AYT Matematik Türev Soru Çözümleri | Dersler

İlk 12 soru

Çözümlü test soruları

Bu sayfada sınırlı sayıda soru ve doğru cevap gösterilir. Konu kazanımlarını ve çözüm adımlarını birlikte değerlendirebilirsin.

1. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Türev 1 - 1

Doğru cevap: A

Aşağıdaki fonksiyonun türevini bulun:

$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x}$

$f' (x)$ kaçtır?

1 - \frac{1}{x^{2}}

1 + \frac{1}{x^{2}}

\frac{2 x}{x^{2} + 1}

\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}

Çözüm

Önce fonksiyonu daha kolay türev alacağımız biçime dönüştürelim. (Tanım gereği paydada x olduğundan x sıfır olamaz.)

x \neq 0

Verilen fonksiyon:

f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x}

Payı iki terime ayırıp her birini x'e bölelim:

f (x) = \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x}

Sadeleştirince:

f (x) = x + \frac{1}{x}

Şimdi terim terim türev alalım:

f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})

Birinci terim:

\frac{d}{d x} (x) = 1

İkinci terimi kuvvet şeklinde yazalım ve kuvvet kuralını uygulayalım:

\frac{1}{x} = x^{- 1}

\frac{d}{d x} (x^{- 1}) = - 1 \cdot x^{- 2}

Hepsini birleştirirsek:

f' (x) = 1 - x^{- 2}

Sonucu kesirli biçimde yazalım:

f' (x) = 1 - \frac{1}{x^{2}}

Bu ifade şıklardan A ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap A'dır.

2. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Türev 1 - 2

Doğru cevap: A

Aşağıdaki $f$ fonksiyonu için $x = 1$ noktasındaki teğetin eğimi kaçtır?

$f (x) = x^{3} - 2 x$

1

2

3

- 1

Çözüm

Önce fonksiyonun türevini alıp teğetin eğimini bulacağız.

$f (x) = x^{3} - 2 x$

Türevi:

$\frac{d}{d x} [f (x)] = \frac{d}{d x} [x^{3}] - \frac{d}{d x} [2 x]$

Kuralları uygulayalım:

$f' (x) = 3 x^{2} - 2$

Teğetin eğimi, türevin ilgili noktadaki değeridir. Nokta:

$x = 1$

Yerine yazalım:

$f' (1) = 3 1^{2} - 2$

Hesaplayalım:

$f' (1) = 3 - 2 = 1$

Sonuç: Teğetin eğimi A şıkkı ile aynıdır.

3. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Türev 1 - 3

Doğru cevap: A

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ için $f' (1)$ değeri kaçtır?

- 3

3

- 6

0

Çözüm

Önce fonksiyonun türevini alalım.

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2

Terim terim türev alırsak:

f' (x) = 3 x^{2} - 6 x

Şimdi türevde yerine koyma yapalım.

f' (1) = 3 1^{2} - 6 \cdot 1

f' (1) = 3 - 6 = - 3

Doğru seçenek: A

4. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Türev 1 - 4

Doğru cevap: A

Aşağıdaki fonksiyonun türevini bulun:

$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x}$

1 - \frac{1}{x^{2}}

1 + \frac{1}{x^{2}}

2 x - \frac{1}{x^{2}}

\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}

Çözüm

Şıklardan A seçeneğinin doğru olup olmadığını kontrol edelim.

Verilen fonksiyon:

$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x}$

1) Önce fonksiyonu daha kolay türev alacağımız biçime ayıralım:

$f (x) = \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x}$

2) Sadeleştirelim:

$f (x) = x + \frac{1}{x}$

3) Şimdi türev alalım (terim terim):

$f^{'} (x) = \frac{d}{d x} (x + \frac{1}{x})$

4) Türevleri ayrı ayrı hesaplayalım:

$\frac{d}{d x} (x) = 1$

$\frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) = \frac{d}{d x} (x^{- 1}) = - x^{- 2}$

5) Sonucu birleştirelim:

$f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x^{2}}$

Bu ifade A şıkkı ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap A.

Not: Tanım gereği

$x \neq 0$

5. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Türev 1 - 5

Doğru cevap: A

Aşağıdaki fonksiyon için $x \neq 0$ iken türevi bulunuz:

f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x}

x^{0} - \frac{1}{x^{2}}

x^{0} + \frac{1}{x^{2}}

\frac{2 x - 1}{x^{2}}

\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}

Çözüm

Verilen fonksiyon:

f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x}

Önce sadeleştirerek daha kolay türev alalım (bölme işlemini terimlere ayırıyoruz):

f (x) = \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x}

Şimdi her terimi ayrı yazalım:

f (x) = x + x^{- 1}

Türev alalım:

f^{'} (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (x^{- 1})

Bilinen türevler:

\frac{d}{d x} (x) = 1

\frac{d}{d x} (x^{- 1}) = - 1 \cdot x^{- 2}

Birleştirince:

f^{'} (x) = 1 - x^{- 2}

İstenirse kesirli biçimde yazalım:

f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x^{2}}

Şıklarla karşılaştırma: A şıkkı

x^{0} - \frac{1}{x^{2}}

ifadesidir ve

x^{0} = 1

olduğu için doğru cevap A’dır.

6. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Türev 1 - 6

Doğru cevap: A

Aşağıda verilen fonksiyon için $x = 4$ noktasındaki türev değerini bulun.

$f (x) = (x^{2} + 1) \sqrt{x}$

\frac{81}{4}

\frac{81}{8}

\frac{65}{4}

\frac{79}{4}

Çözüm

Verilen fonksiyon:

f (x) = (x^{2} + 1) \sqrt{x}

Önce daha kolay türev almak için çarpımı üslü biçime dönüştürelim:

\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}

f (x) = (x^{2} + 1) x^{\frac{1}{2}}

Dağıtalım:

f (x) = x^{2 + \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}

f (x) = x^{\frac{5}{2}} + x^{\frac{1}{2}}

Kuvvet kuralı ile türev alalım:

x^{a} \to a x^{a - 1}

f^{'} (x) = \frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}

f^{'} (x) = \frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}

Şimdi x=4 için yerine yazalım:

f^{'} (4) = \frac{5}{2} 4^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2} 4^{- \frac{1}{2}}

Üslü değerleri hesaplayalım:

4^{\frac{3}{2}} = {\sqrt{4}}^{3} = 2^{3} = 8

4^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}

Toplayalım:

f^{'} (4) = \frac{5}{2} \times 8 + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}

f^{'} (4) = 20 + \frac{1}{4}

f^{'} (4) = \frac{81}{4}

Sonuç: Doğru cevap şık A'dır.

7. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Türev 1 - 7

Doğru cevap: A

Aşağıdaki fonksiyonun $x = 1$ noktasındaki türevi kaçtır?

$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x}$

0

1

2

- 1

Çözüm

Şık A’nın doğru olup olmadığını kontrol edelim ve türevi adım adım bulalım.

Verilen fonksiyon:

$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x}$

Önce fonksiyonu daha kolay türev alacağımız biçime ayıralım:

$f (x) = \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x}$

Sadeleştirelim:

$f (x) = x + \frac{1}{x}$

Şimdi türev alalım:

$f^{'} (x) = \frac{d}{d x} (x + \frac{1}{x})$

Parça parça türev:

$\frac{d}{d x} (x) = 1$

$\frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) = \frac{d}{d x} (x^{- 1}) = - x^{- 2}$

Dolayısıyla:

$f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x^{2}}$

Şimdi istenen noktada değerini bulalım:

$f^{'} (1) = 1 - \frac{1}{1^{2}} = 1 - 1 = 0$

Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

8. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Türev 1 - 8

Doğru cevap: B

Aşağıdaki fonksiyonun

$x = 2$

noktasındaki türev değerini bulun.

$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x - 1}$

1

- 1

- 2

0

Çözüm

Verilen fonksiyon:

f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x - 1}

Türev almak için bölümü daha kolay bir forma dönüştürelim (polinom bölmesi):

\frac{x^{2} + 1}{x - 1} = x + 1 + \frac{2}{x - 1}

Bu durumda fonksiyon:

f (x) = x + 1 + 2 (x - 1)^{- 1}

Şimdi türev alalım:

f^{'} (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (2 (x - 1)^{- 1})

Türevleri hesaplayalım:

f^{'} (x) = 1 + 0 + 2 \cdot - 1 \cdot (x - 1)^{2} - 1

Daha düzenli yazalım:

f^{'} (x) = 1 - \frac{2}{{x - 1}^{2}}

Şimdi türevin $x = 2$ noktasındaki değerini bulalım:

f^{'} (2) = 1 - \frac{2}{{2 - 1}^{2}}

İşlemi tamamlayalım:

f^{'} (2) = 1 - \frac{2}{1^{2}} = 1 - 2 = - 1

Sonuç şık B ile aynıdır; dolayısıyla B doğrudur.