1. bölüm

TYT & AYT - Karmaşık Sayılar - 1.Sayfa

Karmaşık Sayılar - 1. Sayfa

1

Lise • TYT • AYT

Karmaşık Sayılar

Tanım • Birim sanal sayı • Reel ve sanal kısım

Karmaşık sayılar neden ortaya çıktı?

Bazı denklemler reel sayılarla çözülemez. Örneğin:

Örnek fikir

Reel sayılarda herhangi bir sayının karesi negatif olamaz. Ama bazı problemlerde karesi −1 olan bir “yeni sayı” tanımlamak işimizi çözer.

Bu yeni sayı birim sanal sayı olarak adlandırılır ve i harfiyle gösterilir.

Birim sanal sayı: i

Tanım: karesi −1 olan sayı.

Temel eşitlik

i^{2} = - 1

Buradan i ile yapılan işlemler şekillenir.

Hızlı kuvvet döngüsü

i kuvvetleri 4 adımda tekrar eder:

i^{1} = i

i^{2} = - 1

i^{3} = - i

i^{4} = 1

İleride büyük kuvvetlerde (ör. i^2026) bu döngüyü kullanacağız.

Karmaşık sayı nedir?

Reel sayıları genişleten yeni sayı kümesi.

Genel gösterim

z = a + b i

Burada a ve b reel sayılardır. b, sanal bir sayı değil; reel bir katsayıdır.

Reel kısım

Re(z) = a

Re (z) = a

Sanal kısım

Im(z) = b

Im (z) = b

Kritik not

Sanal kısım derken, “b i” ifadesindeki i’nin katsayısı olan b kastedilir.

Hızlı örnekler

Zihinde netleşmesi için birkaç temel okuma

Örnek 1

z = 3 + 2 i

Reel kısım: 3
Sanal kısım: 2

Örnek 2 (negatifli yazım)

w = - 5 + 1 i

Reel kısım: −5
Sanal kısım: 1

Mini hedef

Bir sonraki sayfada karmaşık sayılarda toplama-çıkarma mantığını, “reel kısmı reel kısımla” ve “sanal kısmı sanal kısımla” kuralıyla öğreneceğiz.

2. bölüm

TYT & AYT - Karmaşık Sayılar - 2.Sayfa

Karmaşık Sayılar - 2. Sayfa

2

Lise • TYT • AYT

Karmaşık Sayılarda Toplama ve Çıkarma

Reel kısımlar ve sanal kısımlar ayrı ayrı işlem görür

Temel toplama kuralı

Reel kısımlar kendi arasında, sanal kısımlar kendi arasında toplanır.

(a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i

Bu işlem, cebirdeki benzer terimleri toplama mantığının aynısıdır.

Örnek 1: Toplama işlemi

Aşağıdaki işlemi yapalım:

(3 + 2 i) + (5 + 4 i)

Reel kısımları toplayalım:

3 + 5 = 8

Sanal kısımları toplayalım:

2 i + 4 i = 6 i

Sonuç:

8 + 6 i

Örnek 2: Çıkarma işlemi

(7 + 5 i) - (2 + 3 i)

Reel kısımlar:

7 - 2 = 5

Sanal kısımlar:

5 i - 3 i = 2 i

Sonuç:

5 + 2 i

Özet: Karmaşık sayılarda işlem yaparken reel ve sanal kısımlar ayrı ayrı işlem görür.

3. bölüm

TYT & AYT - Karmaşık Sayılar - 3.Sayfa

Karmaşık Sayılar - 3. Sayfa

3

Lise • TYT • AYT

Karmaşık Sayılarda Çarpma İşlemi

Parantez açılır ve i² = −1 kuralı uygulanır

Genel çarpma formu

İki karmaşık sayı çarpılırken dağıma özelliği uygulanır.

(a + b i) (c + d i) = a c + a d i + b c i + b d i^{2}

Burada en kritik nokta: i² yerine −1 yazılmasıdır.

Örnek 1

Aşağıdaki işlemi yapalım:

(2 + 3 i) (4 + 5 i)

Dağıtalım:

8 + 10 i + 12 i + 15 i^{2}

i² yerine −1 yazalım:

8 + 10 i + 12 i - 15

Reel ve sanal kısımları toplayalım:

- 7 + 22 i

Kritik Kural

i^{2}

her zaman −1'e eşittir.

Bu dönüşüm yapılmazsa işlem yanlış olur.

4. bölüm

TYT & AYT - Karmaşık Sayılar - 4.Sayfa

Karmaşık Sayılar - 4. Sayfa

4

Lise • TYT • AYT

Karmaşık Sayılarda Eşitlik

İki karmaşık sayı eşitse, reel ve sanal kısımları ayrı ayrı eşittir

Eşitlik kuralı

z = w ise: Re(z) = Re(w) ve Im(z) = Im(w)

(a + b i) = (c + d i)

a = c b = d

Yani iki karmaşık sayı “parça parça” eşitlenir: reel kısmı reel kısma, sanal kısmı sanal kısma.

Örnek 1: x ve y’yi bulalım

Eşitliği kur, sonra reel ve sanal kısımları karşılaştır.

(x + 3 i) = (7 + y i)

Reel kısımlar:

x = 7

Sanal kısımlar:

3 = y

Sonuç: x = 7 ve y = 3

Örnek 2: a ve b’yi bulalım

Önce ifadeyi standart forma (a + bi) getir.

(2 + i) (a + b i) = 3 + 7 i

Sol tarafı çarpıp standart forma getirelim:

(2 + i) (a + b i) = 2 a + 2 b i + a i + b i^{2}

i² yerine −1 yazalım:

2 a + 2 b i + a i - b

Reel ve sanal kısımları gruplayalım:

(2 a - b) + (2 b + a) i

Sağ taraf:

3 + 7 i

Eşitlikten, reel kısımlar ve sanal kısımlar ayrı ayrı eşitlenir: Reel: 2a − b = 3 Sanal: 2b + a = 7

Bu iki denklemi çözdüğümüzde a ve b değerleri bulunur. (Bir sonraki sayfada bu tip sistemi pratikle çözeceğiz.)

5. bölüm

TYT & AYT - Karmaşık Sayılar - 5.Sayfa

Karmaşık Sayılar - 5. Sayfa

5

Lise • TYT • AYT

Eşitlikten Denklem Sistemi Kurma ve Çözme

Standart forma getir • Reel/Sanal karşılaştır • İki bilinmeyeni çöz

3 adımlı yöntem

Bu sayfada “karmaşık eşitlik” sorularını hızlı çözen şablonu oturtacağız.

Standart forma getir: Her iki tarafı a + bi biçimine yaz.
Reel kısımları eşitle: Reel ifadelerden bir denklem çıkar.
Sanal kısımları eşitle: i’nin katsayılarından ikinci denklemi çıkar.

Not: “Sanal kısım” demek, i’nin katsayısı demektir.

Örnek: a ve b’yi bulalım

Standart forma getirip karşılaştıralım.

(2 + i) (a + b i) = 3 + 7 i

1) Çarpıp açalım (i² = −1 dönüşümünü unutma):

2 a + 2 b i + a i + b i^{2}

2) i² yerine −1 yazıp standart forma geçelim:

2 a + 2 b i + a i - b

3) Reel ve sanal kısımları gruplayalım:

(2 a - b) + (a + 2 b) i

Sağ taraf zaten standart formda:

3 + 7 i

Karşılaştırma (denklem sistemi)

Reel: 2a − b = 3

Sanal: a + 2b = 7

Şimdi sistemi çözelim:

İkinci denklemden a = 7 − 2b. Bunu birinci denklemde kullanalım:

2 (7 - 2 b) - b = 3

Buradan 14 − 4b − b = 3 yani 14 − 5b = 3.

- 5 b = - 11

b = \frac{11}{5}

Şimdi a = 7 − 2b:

a = 7 - 2 \frac{11}{5}

a = \frac{13}{5}

Sonuç

a = 13/5 ve b = 11/5

Mini alıştırma

(1 + i)(x + yi) = 6 + 2i eşitliğinde x ve y için denklem sistemini kurmayı dene. Bir sonraki sayfada benzer bir örneği daha pratikleyeceğiz.

6. bölüm

TYT & AYT - Karmaşık Sayılar - 6.Sayfa

Karmaşık Sayılar - 6. Sayfa

6

Lise • TYT • AYT

i Sayısının Kuvvetleri

i'nin kuvvetleri belirli bir döngü içinde tekrar eder

İlk dört kuvvet

Bu dört sonuç sürekli tekrar eder.

i^{1} = i

i^{2} = - 1

i^{3} = - i

i^{4} = 1

Bu noktadan sonra döngü tekrar başlar.

Döngü yapısı

i^{5} = i

i^{6} = - 1

i^{7} = - i

i^{8} = 1

Döngü uzunluğu: 4

Örnek: i¹⁰ hesaplayalım

4'e bölelim:

10 = 4 \times 2 + 2

Kalan: 2

i^{10} = i^{2}

i^{10} = - 1

Özet: i'nin kuvvetlerinde sadece 4'e göre kalan önemlidir.

7. bölüm

TYT & AYT - Karmaşık Sayılar - 7.Sayfa

Karmaşık Sayılar - 7. Sayfa

7

Lise • TYT • AYT

i'nin Büyük Kuvvetlerini Hızlı Hesaplama

4 ile bölümünden kalan sonucu belirler

Temel yöntem

Bir kuvveti 4'e böl. Kalan sonucu belirler.

Kalanlara göre sonuç:

kalan = 0 \to 1

kalan = 1 \to i

kalan = 2 \to - 1

kalan = 3 \to - i

Örnek 1: i⁴³

4'e böl:

43 = 4 \times 10 + 3

Kalan: 3

i^{43} = - i

Örnek 2: i¹⁰⁰

100 = 4 \times 25 + 0

i^{100} = 1

Örnek 3: i²⁰²⁶

2026 = 4 \times 506 + 2

i^{2026} = - 1

Sonuç sadece kalan ile belirlenir.

8. bölüm

TYT & AYT - Karmaşık Sayılar - 8.Sayfa

Karmaşık Sayılar - 8. Sayfa

8

Lise • TYT • AYT

Karmaşık Sayının Eşleniği

Eşlenik: sanal kısmın işareti değişir

Tanım: Eşlenik

z = a + bi ise eşleniği z̄ = a − bi olur.

z = a + b i \to \bar{z} = a - b i

Eşlenik alma işlemi sadece i’nin katsayısının işaretini değiştirir. Reel kısım aynı kalır.

Özellik 1: z + z̄ reel çıkar

Toplayınca sanal kısım yok olur.

(a + b i) + (a - b i) = 2 a

Bu özellik, “sanal kısmı yok etme” fikrinin temelidir.

Özellik 2: z · z̄ her zaman reeldir

Çarpınca sanal terimler birbirini götürür.

(a + b i) (a - b i) = a^{2} + b^{2}

Bu çarpım, karmaşık sayının “büyüklük” (modül) kavramına giden kapıdır.

Örnek

z = 3 − 4i için eşlenik ve çarpımı bulalım.

z = 3 - 4 i

Eşlenik:

\bar{z} = 3 + 4 i

Çarpım:

z \cdot \bar{z} = 3^{2} + 4^{2} = 25

Sonuç: Eşlenik alma, sanal kısmın işaretini değiştirir; z·z̄ ise her zaman reel olur.

9. bölüm

TYT & AYT - Karmaşık Sayılar - 9.Sayfa

Karmaşık Sayılar - 9. Sayfa

9

Lise • TYT • AYT

Karmaşık Sayılarda Bölme İşlemi

Eşlenik ile çarparak paydayı reel yaparız

Temel prensip

Amaç: Paydada i kalmaması.

\frac{a + b i}{c + d i}

Paydayı eşleniği ile çarparız:

Eşlenik ile çarpma

\frac{a + b i}{c + d i} \times \frac{c - d i}{c - d i}

Payda reel sayı olur.

Örnek

\frac{3 + 2 i}{1 - 4 i}

Eşleniği ile çarpalım:

\frac{(3 + 2 i) (1 + 4 i)}{(1 - 4 i) (1 + 4 i)}

\frac{- 5 + 14 i}{17}

Sonuç standart formdadır.

10. bölüm

TYT & AYT - Karmaşık Sayılar - 10.Sayfa

Karmaşık Sayılar - 10. Sayfa

10

Lise • TYT • AYT

Karmaşık Sayının Modülü

Karmaşık sayının büyüklüğünü ölçer

Modül tanımı

z = a + bi ise modül:

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

Eşlenik ile bağlantı

{| z |}^{2} = z \cdot \bar{z}

Örnek 1

z = 3 + 4 i

| z | = \sqrt{9 + 16}

| z | = 5

Geometrik anlam

Modül, karmaşık sayının orijine olan uzaklığıdır.

Bu, Pisagor teoremi ile aynıdır.