1. bölüm

TYT & AYT - Sayı Problemleri - 1.Sayfa

Sayı Problemleri - 1. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Sayı Problemleri

Sayıları doğru modelleyip (basamak, rakam, sayı değeri, işlem önceliği) kısa ve güvenilir çözüm kurma. Bu sayfada temel kavramları netleştirip, “sayı problemleri”nin iskeletini kuracağız.

1) Sayı problemlerinin ortak mantığı

Temel fikir

Sorudaki “sayı”yı, rakamlar ve basamak değerleri ile ifade edip, verilen koşulu bir denkleme / bağıntıya çeviririz. Çözümde en kritik adım: doğru model kurmaktır.

Sık yapılan hata

“Rakamları yan yana yazmak” ile “toplamak/çıkarmak” karıştırılır. Örneğin 3 ve 5 rakamlarıyla oluşturulan iki basamaklı sayı 35’tir; bu, 3+5 değildir. Bu ayrımı net kurarsan sayı problemleri çok hızlanır.

2) Basamak değeri ve sayı yazımı (modelleme)

İki basamaklı sayı

Onlar basamağı a, birler basamağı b olan sayı:

N = 10 a + b

Burada a bir rakamdır ve iki basamaklı olması için a ≠ 0 olmalıdır. b ise 0–9 arası bir rakamdır.

Üç basamaklı sayı

Yüzler a, onlar b, birler c ise:

N = 100 a + 10 b + c

Bu yapı daha büyük basamaklara da aynı mantıkla genişler: 10’un kuvvetleri basamak ağırlığını verir.

10’un kuvvetleri ile genel bakış

Basamak ağırlıkları: 1, 10, 100, 1000, … yani 10’un kuvvetleri.

10 = 10^{1}, 100 = 10^{2}, 1000 = 10^{3}

Sayı problemlerinde “basamak değiştirme / sayı oluşturma” sorularının çoğu bu fikir üstüne kurulur.

3) Problem çözme iskeleti (TYT hızına uygun)

Sayıyı tanımla: “İki basamaklı sayı”, “abc” gibi ifadeleri mutlaka 10a+b, 100a+10b+c şeklinde yaz.
Koşulu çevir: “Rakamları toplamı”, “tersi”, “farkı”, “bölünebilme” gibi ifadeleri cebirsel ilişkiye dönüştür.
Rakam kısıtlarını unutma: Rakamlar 0–9 arasıdır. Baş basamak için çoğu zaman 0 olamaz.
Hızlı kontrol: Bulduğun sonuç “rakam” mı “sayı” mı, aralığa uyuyor mu? (Örn. onlar basamağı 0 çıkıyorsa iki basamaklı olma şartını bozmuş olabilirsin.)

Mini not (AYT seviyesine geçiş köprüsü)

Zor sorularda tek denklem yetmez; “rakam aralığı” ve “tam sayı koşulları” işi belirler. Bu yüzden her adımda kısıtları (0–9, baş basamak ≠ 0, bölünebilme şartları) yanına yazmak, AYT tarzı sorularda seni hatadan korur.

2. bölüm

TYT & AYT - Sayı Problemleri - 2.Sayfa

Sayı Problemleri - 2. Sayfa

Temel Modelleme → Problem Kurma

Rakamları Kullanarak Sayı Oluşturma Problemleri

Bu sayfada, verilen rakamlarla sayı oluşturma, rakamların yer değiştirmesi ve bu durumun matematiksel modele nasıl çevrileceğini öğreneceğiz.

1) Rakamların yer değiştirmesi

Onlar basamağı a, birler basamağı b olan iki basamaklı sayı:

N = 10 a + b

Eğer rakamların yeri değiştirilirse yeni sayı oluşur:

N' = 10 b + a

2) Sayı ile tersinin farkı

Bir sayının kendisi ile tersinin farkı:

(10 a + b) - (10 b + a)

Düzenlersek:

10 a + b - 10 b - a

Benzer terimleri toplarsak:

9 a - 9 b

Ortak çarpan alınırsa:

9 (a - b)

3) Çok önemli sonuç

İki basamaklı bir sayı ile tersinin farkı her zaman 9’un katıdır.

Sonuç = 9 (a - b)

Bu sonuç TYT ve AYT’de çok sık kullanılır.

3. bölüm

TYT & AYT - Sayı Problemleri - 3.Sayfa

Sayı Problemleri - 3. Sayfa

Temel Problem Türü

Rakamları Toplamı Verilen Sayı Problemleri

Bu bölümde rakamları toplamı verilen sayıların matematiksel modele nasıl dönüştürüldüğünü ve bu tür problemlerin nasıl çözüldüğünü öğreneceksin.

1) Rakamları toplamı nedir?

İki basamaklı bir sayının rakamları toplamı, onlar basamağı ile birler basamağının toplamıdır.

Eğer sayı:

N = 10 a + b

ise rakamları toplamı:

a + b

2) Problem modelleme örneği

Örnek durum

İki basamaklı bir sayının rakamları toplamı 11 olsun.

Bu durumda matematiksel model:

a + b = 11

Sayının kendisi ise:

N = 10 a + b

3) Kritik rakam kısıtları

Rakamlar için her zaman şu kural geçerlidir:

0 \leq a \leq 9

0 \leq b \leq 9

Ayrıca iki basamaklı sayı olduğu için:

a \neq 0

4. bölüm

TYT & AYT - Sayı Problemleri - 4.Sayfa

Sayı Problemleri - 4. Sayfa

Model → Bağıntı Kurma

Rakamları Toplamı ile Bölünebilme İlişkisi

Sayı problemlerinde “rakamları toplamı” çoğu zaman “bölünebilme” ile birleşir. Bu sayfada 3 ve 9’a bölünebilme mantığını, modelleme bakışıyla netleştireceğiz.

1) 3 ve 9’a bölünebilme fikri (neden çalışır?)

10 sayısının 9 ile bölümünden kalan 1’dir. Bu, basamakların “9’a göre” çok özel davranmasına sebep olur. Benzer şekilde 10 sayısının 3 ile bölümünden kalan da 1’dir.

10 \equiv 1 (\mod 9)

Buradan dolayı 10’un kuvvetleri de 9’a göre 1 gibi davranır:

10^{2} \equiv 1 (\mod 9), 10^{3} \equiv 1 (\mod 9)

Bu, “sayının 9’a göre değeri”nin “rakamları toplamının 9’a göre değeri” ile aynı olmasını sağlar.

2) Üç basamaklı örnek model

Sayı: abc

a, b, c rakamlarıyla:

N = 100 a + 10 b + c

Rakamları toplamı:

a + b + c

9’a göre bakarsak, 100 ve 10 da 1 gibi davrandığı için:

N \equiv a + b + c (\mod 9)

Bu nedenle N, 9’a bölünüyorsa rakamları toplamı da 9’a bölünür. Aynı mantık 3 için de geçerlidir.

3) Problemlerde nasıl kullanılır?

Tipik senaryo

“Bir sayı 9’a bölünüyorsa rakamları toplamı 9’un katıdır” bilgisiyle, rakamları toplamına denklem kurulur; sonra rakam aralığı ve baş basamak ≠ 0 şartlarıyla uygun çözümler seçilir.

Hızlı kontrol listesi

Sayıyı basamak değerleriyle yaz.
Rakamlar toplamını ayrı ifade et.
3/9’a bölünebilme şartını “toplam” üzerinden kur.
Rakamların 0–9 aralığını ve baş basamak şartını uygula.

5. bölüm

TYT & AYT - Sayı Problemleri - 5.Sayfa

Sayı Problemleri - 5. Sayfa

Sayı Problemlerinin Temel Türü

Sayının Belirli Bir Katı Olma Problemleri

Bu sayfada bir sayının başka bir sayının katı olması durumunda nasıl denklem kurulduğunu ve bu modelin sayı problemlerinde nasıl kullanıldığını öğreneceksin.

1) Bir sayının katı olmak ne demektir?

Bir sayı başka bir sayının katı ise, o sayı bir tam sayı ile çarpılabilir.

Genel ifade:

N = k \times m

Burada:

k → tam sayı
m → katı olunan sayı
N → elde edilen sayı

2) İki basamaklı sayı için kat modeli

İki basamaklı bir sayı:

N = 10 a + b

Eğer bu sayı 3’ün katı ise:

10 a + b = 3 k

Burada k bir tam sayıdır.

3) Çok önemli TYT-AYT tekniği

Bir sayı başka bir sayının katı ise denklem kurulur.

Örnek model:

Sayı = Kat \times TamSayı

Bu model özellikle şu tür sorularda kullanılır:

Belirli bir sayıya bölünen sayılar
Ortak kat problemleri
Bölünebilme içeren rakam soruları
Rakamları verilen kat problemleri

6. bölüm

TYT & AYT - Sayı Problemleri - 6.Sayfa

Sayı Problemleri - 6. Sayfa

Kritik Problem Türü

Sayının Bir Fazlası / Bir Eksiği Problemleri

Sayı problemlerinde en sık gelen yapılardan biri, sayının bir fazlası, bir eksiği veya belirli bir işlem sonrası oluşan yeni sayı ile ilişki kurmaktır.

1) Sayının bir fazlasını modelleme

Bir sayı:

N

ise bir fazlası:

N + 1

2) İki basamaklı sayı için uygulama

İki basamaklı sayı:

N = 10 a + b

Bu sayının bir fazlası:

10 a + b + 1

3) Sayının bir eksiği

Bir sayının bir eksiği:

N - 1

İki basamaklı sayı için:

10 a + b - 1

Bu yapı, özellikle ardışık sayı problemlerinin temelidir.

7. bölüm

TYT & AYT - Sayı Problemleri - 7.Sayfa

Sayı Problemleri - 7. Sayfa

Temel → Orta Seviye

Ardışık Sayılar ve Toplam Problemleri

Ardışık sayılar, sayı problemlerinin “hızlı denklem” kurulan türüdür. TYT’de temel form, AYT’de ise koşullu/parametreli ardışık yapılar çok gelir.

1) Ardışık tam sayıları tanımlama

En çok kullanılan üçlü yapı

Üç ardışık tam sayı genellikle ortadaki sayı üzerinden yazılır: n−1, n, n+1. Bu yazım, toplam ve çarpım ilişkilerini çok hızlı verir.

n - 1, n, n + 1

d farkla ardışık yazım (AYT için kritik)

“Aralarında d fark olan” üç sayı: n−d, n, n+d. Bu model, “eşit aralıklı” sayıları yakalar.

n - d, n, n + d

2) Ardışık sayıların toplamı

Üç ardışık sayının toplamı:

(n - 1) + n + (n + 1)

Sadeleşince:

3 n

Yani üç ardışık sayının toplamı her zaman 3’ün katıdır. Bu bilgi, hızlı eleme yapmanı sağlar.

3) Çift/tek ardışıklar ve pratik sonuçlar

Ardışık çift sayılar

Ardışık çift sayılar 2 farkla gider: 2k, 2k+2, 2k+4.

2 k, 2 k + 2, 2 k + 4

Ardışık tek sayılar da benzer biçimde: 2k+1, 2k+3, 2k+5.

Hız tekniği

“Ardışık” kelimesini gördüğün anda, önce ortadaki sayı yaklaşımını düşün: n−d, n, n+d. Bu yazım, hem toplamı hem de ortalama bilgisini tek seferde verir.

8. bölüm

TYT & AYT - Sayı Problemleri - 8.Sayfa

Sayı Problemleri - 8. Sayfa

Orta Seviye Problem Yapısı

Sayının Basamakları ile Kurulan Denklem Problemleri

Bu bölümde basamaklar arasında verilen ilişkilere göre sayının nasıl modellenip denklem kurulduğunu öğreneceksin. Bu yapı TYT ve AYT’nin en temel soru tiplerinden biridir.

1) Basamaklar arasında ilişki kurma

İki basamaklı bir sayı:

N = 10 a + b

Eğer basamaklar arasında şu ilişki verilirse:

a = b + 2

Bu ilişki doğrudan sayı denklemine yerleştirilebilir.

2) Sayıyı tek değişken ile ifade etme

Verilen ilişki:

a = b + 2

Sayı ifadesine yerleştirilirse:

N = 10 (b + 2) + b

3) Denklem sadeleştirme

Açarsak:

N = 10 b + 20 + b

Benzer terimler toplanır:

N = 11 b + 20

Bu ifade artık tek değişkenli bir sayı modelidir.

9. bölüm

TYT & AYT - Sayı Problemleri - 9.Sayfa

Sayı Problemleri - 9. Sayfa

Orta Seviye → İleri Seviye Köprü

Sayının Tersi ile Kurulan Denklemler

“Sayı ile tersinin toplamı/farkı/çarpımı” gibi sorular, basamak modelini doğru kurmayı zorunlu kılar. Bu sayfada iki ve üç basamaklı ters çevirme mantığını güçlü şekilde oturtacağız.

1) İki basamaklı sayının tersi

İki basamaklı sayı: ab

N = 10 a + b

Tersi: ba

N' = 10 b + a

Bu iki ifade, problemde verilen “toplam/fark” koşullarının doğrudan denkleme dönüşmesini sağlar.

2) Üç basamaklı sayının tersi

Üç basamaklı sayı: abc

N = 100 a + 10 b + c

Tersi: cba

N' = 100 c + 10 b + a

Kritik gözlem

Ortadaki basamak (b) yer değiştirmede aynı kalır; bu yüzden birçok soruda b üzerinden kısıt kurmak hızlı çözüm getirir.

3) Toplam ve fark denklemleri nasıl kurulur?

Toplam modeli

“Sayı ile tersinin toplamı S ise” doğrudan:

(10 a + b) + (10 b + a) = S

Benzer şekilde “fark” için çıkarma yapılır. Ardından rakam kısıtları (0–9, baş basamak ≠ 0) uygulanır.

Hızlı kontrol

Toplam/fark denkleminden sonra mutlaka rakam aralığı kontrolü yap.
Baş basamak 0 çıkarsa sayı basamak sayısını kaybeder.
Ters çevirme problemlerinde 9 ve 11 gibi çarpanlar sık görünür; sadeleştirmeyi ara.

10. bölüm

TYT & AYT - Sayı Problemleri - 10.Sayfa

Sayı Problemleri - 10. Sayfa

Orta Seviye → Zor Seviye

Basamak Taşıma: Artış/Azalış ve Eldeli İşlemler

“Bir sayıya 1 ekleyince rakamları değişiyor”, “çıkarma yapınca basamak bozuluyor” gibi soruların arkasında basamak taşıma (elde/ödünç) mantığı vardır. Bu sayfa, bu mantığı modellemenin güvenli yolunu kurar.

1) “+1” eklerken elde ne zaman olur?

Birler basamağı 9 ise, sayıya 1 ekleyince birler 0 olur ve onlar basamağına elde gider.

Örnek durum (metinle düşün)

...8 → +1 yapınca ...9 (elde yok)
...9 → +1 yapınca ...0 (elde var)

Bu fikir, “rakamlar değişti / arttı / azaldı” sorularında hangi basamakların etkilenebileceğini belirler.

2) “999... formu” ve zincir elde

Zincir elde ne zaman olur?

Bir sayının sağdan başlayarak birden fazla basamağı 9 ise, +1 işlemi bu 9’ları 0’a çevirip daha soldaki ilk “9 olmayan” basamağı 1 artırır.

Örnek düşünce: ...a999 yapısında, +1 sonrası ... (a+1)000 olur. Burada a basamağı 0–8 arası olmalıdır.

Bu tür sorularda genellikle sayıyı “sonu 9’larla biten” parça + “sol parça” diye ayırmak hız kazandırır.

3) Çıkarma ve ödünç alma (−1) mantığı

Birler basamağı 0 ise, 1 çıkarırken birler basamağından “ödünç” alınır. Bu durumda birler 9 olur ve onlar basamağı 1 azalır.

...5 → −1 yapınca ...4 (ödünç yok)
...0 → −1 yapınca ...9 (ödünç var)

Zincir ödünç

Sayının sağında birden fazla 0 varsa, −1 işlemi bu 0’ları 9’a çevirir ve daha soldaki ilk “0 olmayan” basamağı 1 azaltır. Bu yapı, özellikle “rakamları toplamı değişti” tarzı sorularda karşına çıkar.