Tek kök → parabol x eksenine teğettir
Kök yok → parabol x eksenini kesmez

9. bölüm

TYT & AYT - Parabol - 9.Sayfa

Parabol - 9. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Diskriminant (Δ) ve Grafik İlişkisi

Diskriminant (Δ), parabolün x eksenini kaç noktada kestiğini doğrudan belirler. Bu sayfada bu ilişkiyi detaylı olarak öğreneceğiz.

9

1) Diskriminant Hatırlatma

Δ = b^{2} - 4 a c

2) Δ > 0 Durumu

Δ > 0

İki farklı kök vardır
Parabol x eksenini iki noktada keser

3) Δ = 0 Durumu

Δ = 0

Tek kök vardır
Parabol x eksenine teğettir
Tepe noktası x ekseni üzerindedir

4) Δ < 0 Durumu

Δ < 0

Gerçek kök yoktur
Parabol x eksenini kesmez

10. bölüm

TYT & AYT - Parabol - 10.Sayfa

Parabol - 10. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Parabolün y Ekseni ile Kesişimi

Bu sayfada parabolün y eksenini nerede kestiğini ve bunun grafikte ne anlama geldiğini öğreneceğiz.

10

1) y Ekseni Kesişimi Nedir?

y ekseni üzerindeki tüm noktalarda x değeri sıfırdır.

x = 0

Bu değer fonksiyonda yerine yazılır.

2) Genel Form

y = a x^{2} + b x + c

x yerine 0 yazalım:

y = c

3) Sonuç

(0, c)

Parabolün y ekseni kesişim noktası her zaman (0, c)'dir.

4) Örnek

y = 2 x^{2} + 3 x + 7

(0, 7)

Parabol Konu Anlatımı

TYT & AYT - Parabol - 1.Sayfa

Parabol

1) Parabol Nedir?

2) y-Kesişimi (Grafiğin Y Ekseniyle Kesimi)

3) Kökler (x-Kesişimleri) Kavramı

4) Tepe Noktası Fikri (Sezgi)

TYT & AYT - Parabol - 2.Sayfa

Tepe Noktası ve Simetri Ekseni

1) Simetri Ekseni Formülü

2) Tepe Noktası Nasıl Bulunur?

3) Örnek

TYT & AYT - Parabol - 3.Sayfa

Tepe Noktasının Koordinatını Bulma

1) Genel Yöntem

2) Tepe Noktasının x Koordinatı

3) Örnek

TYT & AYT - Parabol - 4.Sayfa

Tepe Noktası: Alternatif Formül ve Hızlı Hesap

1) Diskriminant (Δ) Nedir?

2) Tepe Noktasının y Değeri: Hızlı İfade

3) Örnek: Hızlı Tepe Noktası y Değeri

TYT & AYT - Parabol - 5.Sayfa

Tepe Noktası Formu (Vertex Form)

1) Tepe Noktası Formu Nedir?

2) Tepe Noktası Bu Formda Nasıl Görülür?

3) Örnek

TYT & AYT - Parabol - 6.Sayfa

Standart Formdan Tepe Noktası Formuna Dönüştürme

1) Standart Form

2) Örnek

TYT & AYT - Parabol - 7.Sayfa

Parabolde a Katsayısının Grafiğe Etkisi

1) Açılış Yönü

2) Açıklık (Dar veya Geniş Olması)

TYT & AYT - Parabol - 8.Sayfa

Parabolün x Ekseni ile Kesişimleri (Kökler)

1) Kök Nedir?

2) Genel Denklem

3) Kök Bulma Formülü

TYT & AYT - Parabol - 9.Sayfa

Diskriminant (Δ) ve Grafik İlişkisi

1) Diskriminant Hatırlatma

2) Δ > 0 Durumu

3) Δ = 0 Durumu

4) Δ < 0 Durumu

TYT & AYT - Parabol - 10.Sayfa

Parabolün y Ekseni ile Kesişimi

1) y Ekseni Kesişimi Nedir?

2) Genel Form

3) Sonuç

4) Örnek