2) Taban 1'den Büyükse (Artan Fonksiyon)

Eğer taban 1’den büyükse, eşitsizlik yönü değişmez:

$${\log }_{a}x>{\log }_{a}y$$ $$x>y$$

Bu durum:

3) Taban 0 ile 1 Arasındaysa (Azalan Fonksiyon)

Eğer taban 0 ile 1 arasındaysa, eşitsizlik yönü değişir:

$${\log }_{a}x>{\log }_{a}y$$ $$x<y$$

Bu durum:

4) Örnek (Taban > 1)

$${\log }_{2}x>{\log }_{2}4$$ $$x>4$$

5) Örnek (Taban 0 ile 1 Arasında)

$${\log }_{\frac{1}{2}}x>{\log }_{\frac{1}{2}}8$$ $$x<8$$

Sayfa Özeti

2) Örnek 1: Taban > 1 (Yön Değişmez)

$${\log }_{3}x-1>{\log }_{3}4$$ $$x-1>4$$ $$x>5$$

3) Örnek 2: 0 < Taban < 1 (Yön Değişir)

$${\log }_{\frac{1}{2}}x+1>{\log }_{\frac{1}{2}}4$$ $$x+1<4$$ $$x<3$$

4) Örnek 3: Tek Taraflı Eşitsizlik

$${\log }_{2}x-3>1$$ $$2^1<x-3$$ $$2<x-3$$ $$x>5$$

Sayfa Özeti

2) Tanım Kümesi

Logaritmanın içi pozitif olmalıdır:

Yani tanım kümesi:

3) Önemli Nokta

Tüm logaritma fonksiyonları şu noktadan geçer:

Çünkü:

4) Taban > 1 ise (Artan Fonksiyon)

x arttıkça log(x) artar.

5) 0 < Taban < 1 ise (Azalan Fonksiyon)

x arttıkça log(x) azalır.

6) x → 0 Davranışı

x sıfıra yaklaşırken log(x) negatif sonsuza gider:

Sayfa Özeti

2) Terslik Tanımı

Üstel fonksiyon:

Logaritmik fonksiyon:

$$g\left(f\right(x\left)\right)=x$$ $$f\left(g\right(x\left)\right)=x$$

3) Doğrudan Sonuçlar

$${\log }_a{a}^x=x$$

$$a^{{\log }_{a}x}=x$$

Bu iki ifade, logaritmanın “üs” bulma işlemi olduğunu netleştirir.

4) Grafiksel Yorum

Ters fonksiyonların grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir.

5) Örnek: Nokta Eşleştirme

$$y=2^x$$ $$2^3=8$$ $$(8,3)$$ $${\log }_{2}8=3$$

Sayfa Özeti

⇔

2) Örnek 1

$${\log }_{3}x=4$$ $$x=3^4$$ $$x=81$$

3) Örnek 2

$${\log }_{2}x=5$$ $$x=2^5$$ $$x=32$$

4) Örnek 3 (Logaritma Üs İçinde)

Ters fonksiyon özelliğini kullan:

5) Tersi Örnek

Sonuç:

Sayfa Özeti

2) Örnek 1

$${\log }_{2}x+{\log }_{2}4=5$$ $${\log }_{2}x·4=5$$ $$x·4=2^5$$ $$x=8$$

3) Örnek 2

$${\log }_{3}x-{\log }_{3}9=1$$ $${\log }_{3}x/9=1$$ $$x/9=3$$ $$x=27$$

4) Örnek 3 (Katsayı İçeren)

Üs içine gönder:

Sayfa Özeti

2) Soru Tipi 1: Ortak Taban Kurma

$${\log }_{4}64$$ $$4=2^2$$ $$64=2^6$$ $${\log }_{2^2}{2}^6=3$$

3) Soru Tipi 2: Toplamı Çarpıma Çevir

$${\log }_{3}9+{\log }_{3}27$$ $${\log }_{3}9·27$$ $$9=3^2,27=3^3$$ $$9·27=3^5$$ $${\log }_3{3}^5=5$$

4) Soru Tipi 3: Değişkenli ve Koşullu

Çöz:

Koşul: x − 1 > 0 ve x − 3 > 0 ⇒ x > 3

Toplamı çarpıma çevir:

Üslü forma geç:

Buradan (x−1)(x−3)=8 olur. Açıp çözülür.

Not: Bu tür sorularda ikinci dereceden denklem çıkar; bulunan kökler mutlaka x > 3 koşuluyla kontrol edilir.

Sayfa Özeti

2) Hızlı Strateji

3) Örnek 1: Üslü Forma Geçerek Sistem

$${\log }_{2}x=3$$ $${\log }_{3}y=2$$ $$x=2^3=8$$ $$y=3^2=9$$

4) Örnek 2: Ortak Taban ile Birleştirme

$${\log }_{2}x+{\log }_{2}y=5$$ $${\log }_{2}x-{\log }_{2}y=1$$

5) Dikkat: Koşul Unutma

Sistemlerde de her log içi pozitiftir: x > 0 ve y > 0 gibi koşullar çoğu zaman otomatik sağlanır, ama soruda ifadeler (x−2), (y+1) gibi ise mutlaka ayrıca yazılır.

Sayfa Özeti

2) Soru 1: Tam Birleştirme Sorusu

$${\log }_{2}x+{\log }_{2}x-2=3$$ $$x>0$$ $$x-2>0$$ $${\log }_{2}x(x-2)=3$$ $$x(x-2)=8$$

3) Soru 2: Üslü ve Logaritmik Birlikte

Ters fonksiyon özelliği:

4) Sınav Stratejisi

5) Altın İpucu

Eğer log ve üs aynı tabana sahipse, doğrudan sadeleşme ihtimali vardır.

Sayfa Özeti