AYT Matematik 2. Dereceden Eşitsizlikler Soru

İlk 12 soru

Çözümlü test soruları

Bu sayfada sınırlı sayıda soru ve doğru cevap gösterilir. Konu kazanımlarını ve çözüm adımlarını birlikte değerlendirebilirsin.

1. soru

AYT - Matematik - Orta Test - 2.Dereceden Eşitsizlikler 1 - 1

Doğru cevap: B

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesi hangisidir?

x^{2} - 5 x + 6 \leq 0

{x \in ℝ | x \leq 2 \lor x \geq 3}

{x \in ℝ | 2 \leq x \leq 3}

{x \in ℝ | x < 2 \lor x > 3}

{x \in ℝ | 2 < x < 3}

Çözüm

İstenen eşitsizlik:

x^{2} - 5 x + 6 \leq 0

Çarpanlara ayıralım:

x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)

Eşitsizliği çarpım biçiminde yazalım:

(x - 2) (x - 3) \leq 0

Kritik noktalar (çarpanı sıfır yapan değerler):

x = 2, x = 3

İşaret incelemesi (aralıklar):

x < 2, 2 < x < 3, x > 3

Orta aralıkta çarpımın işaretini örnekle kontrol edelim:

Örnek x = \frac{5}{2} için (x - 2) > 0 ve (x - 3) < 0 \Rightarrow (x - 2) (x - 3) < 0

Dolayısıyla çarpımın sıfırdan küçük veya eşit olduğu çözüm aralığı, kökler arasındadır (uçlar dahil):

2 \leq x \leq 3

Çözüm kümesi:

{x \in ℝ | 2 \leq x \leq 3}

Seçeneklerle karşılaştırınca doğru cevap B’dir.

2. soru

AYT - Matematik - Orta Test - 2.Dereceden Eşitsizlikler 1 - 2

Doğru cevap: A

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesi hangisidir?

$(x - 2) (x + 3) \leq 0$

[- 3, 2]

(- \infty, - 3] \cup [2, \infty)

(- 3, 2)

(- \infty, - 3) \cup (2, \infty)

Çözüm

Verilen eşitsizlik:

(x - 2) (x + 3) \leq 0

Çarpımın sıfır olduğu değerleri bulalım:

(x - 2) (x + 3) = 0

x - 2 = 0

x = 2

x + 3 = 0

x = - 3

Kritik noktalar sayı doğrusunu şu aralıklara ayırır:

(- \infty, - 3), (- 3, 2), (2, \infty)

İşaret incelemesi:

Parantezlerin işaretleri köklerde değişir. Çarpım, iki kökün arasında negatif (veya sıfır), köklerin dışında pozitiftir.

Eşitsizlik “küçük eşit” olduğundan kökler de çözüm kümesine dahil edilir.

Çözüm kümesi:

[- 3, 2]

Şıklarda bu aralık A seçeneğidir. Dolayısıyla doğru cevap A’dır.

3. soru

AYT - Matematik - Orta Test - 2.Dereceden Eşitsizlikler 1 - 3

Doğru cevap: A

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz.

$x^{2} - 5 x + 4 \leq 0$

{x | 1 \leq x \leq 4}

{x | x \leq 1 \cup x \geq 4}

{x | 1 < x < 4}

{x | x \leq 4}

Çözüm

Verilen eşitsizlik:

x^{2} - 5 x + 4 \leq 0

İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım:

x^{2} - 5 x + 4 = (x - 1) (x - 4)

Eşitsizlik şu hale gelir:

(x - 1) (x - 4) \leq 0

Kritik noktalar (kökler):

x = 1

x = 4

Parabolün baş katsayısı pozitif olduğu için kollar yukarıdır:

1 > 0

Bu nedenle ifade, kökler arasında (uçlar dahil) sıfır veya negatiftir.

Çözüm kümesi:

1 \leq x \leq 4

Doğru seçenek: A

4. soru

AYT - Matematik - Orta Test - 2.Dereceden Eşitsizlikler 1 - 4

Doğru cevap: A

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz.

x^{2} + 2 x - 3 \leq 0

[- 3, 1]

(- \infty, - 3] \cup [1, \infty)

(- 3, 1)

[- 1, 3]

Çözüm

Eşitsizlik:

x^{2} + 2 x - 3 \leq 0

İkinci dereceden ifadeyi çarpanlara ayıralım:

x^{2} + 2 x - 3 = (x + 3) (x - 1)

Eşitsizlik şu hale gelir:

(x + 3) (x - 1) \leq 0

Çarpımın işaret değiştirdiği kritik değerler (kökler):

x + 3 = 0

x = - 3

x - 1 = 0

x = 1

Parabolün katsayısı pozitif olduğu için ifade köklerin dışında pozitif, köklerin arasında negatiftir. Bu nedenle eşitsizlik, kökler arasında ve kökler dahil sağlanır:

[- 3, 1]

Sonuç: Çözüm kümesi yukarıdaki aralıktır ve bu da A şıkkı ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap A şıkkıdır.

5. soru

AYT - Matematik - Orta Test - 2.Dereceden Eşitsizlikler 1 - 5

Doğru cevap: A

Çözüm kümesini bulun:

x^{2} - 5 x + 6 < 0

2 < x < 3

x < 2 \lor x > 3

x \leq 2 \lor x \geq 3

x \in ℝ

Çözüm

Verilen eşitsizlik:

x^{2} - 5 x + 6 < 0

İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım:

x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)

Eşitsizlik şu hale gelir:

(x - 2) (x - 3) < 0

Çarpımın işaret değiştirdiği kökler:

x - 2 = 0

x = 2

x - 3 = 0

x = 3

Parabol yukarı doğru açıldığı için (baş katsayı pozitif), ifade kökler arasında negatiftir. Bu yüzden çözüm:

2 < x < 3

Doğru seçenek: A

6. soru

AYT - Matematik - Orta Test - 2.Dereceden Eşitsizlikler 2 - 1

Doğru cevap: B

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan değerler kümesini bulunuz:

$x^{2} - 5 x + 6 < 0$

(- \infty, 2) \cup (3, \infty)

(2, 3)

(- \infty, 2] \cup [3, \infty)

[2, 3]

Çözüm

Verilen eşitsizlik:

x^{2} - 5 x + 6 < 0

Çarpanlara ayıralım:

x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)

Eşitsizlik şu hale gelir:

(x - 2) (x - 3) < 0

Kökler:

(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 2

(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 3

Çarpımın negatif olması için iki çarpanın zıt işaretli olması gerekir; bu da kökler arasında olur:

2 < x < 3

Çözüm kümesi:

(2, 3)

Şık kontrolü: Bu ifade B şıkkı ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap B.

7. soru

AYT - Matematik - Orta Test - 2.Dereceden Eşitsizlikler 2 - 2

Doğru cevap: B

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz.

x^{2} - 5 x + 6 < 0

(- \infty, 2] \cup [3, \infty)

(2, 3)

(- \infty, 2) \cup (3, \infty)

[2, 3]

Çözüm

Verilen eşitsizlik:

x^{2} - 5 x + 6 < 0

Çarpanlara ayıralım:

x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)

Eşitsizlik şu hale gelir:

(x - 2) (x - 3) < 0

Kritik noktalar (kökler):

x = 2, x = 3

Çarpımın negatif olması için çarpanların zıt işaretli olması gerekir; bu da köklerin arasında gerçekleşir:

2 < x < 3

Çözüm kümesi:

(2, 3)

Bu nedenle doğru seçenek: B.

8. soru

AYT - Matematik - Orta Test - 2.Dereceden Eşitsizlikler 2 - 3

Doğru cevap: A

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan değişkenin değerleri hangi aralıktadır?

x^{2} - 5 x + 6 < 0

(2, 3)

(- \infty, 2) \cup (3, \infty)

[2, 3]

(- \infty, 2] \cup [3, \infty)

Çözüm

1) Doğru cevabı kontrol edelim: Verilen eşitsizlik, kökler arasında negatif olacağı için doğru seçenek A’dır.

2) Eşitsizliği çarpanlara ayıralım:

x^{2} - 5 x + 6 < 0

x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)

3) Eşitsizlik şu hale gelir:

(x - 2) (x - 3) < 0

4) Çarpımın negatif olması için iki çarpanın zıt işaretli olması gerekir. Kritik noktalar köklerdir:

x = 2, x = 3

5) Aralık testi:

• Eğer x, 2’den küçükse (ör. x=0):

(0 - 2) (0 - 3) = (- 2) (- 3) > 0

Bu aralık uygun değildir.

• Eğer x, 2 ile 3 arasındaysa (ör. x=2.5):

(2.5 - 2) (2.5 - 3) = (0.5) (- 0.5) < 0

Bu aralık uygundur.

• Eğer x, 3’ten büyükse (ör. x=4):

(4 - 2) (4 - 3) = (2) (1) > 0

Bu aralık uygun değildir.

6) Sıkı eşitsizlik olduğu için kökler dahil edilmez. Çözüm aralığı:

(2, 3)

Sonuç: Doğru cevap A’dır.