AYT Matematik Limit Soru Çözümleri | Dersler

1. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Limit 1 - 1

Doğru cevap: A

Aşağıdaki limitin değerini bulunuz.

lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}

A

\frac{1}{2}

B

1

C

0

D

2

Çözüm

A şıkkı (yarım) doğrudur.

Verilen limit:

lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}

Paydaki köklü ifadeyi rasyonelleştirmek için eşleniği ile çarpalım:

lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x} \cdot \frac{\sqrt{x + 1} + 1}{\sqrt{x + 1} + 1}

Payda ve payı tek kesirde birleştirip farkların çarpımı özdeşliğini kullanalım:

lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x + 1} - 1) (\sqrt{x + 1} + 1)}{x (\sqrt{x + 1} + 1)}

Üst tarafı sadeleştirelim:

lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x + 1})^{2} - 1^{2}}{x (\sqrt{x + 1} + 1)}

Kareyi açınca:

lim_{x \to 0} \frac{(x + 1) - 1}{x (\sqrt{x + 1} + 1)}

Payda ve paydaki ortak x sadeleşir:

lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + 1} + 1}

Şimdi limitte x=0 yazılabilir:

\frac{1}{\sqrt{0 + 1} + 1}

Sonuç:

\frac{1}{2}

2. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Limit 1 - 2

Doğru cevap: A

Aşağıdaki limiti bulunuz.

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1}$

A

\frac{1}{4}

B

\frac{1}{2}

C

\frac{1}{8}

D

4

Çözüm

Verilen limit:

lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1}

Payda sıfıra gittiği için rasyonelleştirelim (eşleniği ile çarpalım):

lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x + 3} - 2) (\sqrt{x + 3} + 2)}{(x - 1) (\sqrt{x + 3} + 2)}

Pay kısmı çarpım özdeşliğinden sadeleşir:

lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x + 3})^{2} - 2^{2}}{(x - 1) (\sqrt{x + 3} + 2)}

Kareköklü ifadenin karesi sadeleşir:

lim_{x \to 1} \frac{(x + 3) - 4}{(x - 1) (\sqrt{x + 3} + 2)}

Payı düzenleyelim:

lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{(x - 1) (\sqrt{x + 3} + 2)}

$x - 1$ sadeleşir:

lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x + 3} + 2}

Şimdi yerine koyabiliriz:

\frac{1}{\sqrt{1 + 3} + 2}

Sonuç:

\frac{1}{4}

Bu değer şıklardan A ile aynıdır.

3. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Limit 1 - 3

Doğru cevap: B

Aşağıdaki limitin değerini bulunuz.

lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}

A

0

B

4

C

2

D

Yoktur

Çözüm

İfade doğrudan yerine koymada belirsizlik verir:

lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}

\frac{2^{2} - 4}{2 - 2} = \frac{0}{0}

Payı çarpanlara ayıralım:

x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)

İfadeyi sadeleştirelim (limitte x ikiye yaklaşırken x ikiye eşit değildir):

lim_{x \to 2} \frac{(x - 2) (x + 2)}{x - 2}

lim_{x \to 2} x + 2

Şimdi yerine koyabiliriz:

lim_{x \to 2} x + 2 = 2 + 2 = 4

Sonuç:

Doğru değer = 4

Bu nedenle doğru şık B’dir.

4. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Limit 1 - 4

Doğru cevap: B

Aşağıdaki limitin değerini bulun.

lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}

A

0

B

4

C

2

D

6

Çözüm

Verilen limit:

lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}

Payı çarpanlara ayıralım:

x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)

İfadede sadeleştirme yapalım:

\frac{x^{2} - 4}{x - 2} = \frac{(x - 2) (x + 2)}{x - 2} = x + 2

Artık limitte yerine koyma yapabiliriz:

lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4

Sonuç:

4

Bu değer şıklarda B seçeneğidir.

5. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Limit 1 - 5

Doğru cevap: C

Aşağıdaki limiti bulunuz:

lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}

A

0

B

2

C

4

D

tanımsız

Çözüm

Verilen limit ifadesi:

lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}

Pay kısmını çarpanlarına ayıralım:

x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)

Bu ifadeyi limite yerleştirip sadeleştirelim:

lim_{x \to 2} \frac{(x - 2) (x + 2)}{x - 2}

Sadeleşen ortak çarpanı kaldırınca (limit alınırken payda sıfır olmadığı değerlerde sadeleşme yapılır):

lim_{x \to 2} x + 2

Artık yerine koyma yapılabilir:

lim_{x \to 2} x + 2 = 4

Sonuç:

4

Bu değer şıklardan C ile aynıdır; yani doğru cevap C’dir.

6. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Limit 2 - 1

Doğru cevap: A

Aşağıdaki limiti bulunuz:

lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}

A

4

B

2

C

0

D

Limit yoktur

Çözüm

1) Kontrol: Doğru cevabın A olup olmadığını bulmak için limiti hesaplayalım.

lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}

2) Pay kısmını çarpanlara ayıralım.

x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)

3) İfadede sadeleştirme yapalım.

\frac{(x - 2) (x + 2)}{x - 2} = x + 2

4) Şimdi limiti sadeleşmiş ifade üzerinden alalım.

lim_{x \to 2} x + 2 = 2 + 2 = 4

5) Sonuç: Limit değeri şıklardan A ile aynıdır.

4

7. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Limit 2 - 2

Doğru cevap: B

Aşağıdaki limitin değeri kaçtır?

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$

A

2

B

4

C

0

D

6

Çözüm

1) Doğru şık kontrolü: İşlem sonucunda limit değeri şıklardaki

4

olduğu için doğru cevap B’dir.

2) Verilen limit:

lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}

3) Pay kısmını çarpanlara ayıralım:

x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)

4) Yerine yazalım ve sadeleştirelim:

lim_{x \to 2} \frac{(x - 2) (x + 2)}{x - 2} = lim_{x \to 2} (x + 2)

5) Şimdi limiti alalım:

lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4

Sonuç:

4

Doğru seçenek: B.

8. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Limit 2 - 3

Doğru cevap: B

Aşağıdaki limitin değerini bulun.

lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}

A

2

B

4

C

- 4

D

limit yoktur

Çözüm

1) Doğru şık kontrolü:

Limit değeri

4

çıktığı için doğru cevap B’dir.

2) İfade yazılır:

lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}

3) Pay kısmı çarpanlara ayrılır:

x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)

4) Limit ifadesinde yerine yazıp sadeleştiririz:

lim_{x \to 2} \frac{(x - 2) (x + 2)}{x - 2} = lim_{x \to 2} x + 2

5) Süreklilikten dolayı limitte yerine koyarız:

lim_{x \to 2} x + 2 = 2 + 2 = 4

Çözümlü test soruları

AYT - Matematik - Orta Test - Limit 1 - 1

Çözüm

AYT - Matematik - Orta Test - Limit 1 - 2

Çözüm

AYT - Matematik - Orta Test - Limit 1 - 3

Çözüm

AYT - Matematik - Orta Test - Limit 1 - 4

Çözüm

AYT - Matematik - Orta Test - Limit 1 - 5

Çözüm

AYT - Matematik - Orta Test - Limit 2 - 1

Çözüm

AYT - Matematik - Orta Test - Limit 2 - 2

Çözüm

AYT - Matematik - Orta Test - Limit 2 - 3

Çözüm