Rasyonel Sayılar

1. Sayfa: Tanım, gösterimler ve temel örnekler

---

1) Rasyonel sayı nedir?

Rasyonel sayılar, iki tam sayının oranı olarak yazılabilen sayılardır. Yani bir sayı, $\frac{a}{b}$ biçiminde gösterilebiliyorsa (burada a ve b tam sayıdır, b ≠ 0) o sayı rasyoneldir.

Rasyonel sayı kümesi Q ile gösterilir.

$Q=\left\{\frac{a}{b}\right|a,b\in Z,b\ne 0\}$

2) Kesir gösterimi ve işaret

Rasyonel sayılar genellikle kesir şeklinde yazılır. Payda sıfır olamaz. Bir rasyonel sayının negatif olması için tek bir yerde eksi işareti bulunması yeterlidir: ya pay negatiftir ya da payda negatiftir.

Örnek gösterimler:

Pozitif rasyonel: $\frac{3}{5}$

Negatif rasyonel (eksi işareti kesrin dışında): $-\frac{2}{7}$

Aynı değer farklı yazılabilir: $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{50}{100}$

Buradaki fikir şudur: Payı ve paydayı aynı sıfırdan farklı sayı ile çarpmak kesrin değerini değiştirmez.

3) Tam sayılar rasyonel midir?

Evet. Her tam sayı bir rasyonel sayıdır; çünkü paydası 1 olan bir kesir gibi yazılabilir.

Örnek: $6=\frac{6}{1}$

Negatif örnek: $-9=-\frac{9}{1}$

4) Sıfır ve payda kuralı

Sıfır da rasyoneldir; çünkü $0=\frac{0}{5}$ gibi yazılabilir (payda sıfır değil). Ancak paydası 0 olan bir kesir tanımsızdır ve rasyonel sayı değildir.

Önemli:

Payda 0 olduğunda “bölme” işlemi anlamını kaybeder. Bu yüzden “... / 0” biçimindeki ifadeler sayı olarak kabul edilmez.

5) Kesri sadeleştirme fikri

Aynı rasyonel sayıyı temsil eden farklı kesirler olabilir. Bu kesirleri daha “basit” yazmak için pay ve paydayı ortak bölenlerle sadeleştiririz.

Örnek:

$\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$

Çünkü 12 ve 18’in ortak böleni 6’dır; her ikisini de 6’ya bölünce değer değişmeden daha sade bir kesir elde edilir.

İlerleyen sayfalarda rasyonel sayılarla karşılaştırma, dört işlem, ondalık gösterim ve problem çözümleri adım adım ele alınacaktır.

Rasyonel Sayılar

2. Sayfa: Sayı doğrusu ve sıralama

1) Rasyonel sayılar sayı doğrusunda

Rasyonel sayılar sayı doğrusu üzerinde bir noktaya karşılık gelir. Sıfır referans noktasıdır. Sıfırın sağında yer alan sayılar pozitif, solunda yer alan sayılar negatiftir.

Bir rasyonel sayıyı sayı doğrusu üzerinde göstermek için, paydanın aralığı kaç eş parçaya böldüğünü ve payın bu parçalardan kaç tanesini temsil ettiğini düşünürüz.

Örneğin $\frac{1}{4}$ sayısı, 0 ile 1 arasının 4 eş parçaya bölünmesiyle elde edilen ilk noktayı ifade eder.

2) Pozitif ve negatif rasyonellerin konumu

Pozitif rasyonel sayılar sayı doğrusunda sıfırın sağında bulunur. Negatif rasyonel sayılar ise sıfırın solunda yer alır.

Örnek olarak $\frac{3}{5}$ sıfırın sağındadır. Buna karşılık $-\frac{3}{5}$ sıfırın solunda yer alır.

3) Rasyonel sayıların karşılaştırılması

İki rasyonel sayıyı karşılaştırırken sayı doğrusu üzerindeki konumları dikkate alınır. Sağda bulunan sayı, solda bulunandan büyüktür.

Pozitif bir rasyonel sayı, her zaman negatif bir rasyonel sayıdan büyüktür. Ayrıca her pozitif rasyonel sayı sıfırdan büyüktür.

Örneğin $-\frac{1}{2}<0<\frac{1}{2}$ sıralaması her zaman doğrudur.

4) Aynı işaretli rasyonel sayıların sıralanması

İki rasyonel sayı da pozitifse, sayı doğrusunda daha sağda olan sayı daha büyüktür.

İki rasyonel sayı da negatifse, sıfıra daha yakın olan sayı daha büyüktür.

Bu nedenle $-\frac{1}{3}>-\frac{2}{3}$ eşitsizliği doğrudur.

5) Farklı işaretli rasyonel sayıların sıralanması

Biri pozitif, diğeri negatif olan iki rasyonel sayıdan pozitif olan her zaman daha büyüktür.

Bu yüzden $-\frac{7}{8}<\frac{1}{8}$ ifadesi her zaman doğrudur.

Bir sonraki sayfada rasyonel sayıların eşitliği ile genişletme ve sadeleştirme mantığı ele alınacaktır.

Rasyonel Sayılar

3. Sayfa: Rasyonel sayıların eşitliği

1) Rasyonel sayıların eşitliği

İki rasyonel sayı, sayı doğrusunda aynı noktaya karşılık geliyorsa bu sayılar birbirine eşittir.

Bu durum, kesirlerin farklı yazılmasına rağmen aynı değeri temsil edebilmesiyle ortaya çıkar.

Örneğin $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$ eşitliği doğrudur. Çünkü her iki kesir de sayı doğrusunda aynı noktayı gösterir.

2) Genişletme kavramı

Bir rasyonel sayının payı ve paydası aynı sıfırdan farklı sayı ile çarpılırsa, kesrin değeri değişmez. Bu işleme genişletme denir.

Genişletme işlemi, rasyonel sayının değerini büyütmez ya da küçültmez, sadece yazılış biçimini değiştirir.

Örnek: $\frac{3}{5}=\frac{6}{10}$

Burada pay ve payda 2 ile çarpılmıştır. Sonuçta elde edilen kesir, ilk kesirle tamamen aynı değere sahiptir.

3) Sadeleştirme kavramı

Pay ve paydanın ortak böleni varsa, her ikisi de bu ortak bölenle bölünebilir. Bu işleme sadeleştirme denir.

Sadeleştirme işlemi de rasyonel sayının değerini değiştirmez. Ama kesir daha basit bir hâle gelir.

Örnek: $\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$

Çünkü 8 ve 12 sayılarının ortak böleni 4’tür. Her ikisi de 4’e bölünerek daha sade bir kesir elde edilir.

4) Eşit rasyonel sayıların genel kuralı

Pay ve paydası aynı oranda değişen tüm kesirler aynı rasyonel sayıyı temsil eder.

Bu nedenle bir rasyonel sayının sonsuz tane farklı kesir gösterimi vardır.

Bir sonraki sayfada rasyonel sayıların toplama ve çıkarma işlemleri adım adım ele alınacaktır.

Rasyonel Sayılar

4. Sayfa: Rasyonel sayılarda toplama

1) Rasyonel sayılarda toplama işlemi

Rasyonel sayılarda toplama işlemi yapılırken kesirlerin paydalarına dikkat edilir. Paydalar eşitse işlem daha kolaydır.

2) Paydaları eşit olan rasyonel sayıların toplanması

Paydaları eşit olan iki rasyonel sayı toplanırken paylar kendi aralarında toplanır, payda aynen korunur.

Örnek: $\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{5}{7}$

Burada paydalar aynı olduğu için sadece paylar toplanmıştır.

3) Farklı işaretli rasyonel sayıların toplanması

İşaretleri farklı olan rasyonel sayılar toplanırken, mutlak değeri büyük olan sayının işareti sonuca yazılır.

Örnek: $-\frac{3}{5}+\frac{1}{5}=-\frac{2}{5}$

Çünkü negatif sayının mutlak değeri daha büyüktür.

4) Paydaları farklı rasyonel sayıların toplanması

Paydaları farklı olan rasyonel sayılar toplanmadan önce paydalar eşitlenmelidir. Bunun için paydaların ortak bir katı seçilir.

Paydalar eşitlendikten sonra toplama işlemi, paydalar eşitmiş gibi yapılır.

Örnek: $\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}$

Sonuç sadeleştirildiğinde daha basit bir kesir elde edilebilir.

Bir sonraki sayfada rasyonel sayılarda çıkarma işlemi ayrıntılı olarak incelenecektir.

Rasyonel Sayılar

5. Sayfa: Rasyonel sayılarda çıkarma

1) Rasyonel sayılarda çıkarma işlemi

Rasyonel sayılarda çıkarma işlemi, çıkarılacak sayının işaretinin değiştirilip toplama işlemi yapılmasıyla gerçekleştirilir.

Yani bir rasyonel sayıdan başka bir rasyonel sayı çıkarmak, o sayının ters işaretlisi ile toplamaktır.

2) Aynı paydalı rasyonel sayıların çıkarılması

Paydaları eşit olan iki rasyonel sayı çıkarılırken paylar kendi aralarında çıkarılır, payda aynen korunur.

Örnek: $\frac{5}{9}-\frac{2}{9}=\frac{3}{9}$

Paydalar eşit olduğu için işlem sadece paylar arasında yapılmıştır.

3) Çıkarma işlemini toplama şeklinde düşünme

Çıkarma işlemi, çıkarılacak sayının işareti değiştirilerek toplama işlemine dönüştürülebilir.

Örneğin $\frac{1}{4}-\frac{3}{4}$ işlemi, $\frac{1}{4}+-\frac{3}{4}$ şeklinde düşünülebilir.

4) Farklı paydalı rasyonel sayıların çıkarılması

Paydaları farklı olan rasyonel sayılar çıkarılırken önce paydalar eşitlenir. Daha sonra çıkarma işlemi yapılır.

Örnek: $\frac{2}{3}-\frac{1}{6}=\frac{3}{6}$

Paydalar eşitlendikten sonra paylar çıkarılmıştır.

5) Çıkarma işlemiyle ilgili genel yorum

Rasyonel sayılarda çıkarma işlemi, doğru işaretlendirme yapıldığında toplama işlemiyle aynı kurallara dayanır.

Bir sonraki sayfada rasyonel sayılarda çarpma işlemi ayrıntılı olarak ele alınacaktır.

Rasyonel Sayılar

6. Sayfa: Rasyonel sayılarda çarpma

1) Rasyonel sayılarda çarpma işlemi

Rasyonel sayılarda çarpma işlemi yapılırken paylar kendi aralarında, paydalar kendi aralarında çarpılır.

Çarpma işleminde paydaların eşit olmasına gerek yoktur. Bu yönüyle toplama ve çıkarma işlemlerinden daha basittir.

2) Pozitif rasyonel sayıların çarpılması

İki pozitif rasyonel sayı çarpıldığında sonuç her zaman pozitif olur.

Örnek: $\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}=\frac{8}{15}$

3) İşaret kuralları

Rasyonel sayılarda çarpma işlemi yapılırken tam sayılardaki işaret kuralları geçerlidir.

Pozitif ile pozitif çarpılırsa sonuç pozitiftir.

Pozitif ile negatif çarpılırsa sonuç negatiftir.

Negatif ile negatif çarpılırsa sonuç pozitiftir.

4) Negatif rasyonel sayıların çarpılması

Bir rasyonel sayı negatifse, eksi işareti çarpımın başına yazılır.

Örnek: $-\frac{3}{4}\times \frac{2}{5}=-\frac{6}{20}$

Sonuç gerekirse sadeleştirilebilir.

5) Çarpma işleminde sadeleştirme

Çarpma işlemi yapılırken pay ile payda arasında ortak bölen varsa işlem sırasında sadeleştirme yapılabilir.

Bu durum sonucu daha küçük sayılarla daha kolay elde etmeyi sağlar.

Bir sonraki sayfada rasyonel sayılarda bölme işlemi ayrıntılı olarak incelenecektir.

Rasyonel Sayılar

7. Sayfa: Rasyonel sayılarda bölme

1) Rasyonel sayılarda bölme işlemi

Rasyonel sayılarda bölme işlemi, bölme işleminin çarpma işlemine dönüştürülmesiyle yapılır.

Bir rasyonel sayıyı başka bir rasyonel sayıya bölmek, ikinci kesrin tersini alıp çarpmak anlamına gelir.

2) Tersini alma kuralı

Bir rasyonel sayının tersi alınırken pay ile paydanın yerleri değiştirilir. Bu işleme ters çevirme denir.

Örneğin $\frac{2}{5}$ sayısının tersi $\frac{5}{2}$ şeklindedir.

3) Bölme işlemini çarpma şeklinde yazma

Bölme işlemi yapılırken, bölme işareti yerine çarpma işareti yazılır ve ikinci kesir ters çevrilir.

Örnek: $\frac{3}{4}÷\frac{2}{5}=\frac{3}{4}\times \frac{5}{2}$

4) Bölme işleminde işaret kuralı

Rasyonel sayılarda bölme işleminde de çarpma işlemindeki işaret kuralları geçerlidir.

Pozitif bir sayı negatif bir sayıya bölünürse sonuç negatif olur.

Negatif bir sayı negatif bir sayıya bölünürse sonuç pozitif olur.

5) Sıfır ile bölme durumu

Bir rasyonel sayı sıfıra bölünemez. Çünkü sıfırın çarpma işleminde tersinin tanımı yoktur.

Ancak sıfır, sıfırdan farklı herhangi bir rasyonel sayıya bölünebilir ve sonuç sıfır olur.

Bir sonraki sayfada rasyonel sayıların ondalık gösterimi ele alınacaktır.

Rasyonel Sayılar

8. Sayfa: Ondalık gösterim

1) Ondalık gösterim nedir?

Rasyonel sayılar yalnızca kesir şeklinde değil, ondalık sayı şeklinde de yazılabilir. Bu yazıma ondalık gösterim denir.

Ondalık gösterimde payda doğrudan yazılmaz, kesrin bölme sonucu elde edilen değeri kullanılır.

2) Sonlu ondalık gösterim

Paydası yalnızca 2 ve 5 asal çarpanlarından oluşan rasyonel sayıların ondalık gösterimi sonludur.

Örneğin $\frac{1}{2}$ sayısının ondalık gösterimi 0,5’tir.

Benzer şekilde $\frac{3}{4}$ sayısının ondalık gösterimi 0,75’tir.

3) Sonsuz ondalık gösterim

Paydasında 2 ve 5 dışında asal çarpan bulunan rasyonel sayıların ondalık gösterimi sonsuzdur.

Bu tür ondalık gösterimler belirli bir basamaktan sonra tekrar eden bir düzen gösterebilir.

Örneğin $\frac{1}{3}$ sayısının ondalık gösterimi 0,333… şeklinde sonsuza kadar devam eder.

4) Devirli ondalık gösterim

Sonsuz ondalık gösterimde tekrar eden rakamlar varsa bu sayılara devirli ondalık sayı denir.

Devirli ondalık gösterimler de rasyonel sayı kabul edilir.

5) Ondalık gösterimden kesre geçiş

Sonlu ondalık gösterimler her zaman bir rasyonel sayıya karşılık gelir ve kesir biçiminde yazılabilir.

Örneğin 0,25 sayısı $\frac{25}{100}$ şeklinde yazılabilir ve sadeleştirilebilir.

Bir sonraki sayfada rasyonel sayıların sayı doğrusu üzerinde karşılaştırılması daha ayrıntılı olarak ele alınacaktır.

Rasyonel Sayılar

9. Sayfa: Ondalık ve kesir gösterimlerin karşılaştırılması

1) Ondalık gösterimle karşılaştırma

Rasyonel sayılar ondalık biçimde yazıldığında, karşılaştırma işlemi basamak basamak yapılır. Virgülden sonraki rakamlar soldan sağa doğru incelenir.

İlk farklı rakamın bulunduğu basamakta büyük olan rakama sahip sayı daha büyüktür.

Örneğin 0,6 sayısı 0,58 sayısından büyüktür. Çünkü onda birler basamağında her ikisi eşitken, yüzde birler basamağında 6, 5’ten büyüktür.

2) Kesirleri ondalık gösterime çevirerek karşılaştırma

İki rasyonel sayı kesir biçimindeyse, bu kesirler ondalık gösterime çevrilerek karşılaştırılabilir.

Örneğin $\frac{3}{4}$ sayısı 0,75’e, $\frac{2}{3}$ sayısı ise 0,666… değerine karşılık gelir.

Bu nedenle $\frac{3}{4}>\frac{2}{3}$ eşitsizliği doğrudur.

3) Paydaları eşitleyerek karşılaştırma

Kesirler karşılaştırılırken paydalar eşitlenerek de sonuç bulunabilir.

Paydalar eşitlendiğinde, payı büyük olan kesir daha büyük rasyonel sayıyı temsil eder.

Örnek olarak $\frac{5}{6}$ ve $\frac{4}{6}$ kesirlerinde paydalar eşit olduğu için payı büyük olan daha büyüktür.

4) Negatif ondalık ve kesirlerin karşılaştırılması

Negatif rasyonel sayılarda sıfıra daha yakın olan sayı daha büyüktür.

Örneğin −0,4 sayısı −0,7 sayısından büyüktür. Çünkü −0,4 sıfıra daha yakındır.

Aynı durum kesirler için de geçerlidir. Örneğin $-\frac{1}{5}>-\frac{3}{5}$ olur.

5) Karşılaştırma ile sıralama

Birden fazla rasyonel sayı verildiğinde, bu sayılar küçükten büyüğe ya da büyükten küçüğe sıralanabilir.

Bunun için sayıların işaretleri, ondalık ya da kesir gösterimleri birlikte değerlendirilir.

Bir sonraki sayfada rasyonel sayıların mutlak değeri ele alınacaktır.

Rasyonel Sayılar

10. Sayfa: Mutlak değer

1) Mutlak değer nedir?

Bir rasyonel sayının mutlak değeri, o sayının sayı doğrusu üzerindeki sıfıra olan uzaklığıdır.

Mutlak değer her zaman sıfır ya da pozitif bir sayı olur. Negatif bir değer alamaz.

2) Pozitif ve negatif sayılarda mutlak değer

Pozitif bir rasyonel sayının mutlak değeri, sayının kendisine eşittir.

Negatif bir rasyonel sayının mutlak değeri, sayının işareti kaldırılmış hâlidir.

3) Mutlak değere örnekler

Örneğin $\frac{3}{4}$ sayısının mutlak değeri yine $\frac{3}{4}$ olur.

Benzer şekilde $-\frac{3}{4}$ sayısının mutlak değeri de $\frac{3}{4}$ olur.

4) Mutlak değerin sıfır olması

Bir rasyonel sayının mutlak değeri sıfıra eşitse, bu sayı yalnızca sıfır olabilir.

Sıfırın mutlak değeri de sıfırdır.

5) Mutlak değer ile karşılaştırma

İki rasyonel sayı karşılaştırılırken mutlak değerleri büyük olan sayı, sıfıra daha uzaktır.

Ancak mutlak değeri büyük olan sayı her zaman daha büyük anlamına gelmez. İşaret mutlaka dikkate alınmalıdır.

Bir sonraki sayfada rasyonel sayıların üs alma ile ilişkisi ve işaret davranışı ele alınacaktır.