1. bölüm

TYT & AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 11.Sayfa

Lise - TYT - AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 11. Sayfa

Orta → Zor

Grafik Mantığını Güçlendirelim

Tepe noktası, simetri ekseni ve “en küçük/en büyük değer” ile hızlı karar

Neden tepe noktası önemli?

Parabolun “en küçük” veya “en büyük” değerini tepe noktası verir. Eğer tepe noktası değeri x-ekseniyle ilişkiliyse, kökleri tek tek bulmadan bile eşitsizliğin her yerde doğru/yanlış olup olmadığını anlayabiliriz.

1) Tepe noktası ve simetri ekseni

Simetri ekseni

Parabolun simetri ekseni:

x = - \frac{b}{2 a}

Tepe noktası x değeri

Tepe noktasının x koordinatı simetri eksenidir: x_t = −b/(2a)

Tepe noktası y değeri (en küçük/en büyük)

Tepe noktasının y değeri: f(x_t) parabol yukarı açılıyorsa en küçük değerdir, aşağı açılıyorsa en büyük değerdir.

Yukarı açılan parabol (a > 0): minimum = tepe noktası değeri

Aşağı açılan parabol (a < 0): maksimum = tepe noktası değeri

2) Örnek: Kök bulmadan çöz

Eşitsizlik:

x^{2} + 6 x + 10 > 0

Tepe noktası yaklaşımı

Burada a=1 > 0, yani parabol yukarı açılır. Minimum değer tepe noktasındadır.

Tepe noktası x değeri:

x = - \frac{6}{2 \cdot 1}

yani x = −3.

Tepe noktası değeri: f(−3) hesaplanır.

f(−3) =

{(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) + 10

Bu değeri hesaplayınca minimumu buluruz. Minimum pozitifse ifade her zaman pozitiftir.

Sonuç fikri:

Minimum değer 0’dan büyük çıkarsa çözüm kümesi tüm gerçek sayılar olur. Minimum değer 0’dan küçük çıkarsa kökler vardır ve işaret tablosu gerekir.

Pratik not

Bu yöntemde amaç “kök bulmak” değil; tepe noktasının x-ekseniyle ilişkisini hızlıca görmek. Özellikle “her zaman > 0 mı?” gibi sorularda çok işe yarar.

2. bölüm

TYT & AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 12.Sayfa

Lise - TYT - AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 12. Sayfa

Orta → İleri Seviye

En Az ve En Çok Değer ile Eşitsizlik

Parabolun minimum ve maksimum değerini kullanarak çözüm bulma

En önemli fikir

2. dereceden bir fonksiyonun minimum veya maksimum değeri tepe noktasında oluşur.

Bu değer, eşitsizliğin “her x için doğru mu?” yoksa “bazı aralıklarda mı doğru?” olduğunu belirler.

Tepe noktası x değeri (genel kural)

x = - \frac{b}{2 a}

Örnek 1

Verilen ifade:

x^{2} - 4 x + 7

Adım 1: Tepe noktası x değeri

Bu ifadede a=1, b=−4. Dolayısıyla: −b = 4.

x = \frac{4}{2 \cdot 1}

x = 2

Adım 2: Minimum değer

f (2) = 2^{2} - 4 \cdot 2 + 7

4 − 8 + 7 = 3

f (2) = 3

Sonuç yorumu

a=1 > 0 olduğu için parabol yukarı açılır ve minimum değer 3 olur. Bu nedenle ifade her zaman ≥ 3 kalır.

Örnek 2: Eşitsizlik yorumu

x^{2} - 4 x + 7 > 0

Çünkü minimum değer 3 > 0

Çözüm kümesi: (−∞, +∞)

Kritik kural

a > 0 iken minimum değer > 0 ise ifade her zaman pozitiftir.

Minimum değer < 0 olursa kökler oluşur ve işaret tablosu gerekir.

3. bölüm

TYT & AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 13.Sayfa

Lise - TYT - AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 13. Sayfa

İleri Seviye

Parametreli 2. Dereceden Eşitsizlikler

“a, m, k” gibi sabit olmayan sayılarla çözüm: kök sayısı + işaret analizi

Parametre ne demek?

Parametre, değeri soruya göre değişebilen bir sayı gibi düşünülür. Eşitsizlikte amaç: “hangi parametre değerlerinde eşitsizlik her zaman doğru olur?” veya “hangi parametre değerlerinde belirli aralıklarda doğru olur?” sorularını çözmektir.

1) Temel strateji: önce 0’a göre düşün

Genel yapı

Parametreli bir eşitsizlik çoğunlukla şu formdadır:

f (x) = a x^{2} + b x + c (m)

Burada m parametredir. “Çözüm kümesi”ni bulmak için önce f(x)=0 denkleminin kök sayısını ve konumunu inceleriz.

2) Parametreli diskriminant fikri

Diskriminant hala ana araç

Kök sayısını anlamak için:

Δ = b^{2} - 4 a c

Parametreli sorularda c veya b ya da a parametre içerir ve böylece Δ da parametreli olur.

Parametreye göre üç durum

Δ > 0 → 2 farklı kök → işaret tablosu 3 bölge
Δ = 0 → çift katlı kök → tek temas noktası
Δ < 0 → gerçek kök yok → ifade her yerde aynı işaret

3) Örnek: “Her x için ≥ 0” şartı

İfade:

x^{2} + m \geq 0

Adım adım yorum

Burada a=1 > 0, parabol yukarı açılır.
x² en küçük değerini 0 alır (x=0 iken).
O zaman ifadenin en küçük değeri m olur.
“Her x için ≥ 0” olması için en küçük değer ≥ 0 olmalı: m ≥ 0

Sonuç: m ≥ 0

Aynı sonucu “kök” mantığıyla da görebilirsin

Eğer

x^{2} + m = 0

denkleminin gerçek kökü olmasın istiyorsak, m > 0 olmalı; fakat eşitsizlik ≥ olduğu için m=0 durumunda da her x için sağlanır.

Sık yapılan hata

“Her x için” denildiğinde sadece birkaç değer denemek yetmez. Mutlaka minimum/maksimum veya Δ mantığı kullanılmalıdır.

4. bölüm

TYT & AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 14.Sayfa

Lise - TYT - AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 14. Sayfa

İleri Seviye

Çözüm Kümesi Tüm Reel Sayılar Olsun

Parametre hangi değerleri alırsa eşitsizlik her x için doğru olur?

Ana prensip

Eğer bir 2. dereceden eşitsizlik tüm x ∈ ℝ için doğru olacaksa:

ifade hiçbir zaman negatif olmamalıdır.

Kritik kural

Eğer

a x^{2} + b x + c \geq 0

tüm reel sayılar için doğru olacaksa:

1) a > 0 olmalı
2) Δ ≤ 0 olmalı

Diskriminant:

Δ = b^{2} - 4 a c

Örnek

Verilen:

x^{2} + m x + 4 \geq 0

Adım 1: a kontrol edilir

Burada

a = 1

yani pozitif → uygun

Adım 2: Diskriminant hesaplanır

Δ = m^{2} - 16

Adım 3: Δ ≤ 0 şartı uygulanır

m^{2} - 16 \leq 0

Çözüm

−4 ≤ m ≤ 4

Grafik yorumu:

Bu aralıkta parabol x-ekseni altına inmez.

Kritik sonuç

Tüm reel sayılar için ≥ 0 olması için:

a > 0
Δ ≤ 0

5. bölüm

TYT & AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 15.Sayfa

Lise - TYT - AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 15. Sayfa

İleri Seviye

Çözüm Kümesi Boş O görün (∅)

Eşitsizliğin hiçbir reel sayı için sağlanmaması durumu

Çözüm kümesi boş ne demek?

Hiçbir reel sayı eşitsizliği sağlamaz.

Yani ifade her zaman pozitifse ve biz < 0 arıyorsak çözüm yoktur.

Kritik kural

Eğer

a x^{2} + b x + c > 0

her zaman doğruysa,

şu eşitsizliğin çözümü yoktur:

a x^{2} + b x + c < 0

Bunun olması için:

1) a > 0
2) Δ ≤ 0

Örnek

x^{2} + m x + 9 < 0

Diskriminant hesaplanır

Δ = m^{2} - 36

Çözüm olmaması için:

m^{2} - 36 \leq 0

Sonuç:

−6 ≤ m ≤ 6

Grafik yorumu:

Bu durumda parabol x ekseni altına inmez.

Kritik sonuç

a > 0 ve Δ ≤ 0 ise ifade her zaman pozitiftir.

Bu nedenle < 0 eşitsizliğinin çözümü yoktur.

6. bölüm

TYT & AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 16.Sayfa

Lise - TYT - AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 16. Sayfa

Zor Seviye

Parametreli Zor Problem: Aralık Şartı

Çözüm kümesinin belirli bir aralıkta kalması için parametreyi bulma

Problem

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesi [1, 4] aralığını tamamen kapsasın. Parametre m kaç olabilir?

x^{2} - 5 x + m \leq 0

Mantık

Burada a=1 > 0 olduğu için parabol yukarı açılır. ≤ 0 koşulu, ifadenin kökler arasında (ve kökler dahil) sağlandığı anlamına gelir.

Aralık şartını nasıl kurarız?

Çözüm kümesi kökler arası olduğu için, çözümün [1,4] aralığını kapsaması demek:

sol kök ≤ 1 ve sağ kök ≥ 4 olmalıdır.

Pratik yöntem: uç noktaları kontrol et

Yukarı açılan parabolde ≤ 0 çözümünün bir aralığı kapsaması için, o aralıktaki uç noktaların da ≤ 0 sağlaması gerekir. Bu yüzden: f(1) ≤ 0 ve f(4) ≤ 0 şartlarını kurarız.

1) f(1) ≤ 0

f (1) = 1^{2} - 5 \cdot 1 + m

f (1) = m - 4

m - 4 \leq 0

→ m ≤ 4

2) f(4) ≤ 0

f (4) = 4^{2} - 5 \cdot 4 + m

f (4) = m - 4

m - 4 \leq 0

→ m ≤ 4

Tepe noktası kontrolü

Kapsama için uç noktaları sağlamak yetmez gibi görünebilir. Ancak a > 0 olduğunda parabol yukarı açılır ve aralık içindeki maksimum değer uçlarda olur, minimum değer tepededir. Biz ≤ 0 istediğimiz için, uçların ≤ 0 olması, aralığın tamamının da ≤ 0 olmasını garanti eder.

Sonuç

Her iki şarttan da m ≤ 4 bulunur. Bu değerlerde çözüm kümesi [1,4] aralığını kapsar.

Not

Bu tip sorularda iki yaklaşım vardır:

1) Kök konumu: sol kök ≤ sol uç, sağ kök ≥ sağ uç
2) Uç noktalar: f(sol uç) ≤ 0 ve f(sağ uç) ≤ 0

7. bölüm

TYT & AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 17.Sayfa

Lise - TYT - AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 17. Sayfa

Zor Seviye

Çözüm Kümesi Tam Olarak Bir Aralık Olsun

“Çözüm kümesi (p, q) olsun” denince kökleri hedef aralığın uçlarına eşitleme

Ana fikir

Yukarı açılan bir parabolde f(x) < 0 eşitsizliğinin çözümü genellikle iki kökün arasıdır.

Eğer soru “çözüm kümesi tam olarak (p, q) olsun” diyorsa, bu çoğu zaman köklerin p ve q olmasını hedefler.

Örnek problem

Eşitsizlik:

x^{2} - 6 x + m < 0

Çözüm kümesi tam olarak (2, 4) olsun.

Kök mantığı

Yukarı açılan parabolde < 0 çözümü, iki farklı kök varsa (k₁, k₂) olur. “Tam olarak (2,4)” istendiğine göre:

k₁=2 ve k₂=4 hedeflenir.

Kökleri kullanarak ifadeyi yaz

Kökler 2 ve 4 ise, ifade şu şekilde yazılabilir:

(x - 2) (x - 4)

Açarsak:

x^{2} - 6 x + 8

Buradan m = 8 bulunur.

Neden (2,4) açık aralık?

Eşitsizlik < 0 olduğu için kökler dahil edilmez. Bu nedenle çözüm kümesi (2,4) olur. Eğer soru ≤ 0 deseydi çözüm [2,4] olurdu.

Hızlı kontrol

x=3 seçelim:

3² − 6·3 + 8 = 9 − 18 + 8 = −1

Negatif çıktı, yani (2,4) içinde doğru. x=1 seçilirse pozitif çıkar, yani dışarıda yanlış.

Özet kural

“Çözüm kümesi tam olarak (p,q) olsun” (yukarı açılan + <0) → kökleri p ve q seç.

“Tam olarak [p,q] olsun” (yukarı açılan + ≤0) → kökleri p ve q seç, uçlar dahil.

8. bölüm

TYT & AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 18.Sayfa

Lise - TYT - AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 18. Sayfa

Zor Seviye

Kökler Belirli Bir Aralıkta Olsun / Olmasın

Parametreli sorularda köklerin konumunu kontrol etme yöntemi

Ana fikir

Parametreli sorularda bazen köklerin belirli bir aralıkta olması istenir.

Örnek istekler:

Kökler (1,5) aralığında olsun
Köklerden biri 2’den küçük olsun
Kökler reel sayı olmasın

Örnek Problem

x^{2} - 6 x + m = 0

Kökler (2,5) aralığında olsun.

Bunun anlamı:

Her iki kök de:

2 < kök < 5

Pratik yöntem

Eğer kökler (2,5) aralığında ise:

f(2) ve f(5) aynı işaretli olmalı

ve parabol yukarı açıldığı için bu işaret pozitiftir.

f(2) hesaplayalım:

2^{2} - 6 · 2 + m

m − 8

m − 8 > 0

m > 8

f(5) hesaplayalım:

5^{2} - 6 · 5 + m

m − 5

m − 5 > 0

m > 5

Sonuç:

m > 8

Kritik kural

Kökler (a,b) aralığında ise:

f(a) ve f(b) aynı işaretlidir
ve Δ > 0 olmalıdır

9. bölüm

TYT & AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 19.Sayfa

Lise - TYT - AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 19. Sayfa

Sınav Seviyesi

Karma Parametreli Zor Problem

TYT–AYT seviyesinde çok adımlı çözüm örneği

Problem:

x^{2} - 4 x + m < 0

eşitsizliğinin çözüm kümesi en az bir reel sayı içersin.

Bu ne demek?

Eşitsizliğin çözümü boş küme olmamalıdır.

Yani ifade bazı x değerleri için negatif olmalıdır.

Bunun olması için:

Parabol x eksenini kesmelidir.

Yani: Δ > 0

Diskriminant hesaplayalım:

Δ = 16 - 4 m

Δ > 0 şartı:

16 − 4m > 0

Çözüm:

m < 4

Grafik yorumu:

Bu durumda parabol x eksenini keser ve negatif bölge oluşur.

Özel durum:

m = 4 olursa Δ = 0 olur ve çözüm yoktur.

Kritik sonuç

ax² + bx + c < 0 eşitsizliğinin çözümü olması için:

Δ > 0 olmalıdır.

10. bölüm

TYT & AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 20.Sayfa

Lise - TYT - AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 20. Sayfa

Genel Özet

2. Dereceden Eşitsizlikler: Tam Özet ve Taktikler

Hızlı karar verme, doğru yöntem seçimi ve sık hatalar

1) Konu haritası

İfadeyi 0’a göre düzenle: f(x) < 0, f(x) ≤ 0, f(x) > 0, f(x) ≥ 0
Kökleri bul (mümkünse çarpanlara ayır)
İşaret tablosu kur (kökler sayı doğrusunu böler)
Parabol yönünü unutma: a > 0 yukarı, a < 0 aşağı
Parametre varsa: önce Δ, sonra aralık/“her x için” şartı

2) İşaret tablosu özeti (Δ > 0)

İki farklı kök varsa sayı doğrusu üç bölgeye ayrılır.

a > 0 ⇒ (+) | (−) | (+)

a < 0 ⇒ (−) | (+) | (−)

“< 0” isteniyorsa negatif bölgeler seçilir, “≤ 0” isteniyorsa kökler de eklenir.

3) Diskriminant ile hızlı karar

Δ > 0 → 2 kök → işaret değişir → aralık çıkar
Δ = 0 → çift katlı kök → işaret değişmez → tek temas
Δ < 0 → kök yok → işaret her yerde aynı

4) Tam kareye tamamlama ne zaman?

Çarpanlara ayrılmıyorsa: (x + p)² + k formuna getir.

Kare ifade her zaman ≥ 0 olduğu için işaret analizi çok hızlı yapılır.

5) Parametreli sorularda 3 altın soru

Kök var mı? → Δ ile
Her x için doğru mu? → min/maks ya da Δ şartı
Çözüm bir aralık mı? → kökleri/aralık uçlarını kontrol et

6) Sık yapılan hatalar

a < 0 iken işaret tablosunu ters düşünmemek
“≤ / ≥” olduğunda kökleri dahil etmeyi unutmak
Negatif sayı ile çarpınca eşitsizlik yönünün değiştiğini kaçırmak
Δ < 0 iken yine de aralık aramak

Mini kontrol listesi (sınavda 15 saniye)

0’a göre yazdım mı?
a’nın işaretini gördüm mü?
Kök sayısını (Δ) belirledim mi?
“≤ / ≥” ise uçları ekledim mi?
Sonucu aralık olarak doğru yazdım mı?

2. Dereceden Eşitsizlikler Konu Anlatımı

TYT & AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 11.Sayfa

1) Tepe noktası ve simetri ekseni

2) Örnek: Kök bulmadan çöz

TYT & AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 12.Sayfa

Örnek 1

Örnek 2: Eşitsizlik yorumu

TYT & AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 13.Sayfa

1) Temel strateji: önce 0’a göre düşün

2) Parametreli diskriminant fikri

3) Örnek: “Her x için ≥ 0” şartı

TYT & AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 14.Sayfa

Örnek

TYT & AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 15.Sayfa

Örnek

TYT & AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 16.Sayfa

TYT & AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 17.Sayfa

Örnek problem

TYT & AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 18.Sayfa

Örnek Problem

TYT & AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 19.Sayfa

TYT & AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 20.Sayfa