1. bölüm

TYT & AYT - Trigonometri - 1.Sayfa

Trigonometri - 1. Sayfa

Lise · TYT · AYT

Trigonometri

Sayfa 1 · Temel kavramlar ve açı ölçüleri

1) Trigonometri neyi inceler?

Trigonometri; açı ile kenar oranları arasındaki ilişkiyi inceler. Özellikle dik üçgenlerde ve birim çember üzerinde sinüs, kosinüs, tanjant gibi oranlar tanımlanır. TYT’de daha çok temel oranlar ve özel açılar, AYT’de ise birim çember, trigonometrik dönüşümler, denklemler ve grafikler öne çıkar.

Ana fikir

Aynı açıyı gören benzer dik üçgenlerde kenar oranları değişmez. Bu “oranların sabitliği” trigonometrinin temelidir.

2) Açı ölçü birimleri

Trigonometride iki temel ölçü birimi kullanılır: derece (°) ve radyan (rad). Bir tam tur 360° iken, aynı tur radyan cinsinden 2π kabul edilir.

Temel eşitlik

360 ° = 2 π

Buradan dönüşüm kuralı çıkar:

Dereceden radyana

θ (rad) = θ (°) \cdot (π / 180)

Radyandan dereceye

θ (°) = θ (rad) \cdot (180 / π)

Mini örnek

60° kaç radyandır?

60 ° \cdot (π / 180) = (60 / 180) π = (1 / 3) π

Not: Burada “/” işareti metin olarak kullanıldı; ara adımlarda kesir ile yazılmadı.

3) Açının yönü ve negatif açı

Standart konumda bir açıda başlangıç kolu pozitif x ekseni üzerindedir. Saat yönünün tersine dönüş pozitif, saat yönünde dönüş negatif açı olarak kabul edilir.

Eş yönlü (koterminal) açılar

Aynı son kola sahip açılar, tam tur ekleme/çıkarma ile elde edilir.

θ + 360 ° \cdot k (k \in ℤ)

θ + 2 π \cdot k (k \in ℤ)

Kısa uyarı

Negatif açı “yanlış” değildir. Sadece dönüş yönünü gösterir. Örneğin −30° ile 330° aynı son kola sahiptir.

4) Özel açılara giriş

Trigonometride bazı açılar çok sık kullanılır: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. Bu açılar, ilerleyen sayfalarda sinüs ve kosinüs değerlerini hızlı bulmanın temelini oluşturur.

Derece–Radyan hızlı eşleştirme

0°

0

30°

π / 6

(Kesir hazır, ama zorunlu değil; metin içinde “π/6” gösterimi yeterli.)

45°

π / 4

60°

π / 3

90°

π / 2

Hızlı kontrol

180° = π, 270° = 3π/2, 360° = 2π eşleştirmeleri de çok kullanılır.

Bu sayfadan sonra

2. sayfada dik üçgende sin, cos, tan oranlarını kurup işaret ve anlamlarını netleştireceğiz. Ardından özel açılar ve birim çember yoluna gireceğiz.

2. bölüm

TYT & AYT - Trigonometri - 2.Sayfa

Trigonometri - 2. Sayfa

Lise · TYT · AYT

Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar

Sayfa 2 · sin, cos, tan tanımları

1) Dik üçgende temel kavramlar

Bir dik üçgende bir açı 90°’dir. Bu üçgende:

Hipotenüs: Dik açının karşısındaki en uzun kenar
Karşı kenar: İncelenen açının karşısındaki kenar
Komşu kenar: İncelenen açıya bitişik olan kenar

Önemli nokta

Trigonometrik oranlar, bir açının karşı, komşu ve hipotenüs kenarlarının oranıdır.

2) Sinüs tanımı

Bir dik üçgende θ açısı için sinüs, karşı kenarın hipotenüse oranıdır.

\sin θ = \frac{karşı kenar}{hipotenüs}

Örnek

Karşı kenar = 3, hipotenüs = 5 ise:

\sin θ = \frac{3}{5}

3) Kosinüs tanımı

Kosinüs, komşu kenarın hipotenüse oranıdır.

\cos θ = \frac{komşu kenar}{hipotenüs}

Örnek

Komşu kenar = 4, hipotenüs = 5 ise:

\cos θ = \frac{4}{5}

4) Tanjant tanımı

Tanjant, karşı kenarın komşu kenara oranıdır.

\tan θ = \frac{karşı kenar}{komşu kenar}

Örnek

Karşı kenar = 3, komşu kenar = 4 ise:

\tan θ = \frac{3}{4}

5) Temel trigonometrik oran özeti

\sin θ = \frac{karşı}{hipotenüs}

\cos θ = \frac{komşu}{hipotenüs}

\tan θ = \frac{karşı}{komşu}

Sonraki sayfa

Bir sonraki sayfada özel üçgenler (30°–60°–90° ve 45°–45°–90°) üzerinden sin, cos, tan değerlerini ezbersiz şekilde çıkaracağız.

3. bölüm

TYT & AYT - Trigonometri - 3.Sayfa

Trigonometri - 3. Sayfa

Lise · TYT · AYT

45°–45°–90° Özel Üçgeni

Sayfa 3 · sin, cos, tan değerlerinin çıkarılması

1) İkizkenar dik üçgen

Eğer bir dik üçgende iki dar açı eşitse, bu açılar 45° ve 45° olur.

Bu durumda bu açıların karşısındaki kenarlar eşittir.

Örnek varsayım

İki dik kenar uzunluğu 1 olsun.

2) Hipotenüs uzunluğu

Pisagor teoremini uygularsak:

{hipotenüs}^{2} = 1^{2} + 1^{2}

{hipotenüs}^{2} = 2

hipotenüs = \sqrt{2}

3) sin 45° değeri

Tanıma göre:

\sin 45 ° = \frac{1}{\sqrt{2}}

4) cos 45° değeri

Komşu kenar da 1 olduğu için:

\cos 45 ° = \frac{1}{\sqrt{2}}

5) tan 45° değeri

Tanım gereği:

\tan 45 ° = \frac{1}{1} = 1

6) Özet tablo

sin45° =

\frac{1}{\sqrt{2}}

cos45° =

\frac{1}{\sqrt{2}}

tan45° = 1

Sonraki sayfa

Bir sonraki sayfada 30°–60°–90° üçgenini inceleyerek sin30°, cos30°, tan30°, sin60°, cos60°, tan60° değerlerini çıkaracağız.

4. bölüm

TYT & AYT - Trigonometri - 4.Sayfa

Trigonometri - 4. Sayfa

Lise · TYT · AYT

30°–60°–90° Özel Üçgeni

Sayfa 4 · sin, cos, tan değerlerinin çıkarılması

1) Eşkenar üçgenden elde edilir

Bir kenarı 2 olan eşkenar üçgen çizelim. Tabanın ortasından dikme indirirsek üçgen iki eş parçaya ayrılır.

Böylece bir dik üçgen elde edilir ve açıları:

30°
60°
90°

Kenar uzunlukları

Hipotenüs = 2
Kısa kenar = 1
Uzun kenar = √3

2) sin 30° değeri

Tanım gereği:

\sin 30 ° = \frac{1}{2}

3) cos 30° değeri

Komşu kenar √3, hipotenüs 2 olduğu için:

\cos 30 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}

4) tan 30° değeri

Tanım gereği:

\tan 30 ° = \frac{1}{\sqrt{3}}

5) sin 60° değeri

\sin 60 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}

6) cos 60° değeri

\cos 60 ° = \frac{1}{2}

7) tan 60° değeri

\tan 60 ° = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}

8) Özet

sin30° =

\frac{1}{2}

cos30° =

\frac{\sqrt{3}}{2}

tan30° =

\frac{1}{\sqrt{3}}

sin60° =

\frac{\sqrt{3}}{2}

cos60° =

\frac{1}{2}

tan60° = √3

Sonraki sayfa

Bir sonraki sayfada tüm özel açıları tek tabloda toplayacak ve ezbersiz öğrenme yöntemini göstereceğiz.

5. bölüm

TYT & AYT - Trigonometri - 5.Sayfa

Trigonometri - 5. Sayfa

Lise · TYT · AYT

Özel Açı Tablosu

Sayfa 5 · sin, cos, tan değerlerini ezbersiz öğrenme

1) sin değerlerinin mantığı

sin değerleri aşağıdaki kök düzeni ile ilerler:

sin0° =

\frac{\sqrt{0}}{2}

sin30° =

\frac{\sqrt{1}}{2}

sin45° =

\frac{\sqrt{2}}{2}

sin60° =

\frac{\sqrt{3}}{2}

sin90° =

\frac{\sqrt{4}}{2}

2) cos değerlerinin mantığı

cos değerleri sin değerlerinin ters sıralanmış halidir:

cos0° =

\frac{\sqrt{4}}{2}

cos30° =

\frac{\sqrt{3}}{2}

cos45° =

\frac{\sqrt{2}}{2}

cos60° =

\frac{\sqrt{1}}{2}

cos90° =

\frac{\sqrt{0}}{2}

3) tan değerleri

tan0° = 0
tan30° =

\frac{1}{\sqrt{3}}

tan45° = 1
tan60° =

\sqrt{3}

tan90° tanımsızdır

4) Ezbersiz öğrenme yöntemi

sin için kök içi şu şekilde ilerler:

√0, √1, √2, √3, √4

Hepsi 2’ye bölünür.

cos için aynı liste ters çevrilir.

5) Örnek

sin60° değerini bulalım:

sin listesinde 60° dördüncü sıradadır.

Bu nedenle:

\frac{\sqrt{3}}{2}

Sonraki sayfa

Bir sonraki sayfada birim çember kavramına geçerek trigonometrik oranların geometrik anlamını öğreneceğiz.

6. bölüm

TYT & AYT - Trigonometri - 6.Sayfa

Trigonometri - 6. Sayfa

Lise · TYT · AYT

Birim Çember

Sayfa 6 · sin ve cos’un geometrik yorumu

1) Birim çember nedir?

Merkezi orijin olan ve yarıçapı 1 birim olan çembere birim çember denir. Birim çember üzerinde, bir açının son kolu çemberi bir noktada keser. Bu noktanın koordinatları trigonometrik oranlarla ilişkilidir.

Ana bağlantı

Birim çember üzerinde θ açısına karşılık gelen noktanın koordinatları:

(\cos θ, \sin θ)

2) Neden x = cosθ, y = sinθ?

Birim çember üzerinde seçilen noktayı orijine bağladığımızda bir yarıçap elde ederiz. Yarıçap uzunluğu 1 olduğu için bu yarıçap, bir dik üçgenin hipotenüsü gibi düşünülebilir.

Bu noktadan x eksenine dik inersek bir dik üçgen oluşur:

Hipotenüs = 1
Komşu kenar = x
Karşı kenar = y

Tanımlara göre: cosθ = komşu/hipotenüs = x/1 ve sinθ = karşı/hipotenüs = y/1 olur. Bu yüzden x = cosθ ve y = sinθ yazabiliriz.

3) Örnek: θ = 60°

60° için özel açı değerlerini kullanırsak:

cos60°

\cos 60 ° = \frac{1}{2}

sin60°

\sin 60 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}

Birim çember noktası

(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})

Yani 60° açısına karşılık gelen nokta 1. bölgede ve x, y değerleri pozitiftir.

4) Bölgeler ve işaretler (ilk fikir)

Birim çemberde dört bölge vardır. Koordinat işaretleri bölgelere göre değişir:

İşaret özeti

1. Bölge: x(+), y(+) → cos(+), sin(+)
2. Bölge: x(−), y(+) → cos(−), sin(+)
3. Bölge: x(−), y(−) → cos(−), sin(−)
4. Bölge: x(+), y(−) → cos(+), sin(−)

Not

Bu işaret tablosu ileride tanjant, kotanjant gibi oranların işaretini bulurken de işimize yarar.

Sonraki sayfa

7. sayfada bölgelerde trigonometrik değerlerin işaretlerini daha sistematik öğrenecek, “referans açı” kavramına giriş yapacağız.

7. bölüm

TYT & AYT - Trigonometri - 7.Sayfa

Trigonometri - 7. Sayfa

Lise · TYT · AYT

Bölgeler ve Referans Açı

Sayfa 7 · sin, cos, tan işaret analizi

1) Koordinat sisteminde dört bölge

Birim çember, koordinat sisteminde dört bölgeye ayrılır. Bir açının bulunduğu bölge, trigonometrik oranların işaretini belirler.

Bölgelere göre işaret tablosu

1. Bölge → sin(+), cos(+), tan(+)
2. Bölge → sin(+), cos(−), tan(−)
3. Bölge → sin(−), cos(−), tan(+)
4. Bölge → sin(−), cos(+), tan(−)

2) İşaretlerin nedeni

Birim çemberde:

x koordinatı = cosθ
y koordinatı = sinθ

tanθ ise sinθ ve cosθ oranı olarak düşünülür:

\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}

Bu yüzden işaretler koordinat işaretlerine bağlıdır.

3) Referans açı nedir?

Referans açı, verilen açının x ekseni ile yaptığı en küçük açıdır.

Örnek

150° açısı 2. bölgededir.

Referans açı:

180 ° - 150 ° = 30 °

4) Örnek: sin150°

Referans açı 30°’dir.

2. bölgede sin pozitiftir.

Bu nedenle:

\sin 150 ° = \sin 30 ° = \frac{1}{2}

5) Örnek: cos150°

Referans açı yine 30°’dir.

2. bölgede cos negatiftir.

\cos 150 ° = - \frac{\sqrt{3}}{2}

6) Özet

Trigonometrik değer bulmak için:

Önce bölge bulunur
Referans açı bulunur
Özel açı değeri alınır
İşaret eklenir

Sonraki sayfa

Bir sonraki sayfada negatif açılar ve 360°’den büyük açılar için trigonometrik değer hesaplamayı öğreneceğiz.

8. bölüm

TYT & AYT - Trigonometri - 8.Sayfa

Trigonometri - 8. Sayfa

Lise · TYT · AYT

Negatif ve Büyük Açılar

Sayfa 8 · Koterminal açı ve değer hesaplama

1) Koterminal (eş yönlü) açı

Bir açının son kolu aynı kalacak şekilde tam tur ekleyip çıkarabiliriz. Derece ile çalışıyorsak 360°, radyan ile çalışıyorsak 2π eklenir/çıkarılır.

Derece

θ + 360 ° \cdot k (k \in ℤ)

Radyan

θ + 2 π \cdot k (k \in ℤ)

Kritik fikir

Koterminal açılar aynı noktaya (aynı son kola) gider. Bu yüzden trigonometrik değerleri aynıdır.

2) Negatif açı nasıl pozitif yapılır?

Negatif bir dereceyi 0° ile 360° aralığına getirmek için 360° eklenir. Amaç sadece açıyı “tanıdık” aralığa taşımaktır.

Örnek: −30°

−30° için 360° ekleyelim:

- 30 ° + 360 ° = 330 °

Artık 330° ile çalışabiliriz. 330° 4. bölgededir, referans açısı 30°’dir.

3) 360°’den büyük açılar

360°’den büyük bir açıyı 0°–360° aralığına almak için 360° çıkarılır. Gerekirse bu işlem birkaç kez yapılabilir.

Örnek: 450°

450° − 360° = 90°

Yani 450° ile 90° koterminaldir. Trigonometrik değerleri aynıdır.

4) Örnekler: sin ve cos bulma

sin(−30°)

−30° ve 330° koterminaldir. 4. bölgede sin negatiftir.

\sin (- 30 °) = - \frac{1}{2}

cos(450°)

450° ile 90° koterminaldir. 90°’de cos değeri 0’dır.

\cos (450 °) = \cos (90 °) = 0

5) Hızlı kontrol adımları

Açıyı 0°–360° aralığına getir.
Bölgeyi bul.
Referans açıyı bul.
Özel açı değerini al ve işareti ekle.

Sonraki sayfa

9. sayfada temel trigonometrik özdeşlikleri (sin²θ + cos²θ = 1 gibi) çıkarıp kullanmayı öğreneceğiz.

9. bölüm

TYT & AYT - Trigonometri - 9.Sayfa

Trigonometri - 9. Sayfa

Lise · TYT · AYT

Temel Trigonometrik Özdeşlikler

Sayfa 9 · sin²θ + cos²θ = 1 ve türevleri

1) En önemli trigonometrik özdeşlik

Birim çemberde herhangi bir nokta için şu eşitlik her zaman doğrudur:

\sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1

Bu özdeşlik trigonometrinin temelidir ve birçok sorunun çözümünde kullanılır.

2) Bu özdeşlik nereden gelir?

Birim çemberde bir noktanın koordinatları:

(\cos θ, \sin θ)

Pisagor teoremine göre:

x^{2} + y^{2} = 1

x yerine cosθ ve y yerine sinθ yazarsak aynı özdeşliği elde ederiz.

3) cos²θ yalnız bırakılırsa

\cos^{2} θ = 1 - \sin^{2} θ

4) sin²θ yalnız bırakılırsa

\sin^{2} θ = 1 - \cos^{2} θ

5) Örnek soru

sinθ =

\frac{3}{5}

ise cos²θ bulunur.

Özdeşlik kullanılır:

\cos^{2} θ = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}

Sonraki sayfa

Bir sonraki sayfada tan, cot, sec, csc oranlarını ve aralarındaki ilişkileri öğreneceğiz.

10. bölüm

TYT & AYT - Trigonometri - 10.Sayfa

Trigonometri - 10. Sayfa

Lise · TYT · AYT

Diğer Trigonometrik Oranlar

Sayfa 10 · cot, sec, csc tanımları ve ilişkiler

1) Oran ailesi

sin, cos, tan üçlüsünün dışında üç önemli oran daha vardır: cot, sec, csc. Bu oranlar aslında sin ve cos üzerinden tanımlanır.

Önemli not

Bir trigonometrik oran tanımlanırken paydanın 0 olmamasına dikkat edilir. Örneğin cosθ = 0 iken tanθ ve secθ tanımsız olur.

2) cotθ

cotanjant, tanjantın tersidir. Ayrıca cos ve sin oranı olarak da yazılır.

Tanım

\cot θ = \frac{komşu}{karşı}

İlişki

\cot θ = \frac{\cos θ}{\sin θ}

Not

sinθ = 0 iken (örneğin 0°, 180° gibi) cotθ tanımsız olur.

3) secθ

sekant, kosinüsün tersidir. Birim çember yaklaşımıyla “x = cosθ” ilişkisi nedeniyle secθ, cosθ küçüldükçe büyür.

\sec θ = \frac{1}{\cos θ}

Not

cosθ = 0 iken secθ tanımsızdır. (Örneğin 90°, 270°)

4) cscθ

kosekant, sinüsün tersidir.

\csc θ = \frac{1}{\sin θ}

Not

sinθ = 0 iken cscθ tanımsızdır. (Örneğin 0°, 180°, 360°)

5) Temel ilişkiler

\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}

\cot θ = \frac{\cos θ}{\sin θ}

\sec θ = \frac{1}{\cos θ}

\csc θ = \frac{1}{\sin θ}

Sonraki sayfa

11. sayfada tan²θ + 1 = sec²θ ve cot²θ + 1 = csc²θ özdeşliklerini öğreneceğiz.

Trigonometri Konu Anlatımı

TYT & AYT - Trigonometri - 1.Sayfa

Trigonometri

1) Trigonometri neyi inceler?

2) Açı ölçü birimleri

3) Açının yönü ve negatif açı

4) Özel açılara giriş

Bu sayfadan sonra

TYT & AYT - Trigonometri - 2.Sayfa

Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar

1) Dik üçgende temel kavramlar

2) Sinüs tanımı

3) Kosinüs tanımı

4) Tanjant tanımı

5) Temel trigonometrik oran özeti

Sonraki sayfa

TYT & AYT - Trigonometri - 3.Sayfa

45°–45°–90° Özel Üçgeni

1) İkizkenar dik üçgen

2) Hipotenüs uzunluğu

3) sin 45° değeri

4) cos 45° değeri

5) tan 45° değeri

6) Özet tablo

Sonraki sayfa

TYT & AYT - Trigonometri - 4.Sayfa

30°–60°–90° Özel Üçgeni

1) Eşkenar üçgenden elde edilir

2) sin 30° değeri

3) cos 30° değeri

4) tan 30° değeri

5) sin 60° değeri

6) cos 60° değeri

7) tan 60° değeri

8) Özet

Sonraki sayfa

TYT & AYT - Trigonometri - 5.Sayfa

Özel Açı Tablosu

1) sin değerlerinin mantığı

2) cos değerlerinin mantığı

3) tan değerleri

4) Ezbersiz öğrenme yöntemi

5) Örnek

Sonraki sayfa

TYT & AYT - Trigonometri - 6.Sayfa

Birim Çember

1) Birim çember nedir?

2) Neden x = cosθ, y = sinθ?

3) Örnek: θ = 60°

4) Bölgeler ve işaretler (ilk fikir)

Sonraki sayfa

TYT & AYT - Trigonometri - 7.Sayfa

Bölgeler ve Referans Açı

1) Koordinat sisteminde dört bölge

2) İşaretlerin nedeni

3) Referans açı nedir?

4) Örnek: sin150°

5) Örnek: cos150°

6) Özet

Sonraki sayfa

TYT & AYT - Trigonometri - 8.Sayfa

Negatif ve Büyük Açılar

1) Koterminal (eş yönlü) açı

2) Negatif açı nasıl pozitif yapılır?

3) 360°’den büyük açılar

4) Örnekler: sin ve cos bulma

5) Hızlı kontrol adımları

Sonraki sayfa

TYT & AYT - Trigonometri - 9.Sayfa

Temel Trigonometrik Özdeşlikler

1) En önemli trigonometrik özdeşlik

2) Bu özdeşlik nereden gelir?

3) cos²θ yalnız bırakılırsa

4) sin²θ yalnız bırakılırsa

5) Örnek soru

Sonraki sayfa

TYT & AYT - Trigonometri - 10.Sayfa

Diğer Trigonometrik Oranlar

1) Oran ailesi

2) cotθ