1. bölüm

TYT & AYT - Türev - 1.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Türev | 1. Sayfa

1

Lise • TYT • AYT

Türev: Değişim Hızı ve Teğet Eğimi

Bu sayfada: “türev” fikri, ortalama anlık değişim, teğet kavramı.

1) Türevin “büyük fikri”

Türev, bir fonksiyonun ne kadar hızlı değiştiğini anlatır. Bunu iki farklı ama eşdeğer şekilde düşünebilirsin:

Değişim hızı: x çok az artınca f(x) nasıl değişiyor?
Teğet eğimi: grafikte bir noktadaki teğet doğrusunun eğimi nedir?

Mini not

Ortalama değişim “iki nokta arası” bir fikirdir; türev ise “tek nokta” fikrine yaklaşır.

2) Ortalama değişim hızı (sekant eğimi)

x değeri a’dan a+h’ye gitsin. Bu aralıktaki ortalama değişim hızı:

Ortalama değişim oranı

\frac{f (a + h) - f (a)}{h}

Burada h, x’teki değişim miktarıdır. Bu oran, grafikte iki noktayı birleştiren sekant doğrusunun eğimini verir.

Neden önemli?

Türevi tanımlamak için önce “iki nokta” arasındaki eğimi biliriz, sonra bu iki nokta birbirine çok yaklaşınca ne olduğuna bakarız.

3) Türev tanımı (limit fikri)

Anlık değişim için h’yi sıfıra yaklaştırırız. Yani iki nokta neredeyse tek nokta olur.

Türevin limit tanımı

f' (a) = lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}

Bu limit varsa, f fonksiyonu a noktasında türevlenebilir deriz.

Semboller

f′(a): a noktasındaki türev (anlık değişim / teğet eğimi)
h → 0: h çok küçük değerlere gider
f(a+h) − f(a): çıktının değişimi

4) Geometrik yorum: Teğet eğimi

Grafikte (a, f(a)) noktasına çizilen teğet doğrusunun eğimi f′(a)’dır. Sekant doğrusu iki noktayı birleştirirken, teğet doğrusu “tek noktada dokunur”.

Önemli sezgi

h küçüldükçe (a, f(a)) ile (a+h, f(a+h)) noktaları birbirine yaklaşır; sekant eğimi teğet eğimine yaklaşır.

5) Hızlı tanıtım örneği

Diyelim ki bir hareketin konumu s(t) ile verilmiş olsun. Ortalama hız iki zaman arasındaki konum değişiminin zamana oranıdır. Zaman aralığı çok küçülürse anlık hız ortaya çıkar.

Ortalama hız fikri

\frac{s (t + h) - s (t)}{h}

Bu oran “anlık” hale gelmek için h → 0 yaklaşımına götürür; bu da türev fikridir.

İlerleyen sayfalarda türev kurallarını öğreneceğiz; böylece bu limitleri her seferinde uzun uzun hesaplamak zorunda kalmayacağız.

✓

Bu sayfanın özeti

Ortalama değişim oranı sekant eğimini verir.
h → 0 iken sekant eğimi teğet eğimine yaklaşır.
Türev, anlık değişim hızı / teğet eğimidir: f′(a).

Sonraki sayfada türev kurallarına geçmeden önce “türevlenebilirlik” ve “süreklilik” ilişkisini netleştireceğiz.

2. bölüm

TYT & AYT - Türev - 2.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Türev | 2. Sayfa

2

Lise • TYT • AYT

Türevlenebilirlik ve Süreklilik İlişkisi

Bu sayfada: türevlenebilirlik nedir, süreklilikle ilişkisi, geometrik yorum.

1) Türevlenebilirlik nedir?

Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilir olması demek, o noktada türevinin var olması demektir. Yani şu limit mevcut olmalıdır:

Türevlenebilirlik şartı

lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h} = gerçek sayı

Eğer bu limit varsa, fonksiyon o noktada türevlenebilir.

2) Süreklilik nedir?

Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması demek, grafikte o noktada kopukluk olmaması demektir.

Süreklilik şartı

lim_{x \to a} f (x) = f (a)

Bu, fonksiyonun değerinin limit değerine eşit olması gerektiğini ifade eder.

3) Önemli teorem

Teorem

Eğer bir fonksiyon bir noktada türevlenebilir ise, o noktada mutlaka süreklidir.

Ters doğru değildir

Bir fonksiyon sürekli olabilir fakat türevlenebilir olmayabilir.

4) Geometrik yorum

Eğer bir noktada keskin köşe varsa türev yoktur.

Sebep

Sol taraftan gelen eğim ile sağ taraftan gelen eğim farklıdır.

Örnek fonksiyon

f (x) = | x |

x = 0 noktasında köşe vardır, bu yüzden türev yoktur.

✓

Bu sayfanın özeti

Türevlenebilirlik limit ile tanımlanır.
Türevlenebilir fonksiyon süreklidir.
Sürekli fonksiyon türevlenebilir olmak zorunda değildir.
Köşe noktalarında türev yoktur.

Sonraki sayfada türev alma kurallarına başlayacağız.

3. bölüm

TYT & AYT - Türev - 3.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Türev | 3. Sayfa

3

Lise • TYT • AYT

Temel Türev Kuralları: Sabit ve x'in Türevi

Bu sayfada türev almanın en temel kurallarını öğreneceğiz.

1) Sabit fonksiyonun türevi

Sabit fonksiyonun grafiği yatay bir doğrudur.

Yatay doğrunun eğimi sıfırdır. Bu yüzden sabitin türevi sıfırdır.

Sabit türev kuralı

f (x) = c

f' (x) = 0

Örnek

f (x) = 7

f' (x) = 0

2) x fonksiyonunun türevi

x fonksiyonu doğrusal bir fonksiyondur.

Bu doğrunun eğimi her zaman 1'dir.

x'in türevi

f (x) = x

f' (x) = 1

3) Sabit katsayılı x fonksiyonu

Bir sabit ile çarpılan x fonksiyonunun türevi sabitin kendisidir.

Kural

f (x) = a x

f' (x) = a

Örnek

f (x) = 5 x

f' (x) = 5

✓

Bu sayfanın özeti

Sabitin türevi sıfırdır.
x'in türevi 1'dir.
ax'in türevi a'dır.

Sonraki sayfada x² ve genel kuvvet türevini öğreneceğiz.

4. bölüm

TYT & AYT - Türev - 4.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Türev | 4. Sayfa

4

Lise • TYT • AYT

Kuvvet Fonksiyonunun Türevi

Bu sayfada x², x³ ve genel kuvvet türevini öğreneceğiz.

1) x² fonksiyonunun türevi

x² fonksiyonu bir paraboldür.

Bu fonksiyonun türevi 2x olur.

Türev sonucu

x^{2}

(x^{2})' = 2 x

2) x³ fonksiyonunun türevi

Aynı şekilde x³ fonksiyonunun türevi 3x² olur.

x^{3}

(x^{3})' = 3 x^{2}

3) Genel kuvvet kuralı

Genel olarak kuvvet fonksiyonunun türevi şu şekilde alınır:

x^{n}

(x^{n})' = n x^{n - 1}

4) Örnek

f (x) = x^{5}

f' (x) = 5 x^{4}

✓

Bu sayfanın özeti

x² türevi 2x
x³ türevi 3x²
Genel kural: xⁿ türevi n·xⁿ⁻¹

Sonraki sayfada toplam ve fark türev kurallarını öğreneceğiz.

5. bölüm

TYT & AYT - Türev - 5.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Türev | 5. Sayfa

5

Lise • TYT • AYT

Toplam ve Fark Türev Kuralları

Bu sayfada fonksiyonların toplamı ve farkının türevini öğreneceğiz.

1) Toplamın türevi

İki fonksiyonun toplamının türevi, türevlerinin toplamına eşittir.

Toplam kuralı

f (x) = g (x) + h (x)

f' (x) = g' (x) + h' (x)

2) Farkın türevi

İki fonksiyonun farkının türevi, türevlerinin farkına eşittir.

f (x) = g (x) - h (x)

f' (x) = g' (x) - h' (x)

3) Örnek

f (x) = x^{2} + 3 x - 4

Türevi:

f' (x) = 2 x + 3 - 0

f' (x) = 2 x + 3

✓

Bu sayfanın özeti

Toplamın türevi türevlerin toplamıdır.
Farkın türevi türevlerin farkıdır.
Her terimin türevi ayrı ayrı alınır.

Sonraki sayfada sabit katsayı kuralını detaylı öğreneceğiz.

6. bölüm

TYT & AYT - Türev - 6.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Türev | 6. Sayfa

6

Lise • TYT • AYT

Sabit Katsayı ile Çarpım Kuralı

Bu sayfada sabit ile çarpılan fonksiyonların türevini öğreneceğiz.

1) Sabit katsayı kuralı

Bir sabit sayı ile çarpılan fonksiyonun türevi alınırken sabit aynen korunur.

Genel kural

f (x) = a g (x)

f' (x) = a g' (x)

2) Örnek 1

f (x) = 4 x^{3}

Sabit dışarı alınır, kuvvet kuralı uygulanır:

f' (x) = 4 \cdot 3 x^{2}

f' (x) = 12 x^{2}

3) Örnek 2

f (x) = 7 x

f' (x) = 7

4) Daha karmaşık örnek

f (x) = 5 x^{4} + 3 x^{2}

f' (x) = 20 x^{3} + 6 x

✓

Bu sayfanın özeti

Sabit katsayı aynen korunur.
Sabit, türev dışına çıkarılabilir.
Kuvvet kuralı ile birlikte kullanılır.

Sonraki sayfada çarpım kuralını öğreneceğiz.

7. bölüm

TYT & AYT - Türev - 7.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Türev | 7. Sayfa

7

Lise • TYT • AYT

Çarpım Kuralı (Product Rule)

Bu sayfada iki fonksiyonun çarpımının türevini öğreneceğiz.

1) Temel fikir

İki fonksiyon çarpılıyorsa, türev doğrudan ayrı ayrı alınamaz.

Bunun yerine özel bir kural kullanılır.

2) Çarpım kuralı formülü

Genel formül

f (x) = g (x) \cdot h (x)

f' (x) = g' (x) \cdot h (x) + g (x) \cdot h' (x)

3) Örnek 1

f (x) = x \cdot x^{2}

g(x) = x ve h(x) = x² olarak alınır.

f' (x) = 1 \cdot x^{2} + x \cdot 2 x

f' (x) = x^{2} + 2 x^{2}

f' (x) = 3 x^{2}

4) Örnek 2

f (x) = x^{2} \cdot x^{3}

Çarpım kuralı uygulanır:

f' (x) = 2 x \cdot x^{3} + x^{2} \cdot 3 x^{2}

✓

Bu sayfanın özeti

Çarpımın türevi özel kuralla alınır.
İlk fonksiyonun türevi × ikinci fonksiyon
Artı ilk fonksiyon × ikinci fonksiyonun türevi

Sonraki sayfada bölüm kuralını öğreneceğiz.

8. bölüm

TYT & AYT - Türev - 8.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Türev | 8. Sayfa

8

Lise • TYT • AYT

Bölüm Kuralı (Quotient Rule)

Bu sayfada iki fonksiyonun bölümünün türevini öğreneceğiz.

1) Temel fikir

İki fonksiyon birbirine bölünmüşse, türev doğrudan ayrı ayrı alınamaz.

Bunun yerine özel bir bölüm kuralı kullanılır.

2) Bölüm kuralı formülü

Genel formül

f (x) = \frac{g (x)}{h (x)}

f' (x) = \frac{g' (x) \cdot h (x) - g (x) \cdot h' (x)}{h^{2} (x)}

3) Örnek 1

f (x) = \frac{x^{2}}{x}

g(x)=x² ve h(x)=x olarak alınır.

f' (x) = \frac{2 x \cdot x - x^{2} \cdot 1}{x^{2}}

4) Örnek 2

f (x) = \frac{x}{x^{2}}

f' (x) = \frac{1 \cdot x^{2} - x \cdot 2 x}{x^{4}}

✓

Bu sayfanın özeti

Bölümün türevi özel kuralla alınır.
Payın türevi × payda − pay × paydanın türevi
Hepsi paydanın karesine bölünür.

Sonraki sayfada zincir kuralını öğreneceğiz.

9. bölüm

TYT & AYT - Türev - 9.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Türev | 9. Sayfa

9

Lise • TYT • AYT

Zincir Kuralı (Chain Rule)

Bu sayfada bileşik fonksiyonların türevini hızlı ve doğru almayı öğreneceğiz.

1) Bileşik fonksiyon nedir?

Bir fonksiyonun içinde başka bir fonksiyon varsa buna bileşik (kompozisyon) fonksiyon denir. Örnek: “dışta kare alma, içte (2x+1)”.

Örnek yapı

y = {(2 x + 1)}^{2}

Burada dış fonksiyon u², iç fonksiyon u=2x+1 gibi düşünülebilir.

2) Zincir kuralının özü

“Önce dış fonksiyonun türevi, sonra iç fonksiyonun türevi ile çarp.”

Genel formül

y = f (g (x))

\frac{d y}{d x} = f' (g (x)) \cdot g' (x)

Yani “dışın türevi (iç aynı kalır)” × “içinin türevi”.

3) U yöntemiyle pratik

İçteki ifadeyi u yaparsan zincir kuralı daha görünür olur:

Adım adım fikir

u = 2 x + 1

y = u^{2}

Sonra önce dy/du, sonra du/dx bulunur ve çarpılır.

4) Örnek

Aşağıdaki fonksiyonun türevini zincir kuralı ile alalım:

y = {(3 x - 5)}^{4}

Dış fonksiyon: u⁴ → türevi 4u³.
İç fonksiyon: u=3x−5 → türevi 3.

Sonuç

\frac{d y}{d x} = 4 {(3 x - 5)}^{3} \cdot 3

\frac{d y}{d x} = 12 {(3 x - 5)}^{3}

✓

Bu sayfanın özeti

Bileşik fonksiyonlarda zincir kuralı kullanılır.
Dışın türevi × içinin türevi
“u yöntemi” zincir kuralını görünür yapar.

Sonraki sayfada trigonometrik fonksiyonların türevlerine başlayacağız.

10. bölüm

TYT & AYT - Türev - 10.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Türev | 10. Sayfa

10

Lise • TYT • AYT

Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri

Bu sayfada sin ve cos fonksiyonlarının türevlerini öğreneceğiz.

1) sin(x) fonksiyonunun türevi

sin(x) fonksiyonunun türevi cos(x)'tir.

Temel sonuç

y = \sin (x)

\frac{d y}{d x} = \cos (x)

2) cos(x) fonksiyonunun türevi

cos(x) fonksiyonunun türevi −sin(x)'tir.

Temel sonuç

y = \cos (x)

\frac{d y}{d x} = - \sin (x)

3) Zincir kuralı ile trig türev

İçinde x dışında ifade varsa zincir kuralı uygulanır.

y = \sin (3 x)

\frac{d y}{d x} = 3 \cos (3 x)

4) Örnek

y = 5 \sin (x)

\frac{d y}{d x} = 5 \cos (x)

✓

Bu sayfanın özeti

sin türevi cos
cos türevi −sin
Zincir kuralı trig fonksiyonlarda uygulanır

Sonraki sayfada tanjant ve diğer trig türevlerini öğreneceğiz.

Türev Konu Anlatımı

TYT & AYT - Türev - 1.Sayfa

Türev: Değişim Hızı ve Teğet Eğimi

TYT & AYT - Türev - 2.Sayfa

Türevlenebilirlik ve Süreklilik İlişkisi

TYT & AYT - Türev - 3.Sayfa

Temel Türev Kuralları: Sabit ve x'in Türevi

TYT & AYT - Türev - 4.Sayfa

Kuvvet Fonksiyonunun Türevi

TYT & AYT - Türev - 5.Sayfa

Toplam ve Fark Türev Kuralları

TYT & AYT - Türev - 6.Sayfa

Sabit Katsayı ile Çarpım Kuralı

TYT & AYT - Türev - 7.Sayfa

Çarpım Kuralı (Product Rule)

TYT & AYT - Türev - 8.Sayfa

Bölüm Kuralı (Quotient Rule)

TYT & AYT - Türev - 9.Sayfa

Zincir Kuralı (Chain Rule)

TYT & AYT - Türev - 10.Sayfa

Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri