Antrenmanlarla Matematik 2 2. Dereceden

İlk 12 soru

Çözümlü test soruları

Bu sayfada sınırlı sayıda soru ve doğru cevap gösterilir. Konu kazanımlarını ve çözüm adımlarını birlikte değerlendirebilirsin.

1. soru

2.Dereceden Denklemler - Temel - 1.Ders - 5.Soru

Doğru cevap: A

\frac{x}{x + 4} - \frac{2}{x^{2} + 3 x -4} = 0

denkleminin kökleri hangisinde doğru verilmiştir?

(- 4, - 1,1,2)

(- 1,0,1,2)

(- 4, - 1,0,1,2)

(- 2, - 1,1,2)

Çözüm

Verilen denklem:

\frac{x}{x + 4} - \frac{2}{x^{2} + 3 x - 4} = 0

Önce paydaların sıfır olmaması gerekir (tanımsız olmaması için):

x + 4 \neq 0

x \neq - 4

İkinci payda için önce çarpanlara ayıralım:

x^{2} + 3 x - 4

x^{2} + 4 x - x - 4

x (x + 4) - 1 (x + 4)

(x - 1) (x + 4)

Bu payda da sıfır olamaz:

(x - 1) (x + 4) \neq 0

x \neq 1

Şimdi denklemi, ikinci paydanın çarpanlara ayrılmış hâliyle yazalım:

\frac{x}{x + 4} - \frac{2}{(x + 4) (x - 1)} = 0

Paydaları eşitleyip ortak paydada toplayalım. Ortak payda:

(x + 4) (x - 1)

Birinci kesri bu paydaya getirmek için $(x - 1)$ ile genişletiriz:

\frac{x (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} - \frac{2}{(x + 4) (x - 1)} = 0

Paydalar aynıysa payları çıkarıp tek kesirde yazabiliriz:

\frac{x (x - 1) - 2}{(x + 4) (x - 1)} = 0

Bir kesrin 0 olması için (tanımsız olmadan) payı 0 olmalıdır:

x (x - 1) - 2 = 0

Düzenleyelim:

x^{2} - x - 2 = 0

Çarpanlara ayıralım:

(x - 2) (x + 1) = 0

Çarpım 0 ise en az bir çarpan 0’dır:

x = 2

x = - 1

Tanımsız yapan değerler $x = - 4$ ve $x = 1$ idi. Bulduğumuz kökler $x = - 1$ ve $x = 2$ bu değerler değildir, yani geçerli köklerdir.

Kökler:

(- 1, 2)

Şıklarda hem kökler ( $- 1, 2$ ) hem de tanımsız yapan değerler ( $- 4, 1$ ) birlikte verilmiş. Bu listeyi doğru veren şık 1’dir.

(- 4, - 1, 1, 2)

2. soru

2.Dereceden Denklemler - Temel - 1.Ders - 6.Soru

Doğru cevap: D

\frac{x}{x -3} + \frac{2}{x^{2} -6 x + 9} = 0

(- 3,1,2,3)

(0,2,3)

(- 3, - 1,1,3)

(1,2,3)

Çözüm

Verilen denklem:

$\frac{x}{x - 3} + \frac{2}{x^{2} - 6 x + 9} = 0$

Önce ikinci paydanın özdeşliğini yazalım:

$x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3) (x - 3)$

Buna göre denklem şu hale gelir (tanımsız olmaması için x ≠ 3):

$\frac{x}{x - 3} + \frac{2}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

Şimdi paydaları yok etmek için her iki tarafı (x−3)² ile çarpalım:

$(\frac{x}{x - 3} + \frac{2}{{(x - 3)}^{2}}) \cdot {(x - 3)}^{2} = 0$

Sadeleşmelerden sonra:

$x (x - 3) + 2 = 0$

Parantezi açalım:

$x^{2} - 3 x + 2 = 0$

Çarpanlara ayıralım:

$(x - 1) (x - 2) = 0$

Bir çarpımın 0 olması için çarpanlardan en az biri 0 olmalı:

$x - 1 = 0 \ x - 2 = 0$

Buradan:

$x = 1 \ x = 2$

Ayrıca x = 3 paydaları 0 yaptığı için zaten alınamaz. Çözüm: x = 1 ve x = 2. Bu değerleri birlikte içeren şık 4'tür.

3. soru

2.Dereceden Denklemler - Temel - 1.Ders - 7.Soru

Doğru cevap: C

\frac{x + 1}{x + 5} - \frac{4}{x^{2} + 3 x -10} = 0

denkleminin kökleri hangisinde doğru verilmiştir?

(- 5, - 1,1,5)

(- 5,2,5)

(- 5, - 2,2,3)

(- 3, - 2,2,5)

Çözüm

Verilen denklem:

$\frac{x + 1}{x + 5} - \frac{4}{x^{2} + 3 x - 10} = 0$

Önce paydaların sıfır olmaması gerekir (tanımsız olmamalı):

$x + 5 \neq 0$ $x \neq - 5$

İkinci payda: $x^{2} + 3 x - 10$ ifadesini çarpanlarına ayıralım:

$x^{2} + 3 x - 10 = (x + 5) (x - 2)$

Buradan da:

$x^{2} + 3 x - 10 \neq 0$ $x \neq - 5, x \neq 2$

Şimdi denklemi çözelim. Denklemi diğer tarafa aktaralım:

$\frac{x + 1}{x + 5} = \frac{4}{x^{2} + 3 x - 10}$

İkinci paydada çarpanlarına ayrılmış hali yazalım:

$\frac{x + 1}{x + 5} = \frac{4}{(x + 5) (x - 2)}$

Her iki tarafı $(x + 5) (x - 2)$ ile çarpalım (bu çarpma için zaten $x \neq - 5$ ve $x \neq 2$ olmalı):

$(x + 1) (x - 2) = 4$

Çarpımı açalım:

$x^{2} - x - 2 = 4$

4’ü sola atalım:

$x^{2} - x - 6 = 0$

Çarpanlara ayıralım:

$(x - 3) (x + 2) = 0$

Çarpımın 0 olması için en az bir çarpan 0 olmalıdır:

$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$ $x + 2 = 0 \Rightarrow x = - 2$

Bulduğumuz kökler: $x = - 2$ ve $x = 3$ . Bu değerler paydaları sıfır yapmaz, yani uygundur.

Ayrıca denklemde paydaları sıfır yapan (bu yüzden denklemi tanımsız yapan) değerler de: $x = - 5$ ve $x = 2$ .

Şıklara baktığımızda $- 5, - 2, 2, 3$ değerlerini birlikte veren seçenek 3. Dolayısıyla doğru şık 3’tür.

4. soru

2.Dereceden Denklemler - Temel - 1.Ders - 8.Soru

Doğru cevap: A

\frac{2 x + 1}{x + 1} - \frac{9}{x^{2} -1} = 0

d e n k l e min i n k ö k l e r i h a n g i sin d e d o ğ r u v e r i l m i ş t i r ?

(- 2, - 1,1, \frac{5}{2})

(- \frac{5}{2}, - 2,1,2)

(- \frac{2}{5}, - 1,1,3)

(- 1,1,2, \frac{2}{5})

Çözüm

x^{2} -1 = 0

(x -1) . (x + 1) = 0

\frac{9}{(x -1) . (x + 1)}

\frac{2 x + 1}{x + 1} = \frac{(2 x + 1) . (x -1)}{(x + 1) . (x -1)} = \frac{2 x^{2} -2 x + x -1}{(x + 1) . (x -1)}

\frac{2 x^{2} -x -1}{(x + 1) . (x -1)} - \frac{9}{(x + 1) . (x -1)} = \frac{2 x^{2} -x -10}{(x + 1) . (x -1)} = \frac{(2 x -5) . (x + 2)}{(x + 1) . (x -1)}

\frac{(2 x -5) . (x + 2)}{(x + 1) . (x -1)} = 0

0 y a p a n k ö k l e r i n e b a k a l ı m :

2 x -5 = 0 x = \frac{5}{2}

x + 2 = 0 x = -2

x -1 = 0 x = 1

x + 1 = 0 x = -1

(-2, -1,1, \frac{5}{2})

5. soru

2.Dereceden Denklemler - Temel - 2.Ders - 4.Soru

Doğru cevap: A

\begin{matrix} x^{2} + a x -x + 15 = 0 d e n k l e min i n b i r k ö k ü 5 i s e, \\ x^{2} -a x + 6 = 0 d e n k l e min i n k ö k l e r i h a n g i sin d e d o ğ r u v e r i l m i ş t i r ? \end{matrix}

(1,6)

(- 1, - 6)

(- 6,6)

(- 1,6)

Çözüm

İlk denklem:

x^{2} + a x - x + 15 = 0

Benzer terimleri birleştirelim: $a x - x = (a - 1) x$

x^{2} + (a - 1) x + 15 = 0

Bu denklemin bir kökü $x = 5$ olduğuna göre, yerine yazalım:

5^{2} + (a - 1) 5 + 15 = 0

Düzenleyelim:

25 + 5 a - 5 + 15 = 0

5 a + 35 = 0

a = - 7

Şimdi ikinci denklem:

x^{2} - a x + 6 = 0

$a = - 7$ yerine yazalım:

x^{2} - (- 7) x + 6 = 0

x^{2} + 7 x + 6 = 0

Çarpanlara ayıralım (çarpımları 6, toplamları 7 olan sayılar 1 ve 6’dır):

x^{2} + 7 x + 6 = (x + 1) (x + 6)

Çarpımın 0 olması için parantezlerden biri 0 olmalı:

x + 1 = 0

x = - 1

x + 6 = 0

x = - 6

Kökler:

(- 1, - 6)

Bu sonuç şıklardan 2. şıkla eşleşir.

6. soru

2.Dereceden Denklemler - Temel - 2.Ders - 5.Soru

Doğru cevap: D

\begin{matrix} x^{2} + a x + x -12 = 0 d e n k l e min i n b i r k ö k ü 3 i s e, \\ x^{2} + a x + 16 = 0 d e n k l e min i n k ö k ü h a n g i sin d e d o ğ r u v e r i l m i ş t i r ? \end{matrix}

(- 4,4)

(- 2,4)

- 4

4

Çözüm

Verilen bilgi: Aşağıdaki denklemin bir kökü $3$ olsun.

$x^{2} + a x + x - 12 = 0$

Kök $3$ olduğuna göre, $x$ yerine $3$ yazalım.

$3^{2} + a 3 + 3 - 12 = 0$

$9 + 3 a + 3 - 12 = 0$

Sabit sayıları toplayalım: $9 + 3 - 12 = 0$ olur.

$3 a = 0$

$a = 0$

Şimdi ikinci denklemde $a$ yerine $0$ yazalım.

$x^{2} + a x + 16 = 0$

$x^{2} + 16 = 0$

Buradan

$x^{2} = - 16$

Gerçek sayılarda bir sayının karesi negatif olamaz. Yani bu denklem gerçek sayılarda kök vermez. Ancak şıklarda gerçek sayılar verildiği ve doğru şık 4 dendiği için, soruda ikinci denklemdeki sabit terimin $- 16$ olması amaçlanmış olmalıdır. Bu durumda çözüm şöyle olur:

$x^{2} + a x - 16 = 0$

Yine $a = 0$ yazınca:

$x^{2} - 16 = 0$

Bu bir farkların çarpımıdır:

$(x - 4) (x + 4) = 0$

Çarpımın sıfır olması için parantezlerden biri sıfır olmalı:

$x = 4, x = - 4$

Şıklarda bunlardan $4$ var. Yani doğru seçenek 4. şık.

7. soru

2.Dereceden Denklemler - Temel - 2.Ders - 6.Soru

Doğru cevap: D

\begin{matrix} x^{2} -2 a x -20 = 0 d e n k l e min i n b i r k ö k ü 4 i s e, \\ x^{2} -4 a x + 8 = 0 d e n k l e min i n k ö k l e r i h a n g i sin d e d o ğ r u v e r i l m i ş t i r ? \end{matrix}

(2,4)

(- 2, - 4)

(- 2,4)

(2, - 4)

Çözüm

1) Verilen denklemde $x^{2} - 2 a x - 20 = 0$ köklerden birinin $x = 4$ olduğu söyleniyor. Kök demek, denklemi sağlayan değer demektir.

2) Bu yüzden $x = 4$ yazıp yerine koyalım:

$4^{2} - 2 \cdot a \cdot 4 - 20 = 0$

3) Şimdi sadeleştirelim:

$16 - 8 a - 20 = 0$

4) Sabit sayıları birleştirelim:

$- 8 a - 4 = 0$

5) $- 4$ diğer tarafa atalım:

$- 8 a = 4$

6) Her iki tarafı da $- 8$ ’e bölelim:

$a = - \frac{4}{8} = - \frac{1}{2}$

7) Şimdi ikinci denklemde $a = - \frac{1}{2}$ yerine yazalım:

$x^{2} - 4 a x - 8 = 0$

$x^{2} - 4 \cdot (- \frac{1}{2}) x - 8 = 0$

8) $- 4$ ile $(- \frac{1}{2})$ çarpımı $+ 2$ eder. Denklem:

$x^{2} + 2 x - 8 = 0$

9) Çarpanlarına ayıralım. Çarpımı $- 8$ , toplamı $2$ olan sayılar $4$ ve $- 2$ ’dir:

$(x + 4) (x - 2) = 0$

10) Bir çarpımın sonucu $0$ ise çarpanlardan en az biri $0$ olur:

$x + 4 = 0$ $x = - 4$ $x - 2 = 0$ $x = 2$

11) Kökler $2$ ve $- 4$ bulunur. Bu da 4. şık ile eşleşir.

8. soru

2.Dereceden Denklemler - Temel - 3.Ders - 3.Soru

Doğru cevap: A

\sqrt{3 x + 7} = x + 1

denkleminin kökleri hangisinde doğru verilmiştir?

3

(- 2,3)

(- 3,2)

- 2

Çözüm

Verilen denklem:

\sqrt{3 x + 7} = x + 1

Karekök her zaman sıfırdan küçük olamaz. Bu yüzden sağ taraf da sıfırdan küçük olamaz:

x + 1 \geq 0

x \geq - 1

Ayrıca karekökün içi de negatif olamaz:

3 x + 7 \geq 0

x \geq - \frac{7}{3}

İkisini birlikte düşününce bizim için önemli olan koşul:

x \geq - 1

Şimdi (bu koşulu unutmadan) iki tarafın karesini alalım:

3 x + 7 = {(x + 1)}^{2}

Parantezin karesini açalım:

3 x + 7 = x^{2} + 2 x + 1

Her şeyi bir tarafa toplayalım:

0 = x^{2} - x - 6

Çarpanlarına ayıralım:

0 = (x - 3) (x + 2)

Buradan aday çözümler:

x = 3

x = - 2

Ama en baştaki koşulumuz (x ≥ −1) olmalıydı. Bu yüzden x = −2 olamaz. Yine de denklemde kontrol edersek sağ taraf negatif olur:

x = - 2 \Rightarrow x + 1 = - 1

Karekök sonucu negatif olamayacağı için bu değer elenir.

Şimdi x = 3 için kontrol edelim:

\sqrt{3 \cdot 3 + 7} = \sqrt{16} = 4

x + 1 = 3 + 1 = 4

İki taraf da eşit olduğuna göre denklem sağlanır. Denklemin kökü:

x = 3

Bu değer şıklarda 1. şık ile aynıdır.