1. bölüm

TYT & AYT - Türev - 11.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Türev | 11. Sayfa

11

Lise • TYT • AYT

tan(x), cot(x), sec(x), csc(x) Türevleri

Bu sayfada diğer trigonometrik fonksiyonların türevlerini öğreneceğiz.

1) tan(x) fonksiyonunun türevi

tan(x)'in türevi sec²(x)'tir.

y = \tan (x)

\frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x)

2) cot(x) fonksiyonunun türevi

cot(x)'in türevi −csc²(x)'tir.

y = \cot (x)

\frac{d y}{d x} = - \csc^{2} (x)

3) sec(x) fonksiyonunun türevi

sec(x)'in türevi sec(x)·tan(x)'tir.

y = \sec (x)

\frac{d y}{d x} = \sec (x) \cdot \tan (x)

4) csc(x) fonksiyonunun türevi

csc(x)'in türevi −csc(x)·cot(x)'tir.

y = \csc (x)

\frac{d y}{d x} = - \csc (x) \cdot \cot (x)

✓

Bu sayfanın özeti

tan türevi sec²
cot türevi −csc²
sec türevi sec·tan
csc türevi −csc·cot

Sonraki sayfada üstel fonksiyonların türevlerini öğreneceğiz.

2. bölüm

TYT & AYT - Türev - 12.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Türev | 12. Sayfa

12

Lise • TYT • AYT

Üstel Fonksiyonların Türevleri

Bu sayfada e^x ve a^x fonksiyonlarının türevlerini öğreneceğiz.

1) e^x fonksiyonunun türevi

e tabanlı üstel fonksiyonun en önemli özelliği, türevinin kendisine eşit olmasıdır.

y = e^{x}

\frac{d y}{d x} = e^{x}

2) e^ax fonksiyonunun türevi

Zincir kuralı uygulanır.

y = e^{a x}

\frac{d y}{d x} = a e^{a x}

3) a^x fonksiyonunun türevi

Genel tabanlı üstel fonksiyonun türevinde ln(a) kullanılır.

y = a^{x}

\frac{d y}{d x} = \ln (a) a^{x}

4) Örnek

y = 5 e^{x}

\frac{d y}{d x} = 5 e^{x}

✓

Bu sayfanın özeti

e^x türevi kendisidir
e^ax türevi a·e^ax
a^x türevi ln(a)·a^x

Sonraki sayfada logaritmik fonksiyonların türevlerini öğreneceğiz.

3. bölüm

TYT & AYT - Türev - 13.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Türev | 13. Sayfa

13

Lise • TYT • AYT

Logaritmik Fonksiyonların Türevleri

Bu sayfada ln(x) ve log_a(x) fonksiyonlarının türevlerini öğreneceğiz.

1) ln(x) fonksiyonunun türevi

Doğal logaritmanın türevi en temel logaritmik türevdir.

y = \ln (x)

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}

2) ln(ax) fonksiyonunun türevi

Zincir kuralı uygulanır.

y = \ln (a x)

\frac{d y}{d x} = \frac{a}{a x}

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}

3) log_a(x) fonksiyonunun türevi

Genel tabanlı logaritmanın türevi ln kullanılarak bulunur.

y = \log (x)

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x \ln (a)}

4) Örnek

y = 5 \ln (x)

\frac{d y}{d x} = 5 \frac{1}{x}

✓

Bu sayfanın özeti

ln(x) türevi 1/x
log_a(x) türevi 1 / (x ln(a))
Zincir kuralı logaritmada uygulanır

Sonraki sayfada ters trigonometrik fonksiyonların türevlerini öğreneceğiz.

4. bölüm

TYT & AYT - Türev - 14.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Türev | 14. Sayfa

14

Lise • TYT • AYT

Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri

Bu sayfada arcsin, arccos ve arctan fonksiyonlarının türevlerini öğreneceğiz.

1) arcsin(x) fonksiyonunun türevi

arcsin(x), sin fonksiyonunun tersidir.

y = \arcsin (x)

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

2) arccos(x) fonksiyonunun türevi

arccos(x), cos fonksiyonunun tersidir.

y = \arccos (x)

\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

3) arctan(x) fonksiyonunun türevi

arctan(x), tan fonksiyonunun tersidir.

y = \arctan (x)

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x^{2}}

4) Örnek

y = 5 \arctan (x)

\frac{d y}{d x} = 5 \frac{1}{1 + x^{2}}

✓

Bu sayfanın özeti

arcsin türevi 1 / √(1 − x²)
arccos türevi −1 / √(1 − x²)
arctan türevi 1 / (1 + x²)

Sonraki sayfada implicit (kapalı) türev konusunu öğreneceğiz.

5. bölüm

TYT & AYT - Türev - 15.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Türev | 15. Sayfa

15

Lise • TYT • AYT

Kapalı (Implicit) Türev

Bu sayfada y açık olarak verilmediğinde türev alma yöntemini öğreneceğiz.

1) Kapalı fonksiyon nedir?

Bazen fonksiyon açık şekilde y = ... olarak verilmez.

Bunun yerine x ve y aynı denklem içinde bulunur.

Örnek kapalı denklem

x^{2} + y^{2} = 25

2) Temel fikir

Denklemin her iki tarafının x'e göre türevi alınır.

y'nin türevi alınırken zincir kuralı uygulanır.

Kritik nokta:

y'nin türevi alınırken sonuç:

\frac{d y}{d x}

şeklinde yazılır.

3) Örnek çözüm

Verilen denklem:

x^{2} + y^{2} = 25

Her iki tarafın türevi alınır:

2 x + 2 y \frac{d y}{d x} = 0

4) Sonuç

Türev yalnız bırakılır:

\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y}

✓

Bu sayfanın özeti

Kapalı fonksiyonlarda her iki taraf türevlenir
y türevinde zincir kuralı kullanılır
Sonuç dy/dx olarak bulunur

Sonraki sayfada ikinci türev konusunu öğreneceğiz.

6. bölüm

TYT & AYT - Türev - 16.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Türev | 16. Sayfa

16

Lise • TYT • AYT

İkinci Türev (Second Derivative)

Bu sayfada türevin türevini yani ikinci türevi öğreneceğiz.

1) İkinci türev nedir?

Bir fonksiyonun türevinin tekrar türevi alınırsa ikinci türev elde edilir.

y = f (x)

y' = f' (x)

y ″ = f ″ (x)

2) Gösterim şekilleri

İkinci türev farklı şekillerde gösterilebilir:

y ″

f ″ (x)

\frac{d^{2} y}{d^{2} x}

3) Örnek

Fonksiyon:

y = x^{3}

Birinci türev:

y' = 3 x^{2}

İkinci türev:

y ″ = 6 x

4) Fiziksel anlamı

İkinci türev değişim hızının değişim hızını gösterir.

Fizikte bu kavram ivme olarak karşımıza çıkar.

✓

Bu sayfanın özeti

İkinci türev türevin türevidir
y″ veya d²y/dx² şeklinde gösterilir
Değişimin değişimini gösterir

Sonraki sayfada artan-azalan fonksiyon ilişkisini öğreneceğiz.

7. bölüm

TYT & AYT - Türev - 17.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Türev | 17. Sayfa

17

Lise • TYT • AYT

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

Bu sayfada türev kullanarak fonksiyonun artan mı azalan mı olduğunu belirlemeyi öğreneceğiz.

1) Temel fikir

Türevin işareti fonksiyonun artan veya azalan olduğunu belirler.

Temel kurallar

f′(x) > 0 ise fonksiyon artandır
f′(x) < 0 ise fonksiyon azalandır
f′(x) = 0 ise kritik nokta olabilir

2) Matematiksel ifade

f' (x) > 0

Fonksiyon artandır.

f' (x) < 0

Fonksiyon azalandır.

3) Örnek

Verilen fonksiyon:

f (x) = x^{2}

Türevi:

f' (x) = 2 x

Sonuç:

x > 0 için fonksiyon artar
x < 0 için fonksiyon azalır

4) Grafik yorumu

Türev pozitifse grafik yukarı gider.

Türev negatifse grafik aşağı gider.

✓

Bu sayfanın özeti

Türev pozitifse fonksiyon artar
Türev negatifse fonksiyon azalır
Türev sıfırsa kritik nokta olabilir

Sonraki sayfada maksimum ve minimum noktaları öğreneceğiz.

8. bölüm

TYT & AYT - Türev - 18.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Türev | 18. Sayfa

18

Lise • TYT • AYT

Maksimum ve Minimum Noktalar

Bu sayfada türev kullanarak fonksiyonun en büyük ve en küçük noktalarını bulmayı öğreneceğiz.

1) Kritik nokta nedir?

Türevin sıfır olduğu noktalara kritik nokta denir.

f' (x) = 0

2) Maksimum nokta

Türev pozitiften negatife geçerse maksimum nokta oluşur.

Önce artan
Sonra azalan

3) Minimum nokta

Türev negatiften pozitife geçerse minimum nokta oluşur.

Önce azalan
Sonra artan

4) Örnek

Fonksiyon:

f (x) = x^{2}

Türevi:

f' (x) = 2 x

Kritik nokta:

x = 0

Bu nokta minimum noktadır.

5) İkinci türev testi

f″(x) > 0 → minimum
f″(x) < 0 → maksimum

✓

Bu sayfanın özeti

Türevin sıfır olduğu noktalar kritik noktalardır
Pozitif → negatif = maksimum
Negatif → pozitif = minimum

Sonraki sayfada grafik yorumlarını öğreneceğiz.

9. bölüm

TYT & AYT - Türev - 19.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Türev | 19. Sayfa

19

Lise • TYT • AYT

Türev ve Grafik Yorumu

Bu sayfada türev kullanarak grafik hakkında nasıl yorum yapılacağını öğreneceğiz.

1) Türev grafikte neyi gösterir?

Türev, grafiğin eğimini gösterir.

f' (x)

Bu ifade grafiğin o noktadaki eğimidir.

2) Eğimin işaretine göre grafik

Pozitif türev → grafik yükselir
Negatif türev → grafik düşer
Sıfır türev → yatay teğet vardır

3) Teğet doğrusu

Türev, grafiğe çizilen teğet doğrusunun eğimidir.

y - f (a) = f' (a) (x - a)

4) Örnek

f (x) = x^{2}

x = 2 için türev:

f' (2) = 4

Bu noktada teğetin eğimi 4'tür.

5) Grafik şeklinin belirlenmesi

Türev → artma-azalma
İkinci türev → eğriliği belirler

✓

Bu sayfanın özeti

Türev eğimi gösterir
Pozitif türev → grafik yükselir
Negatif türev → grafik düşer
Türev teğet eğimidir

Sonraki sayfada genel türev özetini tamamlayacağız.

10. bölüm

TYT & AYT - Türev - 20.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Türev | 20. Sayfa

20

Lise • TYT • AYT

Türev Genel Özet ve Büyük Tekrar

Bu sayfada türev konusunun tüm temel kurallarını özetleyeceğiz.

1) Türev tanımı

Türev, bir fonksiyonun değişim hızını gösterir.

f' (x)

2) En önemli türev kuralları

Kuvvet kuralı

x^{n}' = n x^{n - 1}

Trigonometrik

\sin (x)' = \cos (x)

Üstel

e^{x}' = e^{x}

Logaritma

\ln (x)' = \frac{1}{x}

3) Türevin kullanım alanları

Eğim bulma
Maksimum ve minimum bulma
Grafik analizi
Fizik problemleri
Optimizasyon

4) Büyük örnek

f (x) = x^{3} + 2 x

f' (x) = 3 x^{2} + 2

Türev Konusu Tamamlandı

Artık türev kurallarını, grafik yorumlarını ve maksimum-minimum analizlerini biliyorsunuz.

Türev Konu Anlatımı

TYT & AYT - Türev - 11.Sayfa

tan(x), cot(x), sec(x), csc(x) Türevleri

TYT & AYT - Türev - 12.Sayfa

Üstel Fonksiyonların Türevleri

TYT & AYT - Türev - 13.Sayfa

Logaritmik Fonksiyonların Türevleri

TYT & AYT - Türev - 14.Sayfa

Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri

TYT & AYT - Türev - 15.Sayfa

Kapalı (Implicit) Türev

TYT & AYT - Türev - 16.Sayfa

İkinci Türev (Second Derivative)

TYT & AYT - Türev - 17.Sayfa

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

TYT & AYT - Türev - 18.Sayfa

Maksimum ve Minimum Noktalar

TYT & AYT - Türev - 19.Sayfa

Türev ve Grafik Yorumu

TYT & AYT - Türev - 20.Sayfa

Türev Genel Özet ve Büyük Tekrar