1. bölüm

TYT & AYT - Trigonometri - 11.Sayfa

Trigonometri - 11. Sayfa

Lise · TYT · AYT

Gelişmiş Trigonometrik Özdeşlikler

Sayfa 11 · tan²θ ve cot²θ özdeşlikleri

1) tan²θ + 1 = sec²θ özdeşliği

Bu özdeşlik, temel özdeşlik olan sin²θ + cos²θ = 1 eşitliğinden elde edilir.

\tan^{2} θ + 1 = \sec^{2} θ

2) Nasıl elde edilir?

Temel özdeşlikten başlayalım:

\sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1

Her iki tarafı cos²θ ile bölersek:

\frac{\sin^{2} θ}{\cos^{2} θ} + 1 = \frac{1}{\cos^{2} θ}

Bu ifadeler yerine tan²θ ve sec²θ yazılır.

3) cot²θ + 1 = csc²θ özdeşliği

Benzer şekilde şu özdeşlik de elde edilir:

\cot^{2} θ + 1 = \csc^{2} θ

4) Örnek soru

tanθ =

\frac{3}{4}

ise sec²θ bulunur.

\sec^{2} θ = 1 + \frac{9}{16} = \frac{25}{16}

5) Özet

tan²θ + 1 = sec²θ
cot²θ + 1 = csc²θ

Sonraki sayfa

12. sayfada trigonometrik denklemleri çözmeye başlayacağız.

2. bölüm

TYT & AYT - Trigonometri - 12.Sayfa

Trigonometri - 12. Sayfa

Lise · TYT · AYT

Temel Trigonometrik Denklemler

Sayfa 12 · sinx = a, cosx = a, tanx = a türleri

1) Genel çözüm mantığı

Trigonometrik denklemlerde amaç, değeri verilen trigonometrik oranı sağlayan açıları birim çember üzerinde bulmaktır. Çözüm için genelde şu adımlar izlenir:

Verilen değerin mümkün olup olmadığını kontrol et (ör. sin ve cos için −1 ile 1 arası).
Özel açı / referans açı ile temel çözümleri bul.
Uygun bölgelerde işaretleri kontrol et.
Genel çözüm için 360°·k (veya 2π·k) ekle.

Hatırlatma

sin ve cos değerleri her zaman −1 ile 1 arasındadır. tan için böyle bir sınır yoktur.

2) sinx = a denklemi

sinx = a denklemi, birim çemberde y koordinatı a olan noktaların açılarını verir. Aynı sinüs değerini genellikle 1. ve 2. bölgede iki farklı açı verir.

Örnek: sinx = 1/2

sin değeri 1/2 olan özel açılar 30° ve 150°’dir.

\sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 30 ° ve x = 150 °

Genel çözüm: x = 30° + 360°·k veya x = 150° + 360°·k (k ∈ ℤ).

3) cosx = a denklemi

cosx = a denklemi, birim çemberde x koordinatı a olan noktaların açılarını verir. Aynı kosinüs değerini genellikle 1. ve 4. bölgede iki farklı açı verir.

Örnek: cosx = √3/2

cos değeri √3/2 olan özel açılar 30° ve 330°’dur.

\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = 30 ° ve x = 330 °

Genel çözüm: x = 30° + 360°·k veya x = 330° + 360°·k (k ∈ ℤ).

4) tanx = a denklemi

tanx = a denklemi, aynı tanjant değerini 180° aralıklarla tekrar eder. Çünkü tanjantın periyodu 180°’dir.

Örnek: tanx = 1

tan değeri 1 olan temel açı 45°’tir. Tanjant 1. ve 3. bölgede pozitiftir.

\tan x = 1 \Rightarrow x = 45 ° + 180 ° \cdot k (k \in ℤ)

Kısa not

tan için iki ayrı açı yazmak yerine “45° + 180°·k” gibi tek formülle tüm çözümler verilebilir.

5) Sık yapılan hata

sin ve cos denklemlerinde çoğu zaman iki çözüm vardır; tan denklemlerinde ise çözümler 180° aralıklarla tekrar eder. Ayrıca tan ve sec için cosx = 0, cot ve csc için sinx = 0 durumlarında ifade tanımsız olabilir.

Sonraki sayfa

13. sayfada toplam-fark formüllerine (sin(a±b), cos(a±b)) giriş yapacağız.

3. bölüm

TYT & AYT - Trigonometri - 13.Sayfa

Trigonometri - 13. Sayfa

Lise · TYT · AYT

Toplam ve Fark Formülleri

Sayfa 13 · sin(a±b), cos(a±b), tan(a±b)

1) sin(a + b) formülü

İki açının toplamının sinüsü şu şekilde hesaplanır:

\sin (a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b

2) sin(a − b) formülü

\sin (a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b

3) cos(a + b) formülü

\cos (a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b

4) cos(a − b) formülü

\cos (a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b

5) tan(a + b) formülü

\tan (a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}

6) Örnek: sin(45° + 30°)

Formül uygulanır:

\sin (45 ° + 30 °) = \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2}

Sonraki sayfa

14. sayfada iki kat açı formüllerini öğreneceğiz.

4. bölüm

TYT & AYT - Trigonometri - 14.Sayfa

Trigonometri - 14. Sayfa

Lise · TYT · AYT

İki Kat Açı Formülleri

Sayfa 14 · sin(2θ), cos(2θ), tan(2θ)

1) sin(2θ) formülü

Bir açının iki katının sinüsü şu şekilde hesaplanır:

\sin (2 θ) = 2 \sin θ \cos θ

2) cos(2θ) formülleri

cos(2θ) için üç farklı eşdeğer formül vardır:

\cos (2 θ) = \cos^{2} θ - \sin^{2} θ

\cos (2 θ) = 1 - 2 \sin^{2} θ

\cos (2 θ) = 2 \cos^{2} θ - 1

3) tan(2θ) formülü

\frac{2 \tan θ}{1 - \tan^{2} θ}

4) Örnek: sin(60°)

60° = 2 × 30° olduğu için:

\sin (60 °) = 2 \frac{1}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}

Sonraki sayfa

15. sayfada yarım açı formüllerini öğreneceğiz.

5. bölüm

TYT & AYT - Trigonometri - 15.Sayfa

Trigonometri - 15. Sayfa

Lise · TYT · AYT

Yarım Açı Formülleri

Sayfa 15 · sin(θ/2), cos(θ/2), tan(θ/2)

1) sin(θ/2) formülü

Bir açının yarısının sinüsü şu formülle hesaplanır:

\sqrt{\frac{1 - \cos θ}{2}}

2) cos(θ/2) formülü

\sqrt{\frac{1 + \cos θ}{2}}

3) tan(θ/2) formülü

\sqrt{\frac{1 - \cos θ}{1 + \cos θ}}

4) İşaret konusu

Kareköklü ifadelerde sonuç hem pozitif hem negatif olabilir. İşaret, açının bulunduğu bölgeye göre belirlenir.

Örnek

Eğer açı 2. bölgedeyse sin pozitiftir, cos negatiftir.

5) Örnek

cosθ = 0 ise:

\sqrt{\frac{1}{2}}

Sonraki sayfa

16. sayfada trigonometrik dönüşümleri öğreneceğiz.

6. bölüm

TYT & AYT - Trigonometri - 16.Sayfa

Trigonometri - 16. Sayfa

Lise · TYT · AYT

Trigonometrik Dönüşümler

Sayfa 16 · indirgeme, tümler-bütünler, negatif açı kuralları

1) Dönüşüm ne işe yarar?

Trigonometride birçok ifade, özel açılara (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) indirgenerek bulunur. Dönüşüm kuralları sayesinde 120°, 150°, 210°, 330° gibi açıları referans açı ile ilişkilendirip hızlıca hesaplarız.

Hızlı hatırlatma

Referans açı: x ekseni ile yapılan en küçük açıdır. Değerin büyüklüğünü referans açı verir, işareti ise bölge belirler.

2) Negatif açı dönüşümleri

Bazı trigonometrik fonksiyonlar tek/çift fonksiyondur:

sin tek fonksiyon

\sin (- θ) = - \sin θ

cos çift fonksiyon

\cos (- θ) = \cos θ

tan tek fonksiyon

\tan (- θ) = - \tan θ

Örnek

sin(−30°) = −sin30° olduğundan sonuç −1/2 olur.

3) Tümler açı dönüşümleri

Tümler açılar toplamı 90° olan açılardır. Bir açıyı 90°’ye tamamlayarak sin ve cos arasında dönüşüm yapılır:

sin ↔ cos

\sin (90 ° - θ) = \cos θ

\cos (90 ° - θ) = \sin θ

tan ↔ cot

\tan (90 ° - θ) = \cot θ

\cot (90 ° - θ) = \tan θ

Örnek

cos60° = sin(90° − 60°) = sin30° olduğundan 1/2’dir.

4) Bütünler açı dönüşümleri

Bütünler açılar toplamı 180° olan açılardır. 180° çevresinde dönüşüm yaparken işaret değişimleri bölgeye göre oluşur:

180° − θ

\sin (180 ° - θ) = \sin θ

\cos (180 ° - θ) = - \cos θ

\tan (180 ° - θ) = - \tan θ

Örnek

sin150° = sin(180° − 30°) = sin30° = 1/2. cos150° ise −cos30° olduğu için negatiftir.

5) 360° etrafında indirgeme

360° çevresinde dönüşümde referans açı yine aynıdır; işaret bölgeye göre gelir:

360° − θ

\sin (360 ° - θ) = - \sin θ

\cos (360 ° - θ) = \cos θ

\tan (360 ° - θ) = - \tan θ

Örnek

cos330° = cos(360° − 30°) = cos30° = √3/2. sin330° ise −sin30° olduğu için −1/2 olur.

Sonraki sayfa

17. sayfada trigonometrik ifadeleri sadeleştirme ve özdeşliklerle pratik yapacağız.

7. bölüm

TYT & AYT - Trigonometri - 17.Sayfa

Trigonometri - 17. Sayfa

Lise · TYT · AYT

Trigonometrik İfadeleri Sadeleştirme

Sayfa 17 · Özdeşlik kullanarak sadeleştirme

1) Sadeleştirme nedir?

Trigonometrik sadeleştirme, verilen karmaşık bir ifadeyi daha basit bir ifadeye dönüştürme işlemidir. Bu işlem sırasında trigonometrik özdeşlikler kullanılır.

Temel araç

sin²θ + cos²θ = 1 özdeşliği en sık kullanılan sadeleştirme aracıdır.

2) Örnek 1

Aşağıdaki ifadeyi sadeleştirelim:

\frac{\sin^{2} θ + \cos^{2} θ}{\cos θ}

Üst taraf özdeşliğe göre 1’e eşittir:

\frac{1}{\cos θ}

Bu ifade secθ’ye eşittir.

3) Örnek 2

Aşağıdaki ifadeyi sadeleştirelim:

\frac{\sin θ}{\cos θ}

Bu ifade doğrudan tanθ tanımına eşittir.

4) Örnek 3

Aşağıdaki ifadeyi sadeleştirelim:

\frac{1}{\sin θ} \cdot \sin θ

sinθ’ler sadeleşir ve sonuç 1 olur.

5) Sadeleştirme stratejileri

Özdeşlikleri kullan
Kesirleri parçala
Ortak çarpanları sadeleştir
Tanım eşitliklerini kullan

Sonraki sayfa

18. sayfada trigonometrik eşitlik ispatı yapmayı öğreneceğiz.

8. bölüm

TYT & AYT - Trigonometri - 18.Sayfa

Trigonometri - 18. Sayfa

Lise · TYT · AYT

Trigonometrik Eşitlik İspatı

Sayfa 18 · Özdeşlik kullanarak ispat yöntemleri

1) İspat nedir?

Trigonometrik ispat, verilen iki trigonometrik ifadenin birbirine eşit olduğunu göstermektir. Bu işlem sırasında trigonometrik özdeşlikler kullanılır.

Temel ilke

Bir tarafı sadeleştirerek diğer tarafa ulaşırsak eşitlik ispatlanmış olur.

2) Örnek ispat

Aşağıdaki eşitliği ispatlayalım:

\frac{\sin θ}{\cos θ} = \tan θ

tanθ tanımı:

\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}

Böylece eşitlik doğrulanmış olur.

3) Özdeşlik kullanarak ispat

Aşağıdaki eşitliği inceleyelim:

\sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1

Bu ifade temel trigonometrik özdeşliktir ve her açı için doğrudur.

4) Daha gelişmiş örnek

Aşağıdaki eşitliği inceleyelim:

\frac{1}{\cos θ} = \sec θ

Bu ifade secant fonksiyonunun tanımıdır.

5) İspat stratejileri

Bir tarafı sadeleştir
Özdeşlikleri kullan
Tanım eşitliklerini kullan
Karmaşık ifadeleri parçala

Sonraki sayfa

19. sayfada trigonometrik denklem çözme tekniklerini öğreneceğiz.

9. bölüm

TYT & AYT - Trigonometri - 19.Sayfa

Trigonometri - 19. Sayfa

Lise · TYT · AYT

Trigonometrik Denklemler

Sayfa 19 · Temel trigonometrik denklem çözümü

1) Trigonometrik denklem nedir?

İçinde sin, cos, tan gibi trigonometrik fonksiyonlar bulunan denklemlere trigonometrik denklem denir. Amaç, açının değerini bulmaktır.

2) Örnek: sinθ = 1/2

sinθ değeri 1/2 olan açılar bulunur.

\frac{1}{2}

Bu değer şu açılarda oluşur:

30°
150°

3) Örnek: cosθ = 0

cosθ sıfır olan açılar bulunur:

90°
270°

4) Örnek: tanθ = 1

tanθ değeri 1 olan açı:

45°
225°

5) Genel çözüm

Trigonometrik denklemlerde çözüm sonsuz sayıda olabilir. Çünkü trigonometrik fonksiyonlar periyodiktir.

θ = 30 ° + 360 ° k

Burada k bir tam sayıdır.

Sonraki sayfa

20. sayfada trigonometri konusunun genel özetini yapacağız.

10. bölüm

TYT & AYT - Trigonometri - 20.Sayfa

Trigonometri - 20. Sayfa

Lise · TYT · AYT

Trigonometri Genel Özet

Sayfa 20 · Tüm temel kavramların özeti

1) Temel trigonometrik oranlar

\frac{karşı}{hipotenüs}

sinθ

\frac{komşu}{hipotenüs}

cosθ

\frac{karşı}{komşu}

tanθ

2) Temel özdeşlik

\sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1

3) Özel açılar

sin30° =

\frac{1}{2}

cos60° =

\frac{1}{2}

tan45° = 1

4) Periyot bilgisi

sin ve cos periyodu 360°
tan periyodu 180°
Fonksiyonlar tekrar eder

5) Birim çember ilişkisi

(\cos θ, \sin θ)

Birim çember üzerindeki nokta koordinatları bu şekildedir.

Genel sonuç

Trigonometrik oranlar açı ile ilişkilidir
Birim çember tüm sistemi açıklar
Özdeşlikler sadeleştirme sağlar
Periyot nedeniyle sonsuz çözüm vardır
Trigonometrik denklemler özel açılarla çözülür

Trigonometri Konu Anlatımı

TYT & AYT - Trigonometri - 11.Sayfa

Gelişmiş Trigonometrik Özdeşlikler

1) tan²θ + 1 = sec²θ özdeşliği

2) Nasıl elde edilir?

3) cot²θ + 1 = csc²θ özdeşliği

4) Örnek soru

5) Özet

Sonraki sayfa

TYT & AYT - Trigonometri - 12.Sayfa

Temel Trigonometrik Denklemler

1) Genel çözüm mantığı

2) sinx = a denklemi

3) cosx = a denklemi

4) tanx = a denklemi

5) Sık yapılan hata

Sonraki sayfa

TYT & AYT - Trigonometri - 13.Sayfa

Toplam ve Fark Formülleri

1) sin(a + b) formülü

2) sin(a − b) formülü

3) cos(a + b) formülü

4) cos(a − b) formülü

5) tan(a + b) formülü

6) Örnek: sin(45° + 30°)

Sonraki sayfa

TYT & AYT - Trigonometri - 14.Sayfa

İki Kat Açı Formülleri

1) sin(2θ) formülü

2) cos(2θ) formülleri

3) tan(2θ) formülü

4) Örnek: sin(60°)

Sonraki sayfa

TYT & AYT - Trigonometri - 15.Sayfa

Yarım Açı Formülleri

1) sin(θ/2) formülü

2) cos(θ/2) formülü

3) tan(θ/2) formülü

4) İşaret konusu

5) Örnek

Sonraki sayfa

TYT & AYT - Trigonometri - 16.Sayfa

Trigonometrik Dönüşümler

1) Dönüşüm ne işe yarar?

2) Negatif açı dönüşümleri

3) Tümler açı dönüşümleri

4) Bütünler açı dönüşümleri

5) 360° etrafında indirgeme

Sonraki sayfa

TYT & AYT - Trigonometri - 17.Sayfa

Trigonometrik İfadeleri Sadeleştirme

1) Sadeleştirme nedir?

2) Örnek 1

3) Örnek 2

4) Örnek 3

5) Sadeleştirme stratejileri

Sonraki sayfa

TYT & AYT - Trigonometri - 18.Sayfa

Trigonometrik Eşitlik İspatı

1) İspat nedir?

2) Örnek ispat

3) Özdeşlik kullanarak ispat

4) Daha gelişmiş örnek

5) İspat stratejileri

Sonraki sayfa

TYT & AYT - Trigonometri - 19.Sayfa

Trigonometrik Denklemler

1) Trigonometrik denklem nedir?

2) Örnek: sinθ = 1/2

3) Örnek: cosθ = 0

4) Örnek: tanθ = 1

5) Genel çözüm

Sonraki sayfa

TYT & AYT - Trigonometri - 20.Sayfa

Trigonometri Genel Özet

1) Temel trigonometrik oranlar

2) Temel özdeşlik

3) Özel açılar

4) Periyot bilgisi

5) Birim çember ilişkisi